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第4章　三角函数及三角计算
4.2　任意角的三角函数
三角函数 表达式 定义域
正弦函数 sin α R
余弦函数 cos α R
正切函数 tan α
考点三　三角函数值
4. 三角函数值在各象限中的符号：
三角函数值 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
5. 特殊角的三角函数值：
α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135°
0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在 －1
α 150° 180° 210° 225° 240° 270° 360°
π 2π
sin α 0 －1 0
cos α －1 0 1
tan α 0 1 不存在 0
考向一　任意角的三角函数定义
典型例题
变式训练1
D
C
考向二　单位圆与三角函数
例2　已知角α的终边经过点P（5，－12），则角α的终边与以坐标原点为圆心的 单位圆的交点坐标为（　　）.
A. （5，－12） B. （－5，12）
变式训练2
B
考向三　三角函数值
典型例题
A. 第一或第三象限角 B. 第一或第四象限角
C. 第二或第三象限角 D. 第二或第四象限角
变式训练3
A. 第一或第三象限角 B. 第一或第四象限角
C. 第二或第三象限角 D. 第二或第四象限角
C
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
B
典型例题
例4　（1）判断下列各三角函数值的符号：
（2）判断67°角与－67°角的三角函数值的符号.
【典例解析】本题考查象限角与其三角函数值符号之间的关系.
（1）①376°＝16°＋360°，因此376°角是第一象限角，所以 sin 376°＞0.
②－367°＝－7°＋（－360°），因此－367°角是第四象限角，所以 cos
（－367°）＞0.
④3弧度的角是第二象限角，所以 sin 3＞0.
变式训练4
A. sin θ＞0， cos θ＞0 B. sin θ＞0， cos θ＜0
C. sin θ＜0， cos θ＞0 D. sin θ＜0， cos θ＜0
【解析】因为角－θ为第二象限角，则角θ为第三象限角，所以 sin θ＜0， cos θ ＜0.
D
＞
＜
＜
＜
＜
＞
（3）已知角α为第四象限角，判断（ sin α－ cos α）（1－tan α）的符号.
解：因为角α是第四象限角，有 sin α＜0， cos α＞0，tan α＜0，
所以 sin α－ cos α＜0，1－tan α＞0，
因此（ sin α－ cos α）（1－tan α）＜0.
典型例题
例5　已知角α是第四象限角，且终边在直线y＝－2x上，则 sin α＝ 　　　　， cos α＝ 　　　　，tan α＝ 　　　　.
【方法提炼】若角α的终边在已知直线上，求角α的三角函数值时可以在终边上取 一点，将问题转化为已知终边上一点求三角函数值.
变式训练5

典型例题
【方法提炼】熟记30°，45°，60°角的三角函数值，120°，135°，150°角 的三角函数值可以熟记，也可以通过后面学习的诱导公式推导所得.对于界限角 的三角函数值，结合单位圆理解性记忆，不要死记硬背.
变式训练6
A. 正角的三角函数值为正数
B. 负角的三角函数值为负数
C. 零角的三角函数值为零
D. 所有象限角的三角函数值的符号由终边位置决定
【解析】根据三角函数的定义，所有象限角的三角函数值的符号是由终边位置决 定的，因此选D.
D
B
B
C
A. sin 585°＜0 B. tan（－675°）＞0
C. cos （－690°）＜0 D. tan 1 010°＜0
【解析】585°＝360°＋225°，225°角是第三象限角，故 sin 585°＝ sin 225°＜0，A项正确；－675°＝360°×（－2）＋45°，故tan（－675°）＝ tan 45°＞0，B项正确；－690°＝360°×（－2）＋30°，故 cos （－690°） ＝ cos 30°＞0，C项错误；1 010°＝360°×2＋290°，290°角是第四象限 角，故tan 1 010°＝tan 290°＜0，D项正确.
C
A. 2 B. －2 C. 0 D. 1
B
B
A. sin （π－α）＞0， cos （π－α）＞0
B. sin （π－α）＞0， cos （π－α）＜0
C. sin （π－α）＜0， cos （π－α）＞0
D. sin （π－α）＜0， cos （π－α）＜0
【解析】因为角α为第二象限角，则角－α是第三象限角，则角（π－α）是第一 象限角，所以 sin （π－α）＞0， cos （π－α）＞0.
D. －2
A
D
A. 0 B. 3 C. 4 D. 7
A
D
A
A. 第二象限 B. 第四象限
C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
A. （－2，1） B. （－1，2）
C. （－2，－1） D. （1，2）
D
B
【解析】由题意可知 cos α与tan α同号.当 cos α＞0且tan α＞0时，角α是第 一象限角；当 cos α＜0且tan α＜0时，角α是第二象限角，故角α是第一或 第二象限角.
－1
－1
0
－4
一或第二
二
三、解答题
21. 已知角α的终边经过点P（－12，5），求 sin α， cos α和tan α的值.
解：原式＝2×1＋2×（－1）＋3×（－1）－0＋1＝－2.
24. 若角α的终边在直线y＝3x上，且 sin α＜0，求 sin α， cos α和tan α的值.

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