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第3章　函数
思维导图
命题解读
考情分析
1.函数的概念.
理解用集合语言和对应关系定义的函数概念.
2.函数的表示方法.
（1）理解函数的三种表示方法：解析法、列表法和图像法；
（2）理解分段函数的概念.
3.函数的单调性和奇偶性.
（1）理解增函数、减函数、单调区间、奇函数、偶函数的定义与函数图像的几 何特征；
（2）初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法.
4.函数的应用.
初步掌握从实际问题中抽象出一次函数、分段函数、二次函数模型解决简单实 际问题的方法.
命题方向 题型与题量
1.函数的定义域的求法.
2.函数的值域的求法.
3.函数的表示方法.
4.函数单调性的判断.
5.常见函数的单调性.
6.函数的单调区间.
7.函数奇偶性的判断.
8.常见函数的奇偶性.
9.分段函数求函数值.
10.分段函数的定义域.
11.判断函数是否为同一个函数.
12.利用函数的奇偶性求函数值. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为3或4题.
3.1　函数的概念及函数的表示方法
考点一　函数的概念
1. 一般地，设D是非空实数集，对于D中的每一个x，按照某个对应法则f，都 有唯一确定的实数y与它对应，则称这个对应关系为集合D上的函数，记作y＝
f（x），x∈D. 其中，x称为函数的自变量，集合D称为函数的定义域.
2. 当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的函数值，记作y0＝
f（x0）.
3. 函数值的集合{y｜y＝f（x），x∈D}称为函数的值域.
4. 函数的两个要素：定义域、对应法则.
5. 同一个函数：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函 数才是同一个函数，与表示的字母无关.
6. 分段函数：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们 称这样的函数为分段函数.它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域 是自变量的各段不同取值范围集合的并集，值域是自变量在各段不同取值范围的 函数值集合的并集.
考点二　函数的表示方法
7. 利用解析式表示函数的方法叫作解析法.
8. 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法叫作列表法.
9. 利用图像来表示函数的方法叫作图像法.
考向一　函数的定义域
典型例题
A. {x｜x≠0} B. {x｜x≠－4}
C. {x｜x≠4} D. {x｜x≠±4}
【典例解析】本题考查函数的定义域.由分式的分母不能为0，得｜x｜－4≠0， 故x≠±4，所以函数的定义域为{x｜x≠±4}.故选D.
【方法提炼】函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围.求函 数定义域时应注意以下几点：（1）若函数解析式中含有分母，则分母不能为0； （2）若函数解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负数；（3）若函数解析式 中含有对数，则真数大于0；（4）函数的定义域需要写成集合或区间的形式.
变式训练1
C
A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，0] D. [0，＋∞）
B
考向二　同一个函数
典型例题
例2　（2023届安徽省中职“江淮十校”第四次学情监测）下列各组函数中，表 示同一个函数的是（　　）.
A. y1＝lg x2，y2＝2lg x
C. y1＝1，y2＝（x＋1）0
【方法提炼】判断两个函数是否为同一个函数，主要看它们的定义域和对应法则 是否都相同，只有定义域和对应法则都相同的才是同一个函数.
变式训练2
A. y＝ln ex
A
考向三　分段函数
典型例题
A. 23 B. 9 C. 3 D. 1
【典例解析】本题考查分段函数的运算.f（4）＝42＝16，f（0）＝0＋a＝a. 若f（4）－f（0）＝7，则有16－a＝7，解得a＝9.故选B.
【方法提炼】分段函数求值的关键是注意自变量x的取值，根据x的取值找到对 应的解析式，代入求值.
变式训练3
C. －2 D. 2
D
考向四　函数的表示方法
典型例题
例4　已知长方形的周长为20，求长方形的一条边长y关于相邻的一条边长x的函 数解析式.
【典例解析】本题考查函数的解析式.
依题意，得2（x＋y）＝20，则y＝10－x，x∈（0，10）.
【方法提炼】求实际问题中函数解析式的步骤：（1）设未知数；（2）列关系 式；（3）写因变量关于自变量的等式，并注意自变量x的取值范围.
变式训练4
已知矩形的周长为30，设其中一条边长为x，且x的取值范围是[3，10]，求矩形 的面积S关于边长x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
解：由题意可知，矩形边长为x的邻边长为15－x.
矩形的面积S＝x（15－x）＝－x2＋15x，
由题意知3≤x≤10，且需满足邻边长15－x＞0（边长为正），则自变量x的取 值范围为[3，10].
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，1] D. [1，＋∞）
D
C. f（x）＝x0与g（x）＝1
B
A. y＝－2x－1
D. y＝2x2
D
A. [0，＋∞） B. （－∞，0）∪（0，＋∞）
C. （0，＋∞） D. （－∞，0）
C
【解析】判断函数的定义域是否为R，需保证函数在全体实数上都有意义.选项 A，分母x2－2x≠0，解得x≠0且x≠2，定义域不是R；选项B，被开方数x2＋ 1≥1＞0，对任意实数x恒成立，定义域为R；选项C，由被开方数x－3≥0，解 得x≥3，定义域不是R；选项D，被开方数x≥0且x2＋x≠0，则x＞0，定义域 不是R.
B
A. （－3，0） B. [－3，3]
C. [－3，0] D. R
C
A. [－1，5] B. （－1，5）
C. [0，5] D. [－2，4]
【解析】函数y＝2x＋1是一次函数，且k＝2＞0，因此函数y＝2x＋1在定义域 R上单调递增，故函数f（x）＝2x＋1在[－1，2]上单调递增.当x＝－1时，
f（－1）＝2×（－1）＋1＝－1；当x＝2时，f（2）＝2×2＋1＝5.因此函数的 值域为[－1，5].
A
A. x＝1＋y B. y2＝2x－1
D. x2＝1－2y
【解析】y2＝2x－1不符合函数的概念中，在一定范围内，对于x的每一个值， y都有唯一确定的值与之对应，所以y2＝2x－1不能构成y是x的函数关系.
A. 11 B. 17
C. 21 D. 25
【解析】f（－2）＝3×（－2）2－2×（－2）＋5＝3×4＋4＋5＝21.
B
C
A. （－∞，1） B. （0，＋∞）
C. （－∞，0）∪（0，1） D. （1，＋∞）
【解析】要使函数有意义，必须使x0－x＞0且x≠0，解得x＜1且x≠0，∴函 数f（x）＝ln（x0－x）的定义域为（－∞，0）∪（0，1）.
A. {x｜x≠1} B. {x｜x≠－1}
C. {x｜x≠0} D. {x｜x∈R}
C
C
A. [－1，＋∞） B. [－1，4）
C. （－1，4] D. （－∞，4）
【解析】因为分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集，所以 题给函数的定义域是[－1，0）∪[0，4）＝[－1，4）.
B
B. 1 D. 2
【解析】f（－1）＝2－（－1）－1＝1，f[f（－1）]＝f（1）＝2×12＝2.
D
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【解析】f（3）＝f（3＋1）＝f（4）＝24＝16.
D
（0，＋∞）
[2，7]
－1
11

y＝30－
2x（7.5＜x＜15）
23. 已知函数f（x）＝x2－2x＋1，求f（x－2）.
解：将f（x）＝x2－2x＋1中的x替换为x－2，得f（x－2）＝（x－2）2－2 （x－2）＋1＝x2－4x＋4－2x＋4＋1＝x2－6x＋9.

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