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第2章　不等式
2.4　含绝对值的不等式
考点二　不等式｜x｜＞a，｜x｜＜a，｜x｜≥a，｜x｜≤a的解法
2. 一般地，不等式｜x｜＜a（a＞0）的解集是（－a，a）；不等式｜x｜＞ a（a＞0）的解集是（－∞，－a）∪（a，＋∞）；不等式｜x｜≤a（a＞ 0）的解集是[－a，a]；不等式｜x｜≥a（a＞0）的解集是
（－∞，－a]∪[a，＋∞）.
考向一　含绝对值的不等式的解法
典型例题
例1　（1）（2022年安徽省文化素质分类考试）不等式｜x＋1｜≥2的解集是 （　　）.
A. {x｜x≤－3或x≥1} B. {x｜－3≤x≤1}
C. {x｜x≤－1或x≥3} D. {x｜－1≤x≤3}
（2）（2023届安徽省中职“江淮十校”第九次学情监测）不等式1－｜x｜＜0的 解集为（　　）.
A. {x｜x＜－1或x＞1} B. {x｜x＜－1}
C. {x｜x＞1} D. {x｜－1＜x＜1}
（3）（2024届安徽省中职“江淮十校”第二次学情监测）不等式｜x－1｜＞x －1的解集为（　　）.
A. （－1，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－∞，1）
【典例解析】本题考查含绝对值的不等式的解法.
（1）由｜x＋1｜≥2，得x＋1≥2或x＋1≤－2，解得x≥1或x≤－3，所以原 不等式的解集为{x｜x≤－3或x≥1}.故选A.
（2）由1－｜x｜＜0，得｜x｜＞1，解得x＜－1或x＞1，所以原不等式的解集 为{x｜x＜－1或x＞1}.故选A.
（3）由｜x－1｜＞x－1，得x－1＜0，解得x＜1，所以原不等式的解集为
（－∞，1）.故选D.
变式训练1
A. {x｜x＜－2} B. {x｜x＞4}
C. {x｜－2＜x＜4} D. {x｜x＜－2或x＞4}
【解析】由｜x－1｜＜3可得－3＜x－1＜3，解得－2＜x＜4，故该不等式的解 集为{x｜－2＜x＜4}.
C
【解析】由｜2x－1｜≥5可得2x－1≤－5或2x－1≥5，解得x≤－2或x≥3， 故原不等式的解集为{x｜x≤－2或x≥3}.
A. {x｜x≤－2或x≥3} B. {x｜－2≤x≤3}
C. {x｜x≤－3或x≥2} D. {x｜－3≤x≤2}
A
典型例题
例2　不等式｜－2x＋1｜≥3的解集是（　　）.
A. {x｜x≤－1} B. {x｜x≤－1或x≥2}
C. {x｜x≥2} D. {x｜x＜－1或x＞2}
【典例解析】（方法一）因为不等式｜－2x＋1｜≥3，所以－2x＋1≤－3或
－2x＋1≥3，解得x≤－1或x≥2，即不等式的解集为{x｜x≤－1或x≥2}.（方法二）原不等式等价于｜2x－1｜≥3，所以2x－1≤－3或2x－1≥3，解得x≤－1或x≥2，即不等式的解集为{x｜x≤－1或x≥2}.
【方法提炼】当未知数的系数为负数时，可借助绝对值的性质将未知数的系数转 化为正数再进行求解.
变式训练2
A. {x｜x＞1或x＜－2} B. {x｜－2＜x＜1}
C. {x｜－1＜x＜2} D. R
【解析】因为3－｜－2x－1｜＞0，所以3－｜2x＋1｜＞0，即｜2x＋1｜＜3， 则－3＜2x＋1＜3，解得－2＜x＜1.故不等式3－｜－2x－1｜＞0的解集为 {x｜－2＜x＜1}.
B
考向二　含绝对值的不等式组的解法
典型例题
变式训练3
解：由｜2x｜－6≤0，得｜2x｜≤6，
即－6≤2x≤6，解得－3≤x≤3.
由｜x＋2｜＞2，得x＋2＜－2或x＋2＞2，
解得x＜－4或x＞0.
因此，不等式组的解集为（0，3].
A. {x｜x＜2} B. {x｜－2＜x＜2}
C. {x｜x＞2} D. {x｜x＜－2或x＞2}
A. （－1，0）
B. （0，1）
C. （－∞，0）∪（1，＋∞）
D. （－∞，－1）∪（0，＋∞）
B
B
A. [－5，0） B. （－6，2]
C. （－6，0） D. [－5，2）
【解析】由｜x＋3｜＜3可得－3＜x＋3＜3，解得－6＜x＜0，所以集合B＝ {x｜－6＜x＜0}，所以A∪B＝{x｜－5≤x≤2}∪{x｜－6＜x＜0}＝{x｜－6 ＜x≤2}＝（－6，2].
