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第2章　不等式
2.2　区间
考点　区间
1. 区间：一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点 称为区间端点.
2. 设a，b∈R，且a＜b，则有如下结论.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合表示为[a，b]，称为闭区间；
（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合表示为（a，b），称为开区间；
（3）满足不等式a≤x＜b的实数x的集合表示为[a，b），称为左闭右开区 间；
（4）满足不等式a＜x≤b的实数x的集合表示为（a，b]，称为左开右闭区间.
集合表示 数轴表示 区间表示
{x｜a≤x≤b} [a，b]
{x｜a＜x＜b} （a，b）
{x｜a≤x＜b} [a，b）
{x｜a＜x≤b} （a，b]
注：左闭右开区间和左开右闭区间统称为半开半闭区间.实数a，b称为相应区间 的端点.
3. 无穷区间：
[a，＋∞），（a，＋∞），（－∞，b]，（－∞，b），（－∞，＋∞）都称 为无穷区间.
集合表示 数轴表示 区间表示
{x｜x≥a} [a，＋∞）
{x｜x≤b} （－∞，b]
{x｜x＞a} （a，＋∞）
{x｜x＜b} （－∞，b）
R — （－∞，＋∞）
考向　区间表示
典型例题
例1　下列集合用区间表示不正确的是（　　）.
A. {x｜x＜－5}＝（－∞，－5）
B. {x｜－1＜x≤2}＝（－1，2]
C. {x∈Q｜x＞0}＝（0，＋∞）
D. {x｜－2≤x≤6}＝[－2，6]
【典例解析】本题考查区间概念.根据区间概念可知，集合{x∈Q｜x＞0}无法用 区间表示.故选C.
【方法提炼】区间左端点数小于右端点数.无穷区间的“－∞”在左端，
“＋∞”在右端，且“－∞”“＋∞”旁边为小括号.
变式训练1
A. （1，2] B. （－∞，1）∩[2，＋∞）
C. （－∞，1）∪[2，＋∞） D. [1，2）
C
典型例题
例2　已知集合A＝[－2，＋∞），集合B＝[－5，1），求A∪B和A∩B.
【典例解析】本题考查集合的交集与并集及区间表示.
A∪B＝[－2，＋∞）∪[－5，1）＝[－5，＋∞），
A∩B＝[－2，＋∞）∩[－5，1）＝[－2，1）.
变式训练2
A. （－∞，4） B. （－∞，4]
C. [4，＋∞） D. （4，＋∞）
【解析】∵集合A＝（－2，4]，集合B＝（a，＋∞），A∩B＝ ，∴画如图 所示的数轴分析得a≥4.故实数a的取值范围为[4，＋∞）.
C
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜2x－1≤3}，集合B＝{x｜x（x－3） ≤0}，求A∩B，A∪B， UB. （用区间表示）
解：由2x－1≤3，得x≤2，即集合A＝（－∞，2]，
由x（x－3）≤0，得0≤x≤3，即集合B＝[0，3].
因此，A∩B＝[0，2]，A∪B＝（－∞，3]， UB＝（－∞，0）∪（3，＋∞）.
典型例题
A.
D. （－3，＋∞）
变式训练3
A. －2，5 B. 1，5 C. －1，5 D. 2，4
C
A. [－4，3] B. （0，3）
C. （－3，4） D. [0，3]
【解析】x∈（－2，1），即x满足－2＜x＜1，则0＜x＋2＜3，故x＋2的取值 范围是（0，3）.
B
A. [3，＋∞） B. （3，＋∞）
C. （－∞，3） D. （－∞，3]
【解析】由题意，解不等式2R＋3≥9，移项得2R≥9－3，即2R≥6，两边同时 除以2，得R≥3，所以R的取值范围用区间表示为[3，＋∞）.
A
A. 闭区间 B. 左开右闭区间
C. 左闭右开区间 D. 无穷区间
A. {x｜x＜2} B. {x｜x＞2}
C. {x｜x≤2} D. {x｜x≥2}
D
C
A. （－∞，2] B. [－1，＋∞）
C. [－5，2] D. [－1，1]
A. （－∞，－1） B. [1，＋∞）
C. （－∞，－2） D. （－2，1）
【解析】因为A∪B＝R，所以有m≥1，所以实数m的取值范围是[1，＋∞）.
