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第3章　函数
3.3　常见函数及函数的应用
考点一　一次函数
1. 表达式：一般地，形如y＝kx＋b（k≠0）的函数.
2. 图像和性质：
y＝kx＋b k＞0 k＜0
b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
图像
趋势 上升 下降
y＝kx＋b k＞0 k＜0
b＞0 b＜0 b＞0 b＜0
定义域 R
值域 R
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 当b＝0时，一次函数y＝kx（k≠0）是奇函数，其图像关于原点 中心对称
3. 一次函数模型：根据实际问题，建立自变量x和因变量y的函数模型为y＝kx ＋b（k≠0），通过待定系数法求解函数解析式，并确定自变量的取值范围.
考点二　二次函数
4. 表达式：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数.
5. 图像和性质：
y＝
ax2＋bx＋c a＞0 a＜0
开口向上的一条抛物线 开口向下的一条抛物线
图像
顶点坐标
对称轴方程
y＝
ax2＋bx＋c a＞0 a＜0
开口向上的一条抛物线 开口向下的一条抛物线
定义域 R
值域
最值
单调性
奇偶性 当b＝0时为偶函数
6. 二次函数模型：二次函数模型常用于解决几何体最大面积问题、抛物线形桥梁 和隧道问题、销售最大利润问题等.
k＞0 k＜0
图像
定义域 （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 （－∞，0）∪（0，＋∞）
k＞0 k＜0
奇偶性 是奇函数，图像关于原点中心对称
单调性 在（－∞，0）和（0，＋∞）上 都是减函数 在（－∞，0）和（0，＋∞）上 都是增函数
考点四　分段函数
9. 定义：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，这样的函 数叫作分段函数，分段函数是一个函数.
10. 考查类型：
（1）分段函数的求值问题：确定自变量的取值范围后代入该段的解析式；
（2）已知分段函数的值求自变量的值：假设函数值在分段函数的各段上都能取 得，解关于自变量的方程，求出各段上自变量的值；
（3）求分段函数的定义域：自变量的各段不同取值范围集合的并集；
（4）求分段函数的值域：各段不同取值范围的函数值集合的并集；
（5）分段函数的图像：在同一平面直角坐标系中，分别在各段不同取值范围 内，按照其对应的函数解析式作出相应部分的图像.
考向一　一次函数
典型例题
【方法提炼】用待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设：设出函数解析式； ②代：将点坐标代入解析式得方程（组）；③解：解方程（组）求出待定的系 数；④答：写出完整的函数解析式.
变式训练1
A. 1 B. 3 C. －1 D. －3
【解析】因为函数f（x）＝ax＋b－1在R上为奇函数，所以b－1＝0，解得b ＝1，又因为f（1）＝2，所以a＝2，所以a＋b＝3.
B
考向二　二次函数
典型例题
例2　（1）（2023年安徽省文化素质分类考试）若f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的 偶函数，则f（x）在区间[－3，2]上的最小值为（　　）.
A. 0 B. 1 C. 9 D. 19
（2）（2021年安徽省文化素质分类考试）已知函数f（x）＝x2－2x在区间[0， a]上的最大值与最小值的和为3，则a＝（　　）.
A. 3
【方法提炼】（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中a，b，c所代表的含 义：①a决定函数图像开口方向（a＞0，函数图像开口向上；a＜0，函数图像 开口向下）；②b决定奇偶性（b＝0时为偶函数，b≠0时，既不是奇函数也不 是偶函数）；③c决定函数图像与y轴的交点位置（c＞0，函数图像交于y轴正 半轴；c＜0，函数图像交于y轴负半轴；c＝0，函数图像经过原点）.
（2）二次函数求最值时，先求出对称轴，再将区间以对称轴为临界分情况讨 论，利用二次函数的单调性求最值.