B
A. B. （－∞，3）
C. （3，＋∞） D. R
【解析】由绝对值的性质得到｜x－3｜≥0，∴不等式｜x－3｜＜－1的解集是 .
A
A. （0，2） B. （－2，0）∪（2，4）
C. （－4，0） D. （－4，－2）∪（0，2）
D
A. （－∞，－1）∪（1，＋∞） B. [－1，1]
C. （－∞，－1]∪[1，＋∞） D. （－1，1）
【解析】由题意，可知1－｜a｜≤0，即｜a｜≥1，解得a≥1或a≤－1，故实 数a的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
C
A. （－∞，2） B. （－∞，2]
C. （2，＋∞） D. [2，＋∞）
【解析】由2x－｜2－x｜＜2＋x，得｜x－2｜＞x－2，则x－2＜0，解得x ＜2，所以不等式的解集为（－∞，2）.
A. （0，＋∞） B. （－∞，0）
C. （－∞，0] D. [0，＋∞）
A
B
A. （－2，2） B. （2，＋∞）
C. （－∞，－2） D. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
【解析】因为｜x｜＋2＞0，则由（2－｜x｜）（｜x｜＋2）＞0，得2－
｜x｜＞0，解得－2＜x＜2，所以不等式（2－｜x｜）·（｜x｜＋2）＞0的解集 是（－2，2）.
A
A. {x｜－3＜x＜3} B. {x｜x＜－3}
C. {x｜x＜－3或x＞3} D. {x｜x＞3}
A. （－4，4） B. （4，＋∞）
C. （－∞，4） D. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
【解析】由题得｜x｜＋2＜6，即｜x｜＜4，解得－4＜x＜4，故原不等式的解 集是（－4，4）.
C
A
A. [－1，3] B. （－∞，－1]∪[3，＋∞）
C. [－3，1] D. （－∞，－3]∪[1，＋∞）
A. 2 B. －2 C. 3 D. －3
D
C
A. （－6，2） B. [－6，2]
C. （－∞，－6）∪（2，＋∞） D. （－∞，－6]∪[2，＋∞）
【解析】由｜x－a｜＜1，得－1＜x－a＜1，解得－1＋a＜x＜1＋a，故集 合A＝（－1＋a，1＋a）；由｜x＋2｜≥5，得x＋2≤－5或x＋2≥5，解得 x≤－7或x≥3，故集合B＝（－∞，－7]∪[3，＋∞）.∵A∩B＝ ，∴1＋ a≤3且－1＋a≥－7，解得－6≤a≤2，故实数a的取值范围是[－6，2].
B
二、填空题
15. 不等式｜2x－3｜＜5的解集是 .
【解析】由｜2x－3｜＜5可得，－5＜2x－3＜5，解得－1＜x＜4，所以不等 式｜2x－3｜＜5的解集是（－1，4）.
（－1，4）
R
[－2，3）
18. 不等式｜1－2x｜＜3的解集是 .
【解析】∵｜1－2x｜＜3，则－3＜1－2x＜3，∴－1＜x＜2，故不等式｜1－ 2x｜＜3的解集是{x｜－1＜x＜2}.
19. 若关于x的不等式｜x－2｜≥a－3的解集为R，则实数a的取值范围 为 .
【解析】∵｜x－2｜≥a－3的解集为R，｜x－2｜≥0，∴a－3≤0，解得 a≤3，即实数a的取值范围为（－∞，3].
{x｜－1＜x＜2}
（－∞，3]
20. 不等式｜x－1｜＜a的解集为（0，2），则实数a的值为 .
1
三、解答题
21. 求下列不等式的解集.
（1）｜2x｜－3≥0；
（2）｜1－2x｜＜2.
22. 求不等式组1≤｜2x－1｜≤3的解集.
解：由1≤｜2x－1｜≤3，得－3≤2x－1≤－1或1≤2x－1≤3，解得－ 1≤x≤0或1≤x≤2，
所以不等式组的解集为[－1，0]∪[1，2].
解：不等式｜－x＋1｜＜8可化为｜x－1｜＜8，
即－8＜x－1＜8，解得－7＜x＜9.
不等式x2－4x＋3≥0可化为（x－1）（x－3）≥0，解得x≤1或x≥3，
故不等式组的解集为（－7，1]∪[3，9）.
24. 已知关于x的不等式｜x－2a｜＜b的解集为（－2，6），求实数a，b的 值.
解：由｜x－2a｜＜b，得－b＜x－2a＜b，

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