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第2章　不等式
2.3　一元二次不等式
考点一　一元二次不等式的概念
1. 含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式. 其一般形式为ax2＋bx＋c＞0（a≠0）.
注：上述不等式中的“＞”也可换成“＜”“≥”“≤”或“≠”.
一元二次不等式
（a＞0） 解集
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＞0 （－∞，x1）∪
（x2，＋∞） （－∞，x0）∪
（x0，＋∞） R
ax2＋bx＋c≥0 （－∞，x1]∪
[x2，＋∞） R R
ax2＋bx＋c＜0 （x1，x2）
ax2＋bx＋c≤0 [x1，x2] {x0}
考点三　一元二次不等式、二次函数与一元二次方程之间的关系
3. 根据一元二次方程根的判别式的三种情况，将一元二次方程的解、二次函数的 图像和一元二次不等式的解集列表如下.
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0（a＞0）的 解 无实数解
二次函数y＝ax2＋
bx＋c（a＞0）的图像
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次 不等式的 解集（a ＞0） ax2＋bx＋c＞0 （－∞，x1）∪
（x2，＋∞） （－∞，x0）∪
（x0，＋∞） R
ax2＋bx＋c≥0 （－∞，x1]∪
[x2，＋∞） R R
ax2＋bx＋c＜0 （x1，x2）
ax2＋bx＋c≤0 [x1，x2] {x0}
考向一　一元二次不等式的概念
典型例题
例1　若一元二次不等式ax2＋x＋1＞0的解集为R，求实数a的取值范围.
【典例解析】本题考查一元二次不等式的概念及解法.
变式训练1
A. （0，＋∞） B. （0，1）
C. （0，1] D. （1，＋∞）
B
考向二　一元二次不等式的解法
典型例题
例2　（2023年安徽省文化素质分类考试）不等式x（3x－1）≤0的解集为 （　　）.
A. {x｜x≤0}
变式训练2
C. （0，1） D. （－∞，0）
A
A. {x｜x＜0或x＞5} B. {x｜0＜x＜5}
C. {x｜x＜－5或x＞0} D. {x｜－5＜x＜0}
【解析】由x2－5x＜0，得x（x－5）＜0，解得0＜x＜5，所以原不等式的解 集为{x｜0＜x＜5}.
B
典型例题
例3　（2020年安徽省文化素质分类考试）不等式－x2＋2x≥0的解集为 （　　）.
A. {x｜0≤x≤2} B. {x｜x≤－2或x≥0}
C. {x｜－2≤x≤0} D. {x｜x≤0或x≥2}
【典例解析】本题考查一元二次不等式的解法.由－x2＋2x≥0，得x2－2x≤0， 解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}.故选A.
【方法提炼】当一元二次不等式的二次项系数为负数时，一般将不等号的两边同 时乘以－1，并改变不等号方向.
变式训练3
求一元二次不等式－x2＋x－2≤0的解集.
解：由－x2＋x－2≤0，得x2－x＋2≥0.
∵Δ＝（－1）2－4×1×2＝－7＜0，且对应的二次函数y＝x2－x＋2的图像开口 向上，
∴不等式的解集为R.
考向三　一元二次不等式、二次函数与一元二次方程之间的关系
典型例题
例4　已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx－3＞0的解集是（－∞，－2）∪ （1，＋∞），则a，b的值分别是（　　）.
变式训练4
A. a＝1，b＝2 B. a＝－1，b＝2
C. a＝－1，b＝－2 D. a＝1，b＝－2
【解析】关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为（－1，2），∴关于x的一元 二次方程x2＋ax＋b＝0的两根为x1＝－1，x2＝2，∴－1＋2＝－a，（－1） ×2＝b，∴a＝－1，b＝－2.
C
A. 2x＋3＜0 B. x2－3x＋1≥0
C. x3＋x＞2
B
A. R B.
C. {x｜x≠－5} D. {x｜x＝－5}
【解析】不等式x2＋10x＋25＞0即（x＋5）2＞0，则x＋5≠0，解得x≠－5， 故不等式的解集为{x｜x≠－5}.
