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(共34张PPT)
第4章　三角函数及三角计算
思维导图
命题解读
考情分析
1.了解角的概念的推广.
2.理解三角函数的定义.
3.熟记三角函数值在各象限内的符号.
4.熟记特殊角的三角函数值.
5.学会使用弧度制表示角并计算.
6.掌握同角三角函数的基本关系.
7.掌握诱导公式并进行化简和计算.
8.掌握正弦函数和余弦函数的图像及性质.
9.会使用和角公式及二倍角公式进行计算.
10.掌握正弦型函数的图像及性质.
11.会应用正弦定理和余弦定理解三角形.
命题方向 题型与题量
1.任意角三角函数的定义.
2.同角三角函数的基本关系.
3.诱导公式.
4.正弦函数和余弦函数的图像及性质.
5.和角公式和二倍角公式.
6.正弦型函数的图像及周期.
7.正弦定理和余弦定理. 【考查题型】
选择题.
【考查题量】
一般为4或5题.
4.1　角的概念的推广及弧度制
4.1.1　角的概念的推广
考点一　正角、负角与零角
1. 角按照射线的旋转方向可以分为正角、负角和零角.一条射线绕着端点，按逆 时针方向旋转所形成的角，称为正角；一条射线绕着端点，按顺时针方向旋转所 形成的角，称为负角；如果一条射线没有做任何旋转，也认为形成了一个角，则 形成的角称为零角.
考点二　象限角与界限角
2. 象限角：将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，此时 角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角.
3. 界限角：如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫界限角.
注：界限角与象限角的区别是终边位置不同.
考点三　终边相同的角
4. 研究终边相同的角的前提是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负 半轴重合.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合 S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角都可以表示成 角α与周角的整数倍的和.
考向一　正角、负角与零角及象限角与界限角
典型例题
例1　（1）下列说法正确的是（　　）.
①第三象限角比第一象限角大；
②钝角是第二象限角，第二象限角是钝角；
③三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
④锐角都是第一象限角.
A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ④
（2）三角形最大的内角一定是（　　）.
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 以上都不对
【典例解析】（1）本题考查象限角的概念.①第三象限角表示角的终边落在第三 象限，第一象限角表示角的终边落在第一象限，无法比较大小；②钝角是90°～ 180°范围内的角，且不包括90°和180°，故是第二象限角，但第二象限角只是 角的终边落在第二象限，无法确认大小；③三角形的内角是0°～180°范围内的 角，且不包括0°和180°，其中直角是界限角；④锐角是0°～90°范围内的 角，且不包括0°和90°，故是第一象限角.故选D.
（2）本题考查象限角和界限角的概念.三角形最大的内角可能是锐角、直角或钝 角，所以最大的内角可能是第一象限角，也可能是第二象限角，也可能是界限 角.故选D.
【方法提炼】象限角与界限角是根据角的终边位置来确定的，无关大小与正负， 而锐角、钝角和三角形的内角是有明确大小范围的.
变式训练1
A. 平行四边形的最大内角是第二象限角
B. 平面四边形的最大内角不可能是第三象限角
C. 三角形的最大内角为第二象限角
D. 平面四边形有且只有两个锐角
【解析】矩形是特殊的平行四边形，其最大内角为直角，是界限角，A项错误； 平面四边形的最大内角不可以大于180°，B项正确；三角形的最大内角可能是 锐角、钝角或直角，所以最大内角可能是第一象限角、第二象限角或界限角，C 项错误；当平面四边形为矩形时，平面四边形没有锐角，D项错误.
B
A. 90° B. 45° C. －45° D. －90°
【解析】把时钟拨慢15分钟，则分针逆时针旋转了90°，转过的角度为90°.
A. 720° B. －720°
C. 1 440° D. －1 440°
【解析】由题意知，主动轮周长是从动轮周长的2倍.主动轮顺时针转了两圈，则 从动轮逆时针转了四圈，因此从动轮转过的角度为1 440°.
A
C
典型例题
例2　（1）（2024年安徽省文化素质分类考试）若角α是第二象限角，则角π＋α 是（　　）.
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
（2）（2020年安徽省文化素质分类考试）已知角α是第一象限角，则角－α是 （　　）.
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【典例解析】本题考查象限角.