变式训练2
A. 函数f（x）的最大值为1 B. 函数f（x）的最大值为－1
C. 函数f（x）的最小值为－1 D. 函数f（x）的最小值为1
【解析】因为函数f（x）＝－bx2＋（b2－1）x＋b是偶函数，所以b2－1＝0， 即b＝1或b＝－1，所以f（x）＝－x2＋1或f（x）＝x2－1.又因为f（2）＜ 0，所以f（x）＝－x2＋1，则函数f（x）的最大值为1.
A
A. [1，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. （－∞，1] D. （－∞，－1]
【解析】由f（2）＝f（－4），得二次函数图像的对称轴方程为x＝－1，由
f（2）＜f（0），得a＜0，故二次函数f（x）的单调增区间是（－∞，－1].
D
例3　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点 A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速 度移动.如果点P，Q同时出发，用t（单位：s）（0＜t＜6）表示移动的时间， 那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2？
变式训练3
如图，用长为100 m的篱笆围成一面靠墙的矩形菜园（靠墙的一边不用篱笆，且 墙足够长）.设AD＝x（单位：m），矩形ABCD的面积为y（单位：m2）.
（1）求y关于x的函数解析式；（不要求写出定义域）
解：（1）由题意，得AD＝x，AB＝100－2x，
∴y＝x（100－2x），
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x2＋100x.
（2）当AD为何值时，y取得最大值？并求出y的最大值.
A. 第二、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、三象限 D. 第一、四象限
变式训练4

C. 2 D. 3
变式训练5
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】由题意得，f（1）＝12＋2＝3，f（－1）＝－1＋a.又∵f（－1）＝
f（1），即－1＋a＝3，∴a＝4.
A
变式训练6
为了鼓励居民节约用水，某地居民用水按阶梯式收费，具体收费标准如下表 所示：
每户每月用水量 不超过10吨（含10吨） 超过10吨的部分
水费单价 1.30元/吨 2.00元/吨
（1）设某户某月用水量为x（x＞0）吨，需付水费为y元，求水费y（元）与月 用水量x（吨）之间的函数解析式；
（2）若小华家四月份需付水费17元，则他家四月份用水多少吨？
解：（2）设小华家四月份用水量为x吨.
∵17＞1.3×10＝13，
∴小华家四月份用水量超过10吨，
由（1），得2x－7＝17，
∴2x＝24，解得x＝12.
故小华家四月份用水量为12吨.
每户每月用水量 不超过10吨（含10吨） 超过10吨的部分
水费单价 1.30元/吨 2.00元/吨
A. x＝2 B. x＝－2 C. x＝4 D. x＝－4
A
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】因为一次函数f（x）＝（m－2）x＋3的图像经过点（1，5），所以f （1）＝（m－2）×1＋3＝5，解得m＝4.
A. [0，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. [1，＋∞） D. （－∞，0]
【解析】因为二次函数在定义域上有最大值，所以a＜0.又因为函数图像的对称 轴方程为x＝－1，故其减区间是[－1，＋∞）.
C
B
A. （3，＋∞） B. （－∞，3）
C. [3，＋∞） D. （－∞，3]
【解析】因为一次函数f（x）＝（a－3）x＋5在R上是增函数，所以a－3＞ 0，解得a＞3，故实数a的取值范围是（3，＋∞）.
A
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
C
A. k＝6，函数图像在第一、三象限
B. k＝－6，函数图像在第一、三象限
C. k＝6，函数图像在第二、四象限
D. k＝－6，函数图像在第二、四象限
D
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
A. （－2，3）
B. （－3，2）
C. （－∞，－2）∪（3，＋∞）
D. （－∞，－3）∪（2，＋∞）
【解析】由二次函数f（x）＝ax2＋（a＋1）x＋6是偶函数，得a＋1＝0，即 a＝－1，所以f（x）＝－x2＋6.由f（x）＞x，得－x2＋6＞x，即x2＋x－6 ＜0，解得－3＜x＜2，所以不等式f（x）＞x的解集是（－3，2）.
