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浙江省温州市南浦实验中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学模拟考
1．（2025九上·温州期中）卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【分析】本题以足球射门为生活情境，考查事件类型的分类与判断，根据事件结果的可能性大小判断即可.
【解答】
解：“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这一事件是随机事件，即不确定事件，
故选：D．
2．（2025九上·温州期中）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义，紧扣“整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0”三个核心要素，逐项判断即可求解．
【解答】
解：A．，关系式不是整式，故不是二次函数；
B．，关系式不是整式，故不是二次函数；
C．，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；
D．，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选：C．
3．（2025九上·温州期中）已知，，，，若的最长边为16，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，的最长边为16，
∴和的相似比，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，先找对应最长边的相似比，再计算面积比.
4．（2025九上·温州期中）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为，即，
故选：D．
【分析】本题考查抛物线平移，抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”法则，对顶点式中x和常数项进行调整即可.
5．（2025九上·温州期中）甲乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，两人玩一次恰好平手（出相同手势）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为=，
故选：C．
【分析】用树状图展示所有9种等可能的结果数，再数出“平局”的结果数，用概率公式计算.
6．（2025九上·温州期中）如图，直线，线段，分别交m于点B，E，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例定理，得，结合AC=3AB推导AD与AE的关系.
7．（2025九上·温州期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【知识点】线段的比
【解析】【解答】解：∵在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，
，
∴的值不变，
故选：A．
【分析】本题考查了比例线段，图形各边扩大相同倍数，对应边的比值不变.
8．（2025九上·温州期中）图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（　　）
A．95m B．190m C．235m D．285m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：令，则，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，拱形底部宽度为y=0时，x轴上两点的距离，令y=0解方程求横坐标即可.
9．（2025九上·温州期中）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
10．（2025九上·温州期中）已知点，，在抛物线上，且点A到y轴的距离小于2，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点A到y轴的距离小于2，
∴，
∴当时，，
当时，，
∴；
故选：D．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由抛物线上两点纵坐标相同，得对称轴为两点横坐标的中点，求出b的值，再结合点A的横坐标范围求k的范围．
11．（2025九上·温州期中）已知，的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由可设，
∴；
故答案为．
【分析】本题主要考查比例的性质，通过设参法根据题目设，代入式子计算即可．
12．（2025九上·温州期中）二次函数的顶点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k，顶点为（h，k），直接对应系数即可．
13．（2025九上·温州期中）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.
试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95
根据表格，估计该麦种的发芽概率为　 　.（结果精确到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格数据可知，随着试验种子数的不断增大，发芽频率的值在附近波动，并趋于稳定，故可估计该麦种的发芽概率约为．
故答案为0.95．
【分析】本题主要考查频率估算概率，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定值.
14．（2025九上·温州期中）已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，准确识别二次函数解析式中的a、b，代入对称轴公式建立方程，求解未知数参数m即可.
【解答】
解：由抛物线的对称轴为直线，可知：，
∴；
故答案为．
15．（2025九上·温州期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：过点P作轴于点E，如图所示：
令，则有，解得：，
令时，则，
∴，
∴，
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
故答案为．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，先求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标；得，构造垂直辅助线，然后利用AAS证明三角形全等（），利用全等三角形转化点的坐标，则，代入解析式建立方程求解即可.
16．（2025九上·温州期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，正方形EFDQ、正方形MNPQ公共顶点记为点Q，其余的各个顶点都在Rt△ABC的边上，若AC=5，BC=3，则EP=　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB=4，
过P作PG⊥BC于G，
∵四边形EFDQ和四边形QMNP是正方形，
∴∠CGP=∠QMN=∠QDF=∠B=90°，PN=MN=MQ，
∴∠GPN+∠GNP=90°，∠GNP+∠BNM=90°，
∴∠GPN=∠BNM，
同理∠BNM=∠QMD，
在△GPN、△BNM、△DMQ中，
∠PGN=∠B=∠QDM=90°，∠GPN=∠BNM=∠DMQ，PN=MN=QM，
∴△QDM≌△MBN≌△NGP，
∴PG=BN=DM，GN=BM=DQ，
∵∠PGC=∠B=90°，
∴△CGP∽△CBA，
∴，
∴
同理，，
设EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b=BN=DM，GN=BM=DQ=EF=3a，
可列一元二次方程组：
解得：
EP=5-5a-5b=．
【分析】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用.构造垂直辅助线可证△QDM≌△MBN≌△NGP，△AEF∽△PGC∽△ABC，通过相似三角形比例设参数EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b，列方程组求解参数，求出a、b的值，代入目标线段EP=5-5a-5b求解即可．
17．（2025九上·温州期中）已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的表达式；
（2）求的面积.
