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第4章　三角函数及三角计算
4.5　正弦函数、余弦函数、正弦型函数的图像和性质
4.5.1　正弦函数、余弦函数的图像和性质
考点一　正弦函数的图像和性质
1. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图像称为正弦曲线，如下图所示：
3. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的主要性质：
（2）周期性：正弦函数y＝ sin x，x∈R的最小正周期为2π.
（3）奇偶性：正弦函数y＝ sin x，x∈R是奇函数，函数图像关于原点中心 对称.
注：一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义 域内任意一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），则称函数y＝f（x）为周期函 数，非零常数T为y＝f（x）的一个周期.如果周期函数y＝f（x）的所有周期 中存在一个最小的正数T0，那么这个最小的正数T0就称为y＝f（x）的最小正周 期.如正弦函数y＝ sin x.
6. 余弦函数y＝ cos x，x∈R的主要性质：
（1）值域：对任意的x，都有｜ cos x｜≤1，由此可知，余弦函数y＝ cos x， x∈R的值域为[－1，1].当x＝2kπ（k∈Z）时，y取得最大值，ymax＝1；当x＝ 2kπ＋π（k∈Z）时，y取得最小值，ymin＝－1.
（2）周期性：余弦函数y＝ cos x，x∈R的最小正周期为2π.
（3）奇偶性：余弦函数y＝ cos x，x∈R是偶函数，函数图像关于y轴对称.
（4）单调性：余弦函数y＝ cos x，x∈R在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ] （k∈Z）上都是增函数，其函数值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ ＋π]（k∈Z）上都是减函数，其函数值从1减小到－1.
考向一　正弦函数y＝ sin x，x∈R的图像
典型例题
例1　作出函数y＝ sin x－1在[0，2π]上的简图.
【典例解析】本题考查用“五点法”作正弦函数的简图.
①列表：
x 0 π 2π
y＝ sin x 0 1 0 －1 0
y＝ sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
②描点、连线可得y＝ sin x－1在[0，2π]上的简图，如图所示.
【方法提炼】求作正弦函数的简图，一般用“五点法”，即找出规定区间上的五 个关键点.
变式训练1
利用“五点法”作出函数y＝1－ sin x在[0，2π]上的简图.
解：①列表：
x 0 π 2π
y＝ sin x 0 1 0 －1 0
y＝1－ sin x 1 0 1 2 1
②描点、连线可得y＝1－ sin x在[0，2π]上的简图，如图所示.
考向二　正弦函数y＝ sin x，x∈R的性质
典型例题
例2　不求值，比较下列两组数值的大小.
变式训练2
不求值，比较下列两组数值的大小.
典型例题
例3　若2 sin x＋k－1＝0，x∈R，则实数k的取值范围是 　　　　.
【方法提炼】运用正弦函数与余弦函数的值域解题时，首先要考虑其定义域，其 次要注意正弦函数与余弦函数前面的系数.
变式训练3
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
C
A. [－5，1] B. [－1，5]
C. [－2，3] D. [－3，2]
【解析】由－1≤ sin x≤1，得－1≤2－3 sin x≤5，所以函数f（x）＝2－
3 sin x的值域为[－1，5].
B
考向三　余弦函数y＝ cos x，x∈R的图像
典型例题
【典例解析】本题考查用“五点法”作余弦函数的简图.
①列表：
x 0 π 2π
y＝ cos x 1 0 －1 0 1
0 0
【方法提炼】求作余弦函数的简图，一般用“五点法”，即找出规定区间上的五 个关键点.
变式训练4
A. （0，0）
D. （π，1）
D
（2）作出函数y＝－ cos x在[0，2π]上的简图.
解：①列表：
x 0 π 2π
y＝ cos x 1 0 －1 0 1
y＝－ cos x －1 0 1 0 －1
②描点、连线可得y＝－ cos x在[0，2π]上的简图，如图所示.
考向四　余弦函数y＝ cos x，x∈R的性质
典型例题
例5　已知函数y＝2 cos x，x∈R，求该函数的最大值及取得最大值时x的取值 集合.
【典例解析】本题考查余弦函数的最值.
∵函数y＝ cos x，x∈R的最大值为1，
∴函数y＝2 cos x的最大值为ymax＝2×1＝2，
此时x的取值集合是{x｜x＝2kπ，k∈Z}.
【方法提炼】求函数y＝A cos x，x∈R的最值，要看A的大小.当A＞0时，函数 y＝A cos x，x∈R在x＝2kπ（k∈Z）处取得最大值，且ymax＝A；在x＝2kπ＋ π（k∈Z）处取得最小值，且ymin＝－A. 当A＜0时，函数y＝A cos x，x∈R在 x＝2kπ（k∈Z）处取得最小值，且ymin＝A；在x＝2kπ＋π（k∈Z）处取得最 大值，且ymax＝－A.
变式训练5
典型例题
例6　不求值，比较下列各组数值的大小.
（1） cos 382°与 cos 425°；
（3） cos 2与 cos 3.
（3）因为y＝ cos x在区间[0，π]上是减函数，且0＜2＜3＜π，所以 cos 2＞ cos 3.
【方法提炼】三角函数值比较大小，可通过诱导公式，将角度化到同一单调区间 内，利用函数的单调性进行比较；也可通过诱导公式，将函数的自变量化到[0， π]范围内，再利用函数的单调性或单位圆或函数的图像比较大小；有时也可通过 三角函数值在各象限中的符号来比较大小.
变式训练6
不求值，比较下列各组数值的大小.
（3） cos 4与 cos 5.
解：（3）因为π＜4＜5＜2π，而y＝ cos x在区间[π，2π]上是增函数，所以 cos 4 ＜ cos 5.
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
A. －1 B. 1 C. －3 D. 3
B
C
B
A. f（x）＝1－x2 B. f（x）＝x＋1
C. f（x）＝ cos x D. f（x）＝ sin x
A. （－1，1） B. [－2，2]
C. （－1，0） D. [－2，0]
【解析】因为｜ sin x｜≤1，所以｜1＋a｜≤1，所以－1≤1＋a≤1，所以
－2≤a≤0.
B
D
D
A. y＝ sin x
B. y＝ cos x
C. y＝ sin x＋ cos x
D. y＝ sin x cos x
B
B
D
B. 奇函数，最小值为－1
C. 偶函数，最小正周期为π D. 偶函数，最小正周期为2π
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】y＝ cos x（2－ cos x）－ sin 2x＝2 cos x－ cos 2x－ sin 2x＝2 cos x－ 1，因为 cos x∈[－1，1]，所以2 cos x－1∈[－3，1]，故该函数的最大值是1.
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
【解析】当x∈R时，有f（－x）＝ sin （－x）· cos （－x）＝－ sin x cos x＝ －f（x），所以函数f（x）＝ sin x cos x是奇函数.
A
A
B. [－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）
C. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
B
二、填空题
15. 比较大小： sin 2 cos 3.（填“＞”“＜”或“＝”）
16. 函数y＝2 sin x＋5的值域是 .
17. 函数y＝a sin x－2b（a＞0）的值域为[－1，5]，则ab＝ .
＞
[3，7]
－3
18. 函数y＝ cos x－1（x∈R）的最大值是 ，最小值是 ，最小正周 期是 .
【解析】因为－1≤ cos x≤1，可知－2≤ cos x－1≤0.y＝ cos x－1与y＝ cos x 的最小正周期相同，都是2π.
0
－2
2π
2
解：因为y＝ sin x在[0，π]上的图像如下图所示，

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