（1）第二象限角α如图所示，则角π＋α为第四象限角.故选D.
（2）因为角－α与角α的终边关于x轴对称，且角α是第一象限角，所以角－α是 第四象限角.故选D.
【方法提炼】（1）在同一直角坐标系中，画出角α与角π＋α的终边，结合图形， 可直观地得出答案.
（2）角α的终边与角－α的终边关于x轴对称；角α的终边与角π－α的终边关于y 轴对称；角α的终边与角π＋α的终边关于原点中心对称.
变式训练2
A. －90° B. －45° C. 0° D. 90°
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
C
B
A. {钝角}
B. {α｜90°≤α≤180°}
C. {α｜k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}
D. {α｜k·360°＋90°≤α≤k·360°＋180°，k∈Z}
C
考向二　终边相同的角
典型例题
例3　（1）（2023年安徽省文化素质分类考试）角2 023°的终边在（　　）.
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
（2）写出在－720°～0°范围内与30°角终边相同的角.
【典例解析】本题考查终边相同的角.
（1）与2 023°角终边相同的角组成的集合为S＝{β｜β＝2 023°＋360°·k， k∈Z}，当k＝－5时，β＝223°，而223°角为第三象限角.故选C.
（2）∵与30°角终边相同的角组成的集合为S＝{β｜β＝30°＋k·360°， k∈Z}，
∴在－720°～0°范围内与30°角终边相同的角有
当k＝－2时，β＝－690°；
当k＝－1时，β＝－330°.
【方法提炼】利用与角α终边相同的角组成的集合为S＝{β｜β＝α＋360°·k， k∈Z}，可以求出符合某些条件的终边相同的角，注意“k∈Z”这一条件.
变式训练3
A. －590° B. 50° C. 130° D. 950°
【解析】与230°角终边相同的所有角组成的集合为S＝{β｜β＝230°＋ k·360°，k∈Z}，由计算可知，只有D选项的950°＝230°＋2×360°可化为上 述形式.
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
D
D
A. 第一象限角小于第二象限角 B. 锐角一定是第一象限角
C. 第二象限角是钝角 D. 平角大于第二象限角
【解析】30°角为第一象限角，－240°角为第二象限角，而30°＞－240°，故 A错误；设角α为锐角，则0°＜α＜90°，所以锐角一定是第一象限角，故B正 确；－240°角为第二象限角，但－240°角不是钝角，故C错误；480°角为第 二象限角，而180°＜480°，故D错误.
B
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】因为－270°＜－226°＜－180°，所以－226°角是第二象限角.
A. 25° B. －25° C. 115° D. －115°
【解析】与335°角终边相同的所有角组成的集合为S＝{β｜β＝k·360°＋ 335°，k∈Z}，经计算，当k＝－1时，即β＝－25°符合题意.
B
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】若角α为界限角，则有α＝90°·k（k∈Z），因此“角α为界限角” 　 “α＝180°·k（k∈Z）”；当角α＝180°·k（k∈Z）时，角α的终边落在x轴 上，因此角α为界限角，所以“α＝180°·k（k∈Z）” “角α为界限角”.故 “角α为界限角”是“α＝180°·k（k∈Z）”的必要不充分条件.
B
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
A. {α｜90°＜α＜180°}
B. {α｜k·360°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}
C. {α｜0°＜α＜90°}
D. {α｜k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}
A
D
A. 180° B. 360° C. 0° D. 90°
【解析】0°角与360°角的终边都在x轴的非负半轴上，B，C项错误；90°角 的终边在y轴的非负半轴上，D项错误.
A
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】设终边在射线y＝2x（x≤0）上的角为α.因为射线y＝2x（x≤0）在 第三象限，所以角α的终边在第三象限，因此角α为第三象限角.
C
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】因为角α是锐角，即0°＜α＜90°，所以－90°＜－α＜0°，所以角
－α的终边在第四象限.
D
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】∵角α是第三象限角，即180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360° （k∈Z），∴－90°＋k·360°＜α－270°＜k·360°（k∈Z），∴角（α－ 270°）是第四象限角.
