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第1章　集合与充要条件
1.2　充要条件
考点一　充分不必要条件
1. 若命题“如果p，那么q”是真命题，其逆命题“如果q，那么p”是假命 题，则p是q的充分不必要条件.
考点二　必要不充分条件
2. 若命题“如果p，那么q”是假命题，其逆命题“如果q，那么p”是真命 题，则p是q的必要不充分条件.
考点三　充要条件
3. 若命题“如果p，那么q”是真命题，其逆命题“如果q，那么p”也是真命 题，则p是q的充要条件.
考点四　既不充分也不必要条件
4. 若命题“如果p，那么q”是假命题，其逆命题“如果q，那么p”也是假命 题，则p是q的既不充分也不必要条件.
考向　判断条件类型
典型例题
例1　（2026年安徽省文化素质分类考试）“x＞0”是“x＝2 026”的（　　）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【典例解析】本题考查条件判断.由x＞0推不出x＝2 026，充分性不成立；由x ＝2 026可以推出x＞0，必要性成立，故“x＞0”是“x＝2 026”的必要不充分 条件.故选B.
【方法提炼】若条件是p，结论是q.
（1）p q且q p，则p是q的充分不必要条件；
（2）p q且q p，则p是q的必要不充分条件；
（3）p q，则p是q的充要条件；
（4）p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
变式训练1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】ab＞0时，a和b可以同时为正或同时为负，因此ab＞0不能推出a＞ 0，b＞0，必要性不成立；但a＞0，b＞0一定能推出ab＞0，充分性成立.∴“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的充分不必要条件.
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】若α＝90°，则 sin α＝1，充分性成立；若 sin α＝1，则α＝90°＋ k×360°（k∈Z），α的值不一定为90°，必要性不成立.综上，“α＝90°” 是“ sin α＝1”的充分不必要条件.
B
A
典型例题
例2　（2023年安徽省文化素质分类考试）“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的 （　　）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【典例解析】本题考查条件判断.由x＝y可以推出｜x｜＝｜y｜；而由｜x｜ ＝｜y｜可以推出x＝y或x＝－y，故“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的充分不 必要条件.故选A.
变式训练2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当y≥0时，若x＞0，由x＞｜y｜可得x＞y；当y＜0时，由x＞
｜y｜可得x＞－y＞y.故充分性成立.令x＝1，y＝－2，有1＞－2，但1＜
｜－2｜＝2，故必要性不成立.所以，若x＞0，y∈R，则“x＞｜y｜”是
“x＞y”的充分不必要条件.
A
典型例题
例3　方程x2－x－12＝0成立的一个充分不必要条件是（　　）.
A. x＝－3或x＝4 B. x＝3或x＝－4
C. x＝－3 D. x＝－4
【典例解析】本题考查充分不必要条件的概念.解方程x2－x－12＝0，得x＝－3 或x＝4，故“x＝－3”和“x＝4”是“方程x2－x－12＝0”的充分不必要条 件.故选C.
【方法提炼】已知集合A＝{x｜p（x）}，集合B＝{x｜q（x）}.
①若p是q的充分不必要条件，则A B；
②若p是q的必要不充分条件，则B A；
③若p是q的充要条件，则A＝B；
④若p是q的既不充分也不必要条件，则A B且B A.
变式训练3
A. a＜2 B. a＜0 C. a≥0 D. a≥2
【解析】因为p是q的充分条件，所以{x｜0≤x＜2} {x｜x＞a}，所以a＜0.
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当0＜x＜1时，一定有－2＜x＜2，充分性成立，但－2＜x＜2时，如 x＝1.5，不满足0＜x＜1，即必要性不成立.故“0＜x＜1”是“－2＜x＜2”的 充分不必要条件.
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】若x＝±1，则有集合B＝{1}，可推出B A，充分性成立；若B A， 则有x2＝1或x2＝4，解得x＝±1或x＝±2，推不出x＝±1，必要性不成立.所 以，当集合A＝{1，4}，集合B＝{x2}时，“x＝±1”是“B A”的充分不必 要条件.
B
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为a－b＞1，所以a＞b＋1，又因为a，b均为正数，所以a2＞（b ＋1）2＝b2＋2b＋1＞b2＋1，即a2－b2＞1，充分性成立；但是当a＝2，b＝1 时，满足a2－b2＞1，而不满足a－b＞1，必要性不成立.所以，当a，b均为正 数时，“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的充分不必要条件.
B
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
A
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由a2＝1，得a＝1或a＝－1，当a＝1时，两条直线重合，当a＝－1 时，两条直线平行，充分性不成立；若直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行， 则a＝－1，可推出a2＝1，必要性成立.∴“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线 ax＋y＝1平行”的必要不充分条件.
B
必要不充分
16. 已知集合A＝Q，集合B＝Z，则“x∈A”是“x∈B”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
17. “A∩B＝A”是“A∪B＝B”的 条件.（填“充分不必要”“必 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
18. “a＞2，b＞3”是“a＋b＞5”的 条件.（填“充分不必 要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】由a＞2，b＞3可以推出a＋b＞5，充分性成立；当a＝1，b＝6时， 也满足a＋b＞5，所以a＋b＞5不能推出a＞2，b＞3，必要性不成立.故“a ＞2，b＞3”是“a＋b＞5”的充分不必要条件.
必要不充分
充要
充分不必要
19. “｜x－2｜＜1”是“1＜x＜3”的 条件.（填“充分不必要”“必 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】解不等式｜x－2｜＜1，得1＜x＜3，所以“｜x－2｜＜1”是“1＜x ＜3”的充要条件.
20. 已知“－3≤x≤1”是“x≤a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 是 .（用区间表示）
【解析】∵“－3≤x≤1”是“x≤a”的充分不必要条件，
∴[－3，1] （－∞，a]，∴a≥1.
充要
[1，＋∞）
22. 若“2＜x＜4”是“1－m＜x＜m＋1”的充分不必要条件，求实数m的取 值范围.
23. 已知命题p，q，r，s.若p是q的必要不充分条件，r是q的充分不必要条 件，s是r的充要条件，那么s是p的什么条件？
解：由p是q的必要不充分条件可知p q，q p.
由r是q的充分不必要条件可知r q，q r.
由s是r的充要条件可知s r.
故s p，而p s，即s是p的充分不必要条件.
24. 已知x∈R，集合A＝{2，｜x＋1｜，x＋3}，判断“x＝0”是“1∈A”的 什么条件.
解：当x＝0时，集合A＝{2，1，3}，显然1∈A成立，充分性成立.
反之，若1∈A，则x＋3＝1或｜x＋1｜＝1，所以x＝－2或x＝0.
当x＝－2时，x＋3＝｜x＋1｜＝1，不满足集合中元素的互异性，故x≠－2；
当x＝0时，集合A＝{2，1，3}，故由1∈A，可得x＝0，必要性成立.
故当x∈R时，“x＝0”是“1∈A”的充要条件.

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