B
A. 30元 B. 26元 C. 24元 D. 20元
【解析】李华家第四季度用水量为15 m3，则该季度应交水费y＝2.8×15－12＝ 30（元）.
A
A. －5 B. －3 C. 3 D. 5
【解析】由题意知f（－3）＝（－3＋1）2＝4，则f[f（－3）]＝f（4）＝4－1 ＝3.
C
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】由f（m）＝3，当m＞2时，令m＋1＝3，得m＝2（舍去）；当0＜ m≤2时，令m2＋2＝3，得m＝1或m＝－1（舍去），所以m＝1，则f（m＋ 2）＝f（3）＝4.
B
A. 100 km
B. 120 km
C. 150 km
D. 180 km
C
A. y＝100x（x＞0） B. y＝200x（x＞0）
C
A. （0，2）
B. （－2，0）
C. （－∞，－2）∪（0，＋∞）
D. （－∞，0）∪（2，＋∞）
【解析】由f（｜a＋1｜）－f（1）＞0，可知f（｜a＋1｜）＞f（1），又函 数y＝f（x）是定义在R上的减函数，所以｜a＋1｜＜1，解得－2＜a＜0.
B
【解析】当a≥0时，f（a）＝a2－4a＝－4，解得a＝2；当a＜0时，f（a） ＝2a＝－4，解得a＝－2.综上所述，a＝2或a＝－2.
2或－2
下
二
18. 已知二次函数y＝x2－4x＋2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是 .
19. 已知某种商品每日的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数解析式 为y＝－0.1x2＋0.6x＋49.1（x＞0），则该种商品每日的销售利润最大 为 元.
a＜b
[－2，7]
50
三、解答题
21. 已知二次函数f（x）＝x2－2x－1.求：
（1）函数f（x）的单调增区间及图像的对称轴方程；
解：（1）因为f（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，
所以该函数图像的对称轴方程为x＝1.
又因为图像开口向上，所以单调增区间为[1，＋∞）.
（2）函数f（x）在[－1，2]上的值域.
解：（2）因为二次函数图像开口向上且对称轴方程为x＝1∈[－1，2]，
所以f（x）max＝f（－1）＝2，f（x）min＝f（1）＝－2，
所以该函数在[－1，2]上的值域为[－2，2].
22. 已知函数f（x）＝－x2＋2ax－a在区间[0，3]上的最大值为2，求实数a 的值.
解：函数f（x）＝－x2＋2ax－a＝－（x－a）2＋a2－a，图像的对称轴方程 为x＝a，开口向下.
①当a≤0时，函数在区间[0，3]上单调递减，f（x）max＝f（0）＝－a＝2，所 以a＝－2；
②当0＜a＜3时，f（x）max＝f（a）＝a2－a＝2，所以a＝2或a＝－1（舍 去）；
23. 某养殖户为了扩大养殖规模，计划用总长为200 m的渔网在一大片水域的中 间围成一个矩形养鱼网箱.若矩形的一边长为x（m），面积为y（m2）.
（1）求y与x之间的函数解析式；
解：（1）y＝x（100－x）（0＜x＜100），
即y＝－x2＋100x（0＜x＜100）.
（2）怎样才能使围成的养鱼网箱的面积最大？这个最大值是多少？
解：（2）y＝－x2＋100x＝－（x2－100x＋2500）＋2500＝－（x－50）2＋ 2500，
所以当矩形养鱼网箱的一边长为50 m时，该矩形养鱼网箱的面积最大，最大面积 为2500 m2.
24. 某种商品按每件50元销售时，每月可销售100件，若该商品的销售单价每增加 1元，则月销售量减少2件.当销售单价为60元时，月销售量为多少件？
解：由题意，设销售单价为x（元），月销售量为y（件），则月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的函数解析式为y＝100－2（x－50）＝－2x＋ 200，
当x＝60时，y＝－2×60＋200＝80.
故当销售单价为60元时，月销售量为80件.

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