C
B
A. （0，＋∞），（0，＋∞） B. （0，＋∞），[0，＋∞）
C. [0，＋∞），（－∞，0） D. [0，＋∞），（－∞，0]
A. （－∞，－1） B. （－∞，1）
C. （－1，＋∞） D. （1，＋∞）
A. （－∞，1）∪（4，＋∞） B. （－∞，1]∪[4，＋∞）
C. [1，4] D. （1，4）
D
C
A
A. （－∞，0]∪（1，3] B. （－∞，0）∪[1，3]
C. （－∞，0）∪（1，3] D. （－∞，0]∪[1，3]
A. （1，＋∞） B. （－∞，1）
C. （－1，＋∞） D. （－∞，－1）
【解析】由b＞1，得－b＜－1.因为a＜2，由同向不等式的可加性，得a－b＜ 1，所以a－b的取值范围是（－∞，1）.
B
B
A. B.
C. D.
【解析】由题可知区间[－3，0）∪（1，＋∞）表示满足不等式－3≤x＜0或x ＞1的实数x，数轴上表示时，集合不包含这个点所对应的数用空心圆圈表示， 故满足条件的选项只有C.
C
A. （－∞，－9] B. （－∞，－9）
C. （－9，＋∞） D. [－9，＋∞）
A
A. （－2，9） B. （－2，＋∞）
C. （－9，2） D. （9，＋∞）
D
二、填空题
15. 不等式组－2≤x＋1＜3的解集用区间表示为 .
【解析】不等式组－2≤x＋1＜3可转化为－2－1≤x＜3－1，即－3≤x＜2，用 区间表示为[－3，2）.
16. 连接雅安、西昌两地的雅西高速公路全长约240公里，桥隧比高达55％，被誉 为“云端天梯”.为保障行车安全，某路段限定最低行车速度不低于60 km/h，最 高行车速度不超过110 km/h，则该路段限速范围用区间表示为 .
[－3，2）
[60，110]
【解析】集合A与全集U用数轴表示如下图所示，由图可知 UA＝（－10，
－1）∪（3，10）.
18. 若实数x，y满足－2＜x＜5，1＜y＜4，则x－y的取值范围可用区间表示 为 .
【解析】因为－2＜x＜5，1＜y＜4，所以－4＜－y＜－1，－2－4＜x－y＜5 ＋（－1），即x－y的取值范围为（－6，4）.
（－10，－1）
∪（3，10）
（－6，4）
【解析】因为集合A＝（－1，4），集合B＝[0，5]，所以A∪B＝（－1，5]， A∩B＝[0，4）.

（－1，5]
[0，4）
（2）设全集U＝R，求A∩B，A∪B，（ UA）∩（ UB）.
解：（2）∵集合A＝（－∞，－1]，集合B＝（－2，4），
∴A∩B＝（－2，－1]，A∪B＝（－∞，4）.
∵ UA＝（－1，＋∞）， UB＝（－∞，－2]∪[4，＋∞），
∴（ UA）∩（ UB）＝[4，＋∞）.
22. 用区间表示下列集合，并在数轴上表示这些区间.
（1）{x｜－1≤x＜2}；
解：（1）{x｜－1≤x＜2}＝[－1，2），数轴表示如图所示.
（2）{x｜x≤3}；
解：（2）{x｜x≤3}＝（－∞，3]，数轴表示如图所示.
（3）{x｜x＞－4}.
解：（3）{x｜x＞－4}＝（－4，＋∞），数轴表示如图所示.
23. 已知集合A＝[－5，4]，集合B＝[1－2m，8－m]，若A B，求实数m的取 值范围.（用区间表示）
24. 已知集合A＝（－3，2]，集合B＝（－∞，a），且A B，求实数a的取值 范围.（用区间表示）
解：∵集合A＝（－3，2]，集合B＝（－∞，a），A B，∴a＞2.
故实数a的取值范围是（2，＋∞）.

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