D
A. 第二象限角 B. 第三象限角
C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角
【解析】当k为偶数时，即k＝2n，n∈Z，则角α＝2n·180°－30°＝n·360° －30°，n∈Z，所以角α的终边与－30°角的终边相同，所以角α为第四象限 角；当k为奇数时，即k＝2n＋1，n∈Z，则角α＝（2n＋1）·180°－30°＝ n·360°＋150°，n∈Z，所以角α的终边与150°角的终边相同，所以角α为第 二象限角.综上所述，角α为第二或第四象限角.
D
A. {α｜α＝30°＋180°·k，k∈Z}
B. {α｜α＝－30°＋180°·k，k∈Z}
C. {α｜α＝30°＋360°·k，k∈Z}
D. {α｜α＝－30°＋360°·k，k∈Z}
D
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角
C
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】－100°角的终边顺时针方向转动120°后，角的大小变为－100°－ 120°＝－220°，－220°角为第二象限角.
B
二、填空题
15. －120°角是第 象限角.
16. 已知角α＝－165°＋90°·k（k∈Z），则角α在第三象限的最小正角 为 .
【解析】当k＝4时，α＝－165°＋360°＝195°.
三
195°
17. 与－30°角终边相同的角的集合为 .
【解析】与角α终边相同的角组成的集合是{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，故与
－30°角终边相同的角组成的集合为{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}
18. 在0°～720°范围内与－80°角终边相同的角有 .
【解析】与－80°角终边相同的角组成的集合为S＝{α｜α＝k·360°－80°， k∈Z}，由题意可知，k只能取1和2，当k＝1时，α＝280°；当k＝2时，α＝ 640°.
19. 若角α是第一象限角，则角（π＋α）是第 象限角.
20. 已知角α是第一象限角，则角180°－α是第 象限角.
【解析】因为角α与角180°－α的终边关于y轴对称，角α是第一象限角，所以角 180°－α是第二象限角.
280°和640°
三
二
三、解答题
21. 写出在－360°～720°范围内与－660°角终边相同的角.
解：∵与－660°角终边相同的角组成的集合为S＝{β｜β＝－660°＋k·360°， k∈Z}，
∴在－360°～720°范围内与－660°角终边相同的角有，
当k＝1时，β＝－300°；
当k＝2时，β＝60°；
当k＝3时，β＝420°.
∴在－360°～720°范围内与－660°角终边相同的角有－300°，60°和420°.
22. 在0°～360°范围内，写出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象 限角.
（1）－110°；
解：（1）与－110°角终边相同的所有角组成的集合为S＝{β｜β＝k·360°－ 110°，k∈Z}，
当k＝1时，β＝1×360°－110°＝250°，
∴－110°角是第三象限角.
（2）645°.
解：（2）与645°角终边相同的所有角组成的集合为S＝{β｜β＝k·360°＋ 645°，k∈Z}，
当k＝－1时，β＝－1×360°＋645°＝285°，
∴645°角是第四象限角.
23. 写出终边落在直线y＝x上的角组成的集合.
解：设角α的终边落在直线y＝x上，
∴角α的终边可能落在第一象限或第三象限.
（1）当角α的终边落在第一象限时，则角α的终边与45°角的终边相同，即{α｜α ＝k·360°＋45°，k∈Z}.
（2）当角α的终边落在第三象限时，则角α的终边与225°角的终边相同，即{α｜ α＝k·360°＋225°，k∈Z}.
综上所述，终边落在直线y＝x上的角组成的集合S＝{α｜α＝k·360°＋45°， k∈Z}∪{α｜α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α｜α＝n·180°＋45°，n∈Z}.
24. 已知θ∈{α｜α＝k·180°＋（－1）k＋1·50°，k∈Z}，则角θ是第几象限角？
解：当k＝2n（n∈Z）为偶数时，k＋1＝2n＋1（n∈Z）为奇数，
α＝2n×180°＋（－1）2n＋1×50°＝n·360°－50°（n∈Z），则θ∈{α｜α＝ n·360°－50°，n∈Z}，所以角θ是第四象限角；
当k＝2n＋1（n∈Z）为奇数时，k＋1＝2n＋2（n∈Z）为偶数，
α＝（2n＋1）×180°＋（－1）2n＋2×50°＝n·360°＋230°（n∈Z），则 θ∈{α｜α＝n·360°＋230°，n∈Z}，所以角θ是第三象限角.
综上所述，角θ是第三或第四象限角.

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