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第3章　函数
3.2　函数的性质
考点一　函数的单调性
1. 已知函数y＝f（x）在区间（a，b）上有意义.
（1）对于任意两点x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）， 则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上是增函数，区间（a，b）叫作函数y＝ f（x）的增区间；
（2）对于任意两点x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）， 则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上是减函数，区间（a，b）叫作函数y＝ f（x）的减区间.
2. 图像特征.
3. 如果函数y＝f（x）在区间（a，b）上是增函数或减函数，那么称函数y＝ f（x）在区间（a，b）上具有单调性，区间（a，b）称为单调区间.
注：增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间.
考点二　函数的奇偶性
4. 对称点的坐标.
（1）点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）；
（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）；
（3）点P（a，b）关于原点中心对称的点的坐标为（－a，－b）.
5. 已知函数y＝f（x）的定义域为数集D.
（1）若对于任意的x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），则称y＝
f（x）是偶函数；
（2）若对于任意的x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），则称y＝
f（x）是奇函数.
6. 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称.
注：如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定 关于原点对称.
考向一　函数的单调性
典型例题
例1　（2022年安徽省文化素质分类考试）若函数f（x）＝x2＋x在区间（a，1 －2a）上单调递增，则a的取值范围为（　　）.
【方法提炼】判断函数的单调性的方法：图像法和定义法.
（1）图像法：在定义域内，增函数的图像自左至右呈上升趋势；在定义域内， 减函数的图像自左至右呈下降趋势.
（2）定义法：首先在定义域内任取x1，x2且x1＜x2，接着利用作差法比较
f（x1）－f（x2）与0的大小关系，然后判断f（x1）与f（x2）的大小关系，最后 得出结论.
变式训练1
判断函数f（x）＝x2－1在区间（0，＋∞）上的单调性.
考向二　对称点的坐标
典型例题
例2　已知点P与点P'关于y轴对称，点P的坐标是（－2，5），则点P'的坐标是 （　　）.
A. （－2，－5） B. （2，5）
C. （2，－5） D. （5，2）
【典例解析】本题考查关于y轴对称的点的坐标.∵点P与点P'关于y轴对称，且 点P的坐标是（－2，5），∴点P'的坐标是（2，5）.故选B.
【方法提炼】点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）.
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）.
点P（a，b）关于原点中心对称的点的坐标为（－a，－b）.
变式训练2
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
C
考向三　函数的奇偶性
典型例题
例3　（2024年安徽省文化素质分类考试）已知f（x）是R上的奇函数.当x＜0 时，f（x）＝x2＋4x.若af（a）＞0，则a的取值范围是（　　）.
A. （－4，0）∪（4，＋∞） B. （－∞，－4）∪（0，4）
C. （－4，0）∪（0，4） D. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
【典例解析】本题考查奇函数的性质及分段函数的运算.当a＜0时，af（a）＝ a（a2＋4a）＞0，所以a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.当a＞0时，因为f（x）是 R上的奇函数，所以f（－a）＝－f（a），又a＞0，所以－a＜0，则f（－ a）＝（－a）2＋4×（－a）＝a2－4a，所以f（a）＝－a2＋4a.af（a）＝ a（－a2＋4a）＞0，所以－a2＋4a＞0，解得0＜a＜4；当a＝0时，af（a） ＞0显然不成立.综上所述，a的取值范围是（－4，0）∪（0，4）.故选C.
【方法提炼】判断函数奇偶性的常用方法：
（1）借助函数的图像进行判断，若函数的图像关于原点成中心对称，则称为奇 函数；若函数的图像关于y轴成轴对称，则称为偶函数.
（2）借助于奇偶性的定义进行判断，已知函数f（x）的定义域为D，对于任意 的x∈D，都有－x∈D. 若f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数；若
f（－x）＝f（x），则f（x）为偶函数.
变式训练3
A. {a｜a＞2或a＜－4} B. {a｜a＞4或a＜－2}
C. {a｜－2＜a＜4} D. {a｜－4＜a＜2}
【解析】因为函数f（x）在R上是偶函数，因此f（x）＝f（｜x｜），所以所 求不等式可以改写成f（｜a－1｜）＞f（3），又函数f（x）在[0，＋∞）上 是增函数，所以｜a－1｜＞3，解得a＞4或a＜－2.故a的取值范围是{a｜a＞ 4或a＜－2}.
B
考向四　函数的奇偶性和单调性的综合运用
典型例题
例4　（2023年安徽省文化素质分类考试）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0 时，f（x）＝2x－1.若f（2a）＋f（a－2）＞0，则a的取值范围是（　　）.
C. a＜－2 D. a＞－2
变式训练4
已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上为增函数，且f（2x－1）＜f（3），求 x的取值范围.
解：因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上为增函数，故函数f（x）在
（－∞，0]上为减函数.
又因为f（2x－1）＜f（3），所以｜2x－1｜＜3，
解得－1＜x＜2.
故x的取值范围为（－1，2）.
A. f（a）＞f（b）＞f（0） B. f（b）＞f（a）＞f（0）
C. f（b）＞f（0）＞f（a） D. f（a）＞f（0）＞f（b）
C
A. y＝－2x2＋4x B. y＝－2x
A
B. f（x）＝x＋1
D. f（x）＝x3＋1
A. y2＝x B. y＝x2－2
C. y＝2x D. y＝log2x
【解析】y2＝x不是y关于x的函数；y＝2x与y＝log2x是y关于x的函数，但二 者既不是奇函数，也不是偶函数；y＝x2－2是y关于x的函数，且定义域为R， 对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）2－2＝x2－2＝f（x），
故是偶函数.