C
C
A. （4，6）
B. （－6，－4）
C. （－∞，4）∪（6，＋∞）
D. （－∞，－6）∪（－4，＋∞）
【解析】－x2＋10x＞24可化为x2－10x＋24＜0，即（x－4）（x－6）＜0， 解得4＜x＜6，所以原不等式的解集为（4，6）.
A
A. （－∞，－1]∪[6，＋∞） B. [－1，6]
C. （－∞，－1）∪（6，＋∞） D. （－1，6）
A
A. [－4，1] B. [－1，4]
C. （－∞，－4]∪[1，＋∞） D. （－∞，－1]∪[4，＋∞）
A. －14 B. －12 C. 12 D. 14
C
A
A. （－4，3）
B. （－∞，－4）∪（3，＋∞）
C. （－∞，－3）∪（4，＋∞）
D. （－3，4）
【解析】不等式x2－x－12＜0，可化为（x－4）·（x＋3）＜0，解得－3＜x＜ 4，故不等式x2－x－12＜0的解集是（－3，4）.
D
B
A
A. {x｜－1＜x＜2} B. {x｜－3＜x＜－1}
C. {x｜1＜x＜－4} D. {x｜－2＜x＜1}
【解析】集合Q＝{x｜x2＜4}＝{x｜－2＜x＜2}，又集合P＝{x｜x＜1}，所 以P∩Q＝{x｜－2＜x＜1}.
D
A. [20，30] B. [10，40]
C. [15，35] D. [25，35]
【解析】由y≥600得－x2＋50x≥600，因式分解为（x－20）（x－30）≤0， 解得20≤x≤30，故门票价格x的取值范围是[20，30].
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由x2－3x≤0，即x（x－3）≤0，解得0≤x≤3；由（x－1）（x－ 2）≤0，解得1≤x≤2.所以当0≤x≤3时，1≤x≤2不一定成立，即充分性不成 立；当1≤x≤2时，0≤x≤3一定成立，即必要性成立.故当x∈R时，“x2－ 3x≤0”是“（x－1）（x－2）≤0”的必要不充分条件.
B
A. B. （－5，2） C. （－2，5） D. R
【解析】∵x2＋2＞0，∴（x2＋2）（x2－3x－10）＜0等价于x2－3x－10＜0， ∴（x－5）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜5，∴不等式（x2＋2）（x2－3x－ 10）＜0的解集为（－2，5）.
C
16. 不等式x2＋2x＋2＜0的解集为 .
【解析】∵x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1，（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋1≥1， 不存在x满足x2＋2x＋2＜0，故不等式x2＋2x＋2＜0的解集为 .

18. 若关于x的方程（a－2）x2－2（a－2）x＋1＝0无实数解，则a的取值范围 是 .（用区间表示）
【解析】因为关于x的方程（a－2）x2－2（a－2）x＋1＝0无实数解，当a－2 ＝0，即a＝2时，原方程为1＝0，无解，符合题意；当a－2≠0时，则Δ＝4（a －2）2－4（a－2）＜0，即4（a－2）（a－3）＜0，解得2＜a＜3.综上所述， 2≤a＜3，即a的取值范围是[2，3）.
[2，3）
19. 不等式（3－2x－x2）（x2＋1）＜0的解集为 .
20. 已知关于x的一元二次不等式x2＋（a＋1）x＋2b＞0的解集是（－∞，1） ∪（2，＋∞），则a＝ ，b＝ .
（－∞，－3）∪（1，＋∞）
－4
1
三、解答题
21. 若不等式ax2＋2x＋b＜0的解集是{x｜x＜－1或x＞2}，求a，b的值.
23. 求下列不等式的解集.
（1）x2＋x－12≤0；
解：（1）∵x2＋x－12≤0，∴（x－3）（x＋4）≤0，
∴－4≤x≤3，∴不等式的解集为{x｜－4≤x≤3}.
（2）－x2＋5x－6＜0.
解：（2）－x2＋5x－6＜0，即x2－5x＋6＞0，
∴（x－2）（x－3）＞0，∴x＜2或x＞3，
∴不等式的解集为{x｜x＜2或x＞3}.
24. 已知关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，求实数a的取值范围.
解：∵ax2＋2x－1＝0，

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