C
B
A. f（1）＜f（－2） B. f（1）＜f（2）
C. f（－1）＜f（2） D. f（－2）＜f（－1）
【解析】由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（－x）＝f（x），则
f（－1）＝f（1），f（－2）＝f（2）.因为f（x）在（0，＋∞）上单调递 减，所以f（2）＜f（1），故f（－2）＜f（－1）.
D
A. y＝－x2
C. y＝log2x D. y＝2x
B
A. 1 B. －3 C. 3 D. －1
【解析】由函数f（x）是奇函数，得a＝c＝0，由b－1＋c＋2＝0，得b＝
－1，故b－c＝－1.
D
A. f（－2）＞f（1）＞f（－1）
B. f（1）＞f（－1）＞f（－2）
C. f（－2）＞f（－1）＞f（1）
D. f（－1）＞f（1）＞f（－2）
【解析】因为函数f（x）在R上为奇函数，且在[0，＋∞）上单调递增，根据奇 函数的性质，得f（x）在R上单调递增，由1＞－1＞－2，得f（1）＞f（－1） ＞f（－2）.
B
A. （5，＋∞） B. （－∞，5）
C. （－∞，4） D. （4，＋∞）
【解析】因为f（x）是R上的减函数，且f（a＋2）＞f（2a－3），所以a＋2 ＜2a－3，解得a＞5.
A. （0，1） B. （1，＋∞）
A
D
D. 函数f（x）的定义域是[0，2]
D
A. （2，＋∞） B. （－2，2）
C. （－∞，2） D. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
【解析】由偶函数的图像特征，可得f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（－ 2）＝f（2），故当－2＜a＜2时，f（a）＜f（2）.
B
A. f（x）是增函数，其图像与x轴有一个交点
B. f（x）是增函数，其图像与x轴没有交点
C. f（x）是减函数，其图像与x轴有一个交点
D. f（x）是减函数，其图像与x轴没有交点
A
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
【解析】由题意可知，f（1）－g（1）＝3　①，f（－1）－g（－1）＝－1＋ 1＋1＝1，又f（x），g（x）分别为偶函数和奇函数，所以f（1）＋g（1）＝ 1　②，由式①②，得f（1）＝2，g（1）＝－1，故f（1）·g（1）＝－2.
B
二、填空题
15. 已知点P的坐标为（－3，5），则点P关于y轴对称的点的坐标为 .
【解析】点关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点P（－3，5）关于y轴对称的点的坐标为（3，5）.
16. 已知函数f（x）＝（m2－2m－3）x2＋（n－2）x＋1是偶函数，且二次项 系数为－4，则m＋n的值为 .
【解析】根据偶函数的性质，得n－2＝0，解得n＝2.由二次项系数为－4， 可得m2－2m－3＝－4，整理得m2－2m＋1＝0，解得m＝1.因此m＋n＝1＋ 2＝3.
（3，5）
3
17. 已知一次函数f（x）＝3x－1的定义域为{x｜－2≤x≤3}，则该函数的最 大值为 .
【解析】因为一次函数f（x）＝3x－1中k＝3＞0，所以该函数在定义域[－2， 3]上单调递增，则该函数的最大值f（x）max＝f（3）＝3×3－1＝9－1＝8.
18. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x2－x＋1， 则f（－1）的值为 .
【解析】由题意得f（1）＝2×12－1＋1＝2，又函数f（x）是定义在R上的奇 函数，∴f（－1）＝－f（1）＝－2.
8
－2
19. 已知奇函数f（x）在R上是增函数，且f（3－t）＋f（2t－5）＜0，则实 数t的取值范围是 .
【解析】∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），因此f（3－t） ＋f（2t－5）＜0可变形为f（3－t）＜－f（2t－5）＝f（5－2t）.又函数
f（x）在R上是增函数，∴3－t＜5－2t，解得t＜2，所以实数t的取值范围是 （－∞，2）.
20. 已知函数f（x）＝kx3＋mx－3，且f（2）＝5，则f（－2）＝ .
【解析】令g（x）＝kx3＋mx，则函数g（x）是奇函数，且f（x）＝
g（x）－3.由f（2）＝5，得f（2）＝g（2）－3＝5，可得g（2）＝8.因为函 数g（x）是奇函数，所以g（－2）＝－g（2）＝－8，则f（－2）＝
g（－2）－3＝－8－3＝－11.
（－∞，2）
－11
三、解答题
21. 判断函数f（x）＝3x＋2在R上的单调性.
解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝3x1＋2－（3x2＋2）＝3（x1－x2），
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）＝3x＋2在R上为增函数.
22. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x.试求当 x＜0时，函数f（x）的解析式.
解：设x＜0，则－x＞0，因为当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x，
所以f（－x）＝－（－x）2＋2×（－x）＝－x2－2x，又因为函数f（x）是 R上的奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）＝－x2－2x，
即f（x）＝x2＋2x，
所以当x＜0时，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2＋2x.
23. 设f（x）既是R上的增函数，也是R上的奇函数，且f（1）＝2.
（1）求f（－1）的值；
解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（－1）＝－f（1）＝－2.
（2）若f（t2－4t＋2）＜－2，求实数t的取值范围.
解：（2）由（1）知f（－1）＝－2.
又因为f（t2－4t＋2）＜－2，
所以f（t2－4t＋2）＜f（－1），
又因为f（x）是R上的增函数，
所以t2－4t＋2＜－1，即t2－4t＋3＜0，
则（t－1）（t－3）＜0，
解得1＜t＜3，
故实数t的取值范围为（1，3）.
24. 已知函数f（x）为定义在区间[－2，2]上的减函数，且f（1＋a）＜f（1－ a），求实数a的取值范围.

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