【答案】（1）（1）
解：把点，代入得：，解得：，
∴
（2）解：由（1）可知：，令时，则有，
∴，即，
∵点，，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】本题主要考查二次函数表达式以及三角形面积问题；
（1）将已知点代入函数解析式，解方程组得表达式；
（2）根据（1）可得点C坐标，结合x轴上两点得距离，然后代入三角形面积公式计算．
（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
令时，则有，
∴，即，
∵点，，
∴，
∴．
18．（2025九上·温州期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点，使．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得；
（2）在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以．
（1）如图所示．
（2）如图所示．
19．（2025九上·温州期中）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值．
【答案】（1）解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
（2）解：由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴n的值为
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】本题考查了简单的概率公式，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用概率公式“符合条件的情况数÷总情况数”求概率；
（2）分析放入红球后的总球数，根据新概率列分式方程，求解并检验．
（1）解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴n的值为．
20．（2025九上·温州期中）如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
的长是
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质.
（1）由平行四边形的性质(对角相等）得，因为，转化角的关系所以，结合已知角相等，通过“两角分别相等”证相似；
（2）利用相似三角形的对应边成比例得，代入已知边求解．
（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
的长是.
21．（2025九上·温州期中）如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示和的长．
（2）求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．
【答案】（1）解：由题意得：，∴；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查几何图形中的代数式表示、二次函数的实际应用（面积最值问题）；
（1）由题意可得，然后利用篱笆总长和靠墙边的长度，建立矩形边长的代数式；
（2）由（1）可得，通过配方法或顶点公式求最大值．
（1）解：由题意得：，
∴；
（2）解：由（1）可得：
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
22．（2025九上·温州期中）概率与应用：
【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）．
【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则：
将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片．
【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签．
【任务】
（1）求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率．
（2）用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率．
【答案】（1）解：由题意可知：小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为
（2）解：由题意可列表如下：
小温/小州 A C
A
C
由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；
（1）直接数小温抽卡的总情况数，求“趣味问答”的概率；
（2）用列表（树状图）列举出两次抽卡的所有结果，筛选符合条件的结果，计算概率．
（1）解：由题意可知：
小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为；
（2）解：由题意可列表如下：
小温/小州 A C
A
C
由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为．
23．（2025九上·温州期中）已知：二次函数（m为常数）.
（1）求证：函数图象与x轴有两个交点.
（2）若函数图象经过点，，
①当时，，求函数表达式.
②当时，都有，请直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：∵，∴．
∴函数图象与x轴有两个交点
（2）解：①∵函数图象经过点，，，∴，．
∵，
∴．
．
∴ ，或．
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴关于对称轴对称的点为．
∵，
∴点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小．
∵，
∴当时，；
当时，．
综上所述，m的取值范围为，或．
【分析】
本题主要考查用根的判别式判断二次函数与x轴的交点；结合二次函数的对称轴，利用对称点的函数值相等、函数的增减性分类讨论求解参数等问题.
（1）计算判别式，由证与x轴有两个交点；
(2)①利用对称点的函数值相等，建立方程求m；
②根据对称轴的位置，结合区间内的增减性，分类讨论求m的范围.
（1）解：∵，
∴．
∴函数图象与x轴有两个交点．
（2）解：①∵函数图象经过点，，，
∴，．
∵，
∴．
．
∴ ，或．
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴关于对称轴对称的点为．
∵，
∴点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小．
∵，
∴当时，；
当时，．
综上所述，m的取值范围为，或．
24．（2025九上·温州期中）如图1，在菱形中，于点E，G为的中点，延长交的延长线于点F，已知，．点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），且满足，设，．
（1）求证：．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，连结．
①当与的一边垂直时，求x的值．
②当点D落在的延长线上时，记与的交点为M，求的值．
【答案】（1）在菱形中，有，，，∵，，
∴在中，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），
∴，
∴，
即：，
则：，；
（3）①在（1）、（2）中已得，，，即，，
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，
∵，
∴，
又∵、相交，
∴的情况不存在；
综上所述：x的值为或者；
②过Q点作于N点，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理：，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
结合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的值为．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的解析式构建以及三角函数的应用.（1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，证明线段相等；
（2）由菱形对边平行及角度推导，得，即有，进而算出GE、GF的长度；，结合的条件，将PG=GF-PF，AQ=x，PF=y代入，即可得到y关于x的一次函数解析式；
（3）①针对PQ与一边垂直，分三类讨论，当时，利用三角函数表示线段长度，结合（2）的结论有，列方程求解即可；当时，证明，通过相似比，列方程求解；当时，可得，此与、相交矛盾，排除此情况； ②过Q点作于N点，证明，由比例线段求出x的值，再证明，最后通过相似比得到可得，得到比值．
（1）在菱形中，有，，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），
∴，
∴，
即：，
则：，；
（3）①在（1）、（2）中已得，，，
即，，
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，
∵，
∴，
又∵、相交，
∴的情况不存在；
综上所述：x的值为或者；
②过Q点作于N点，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理：，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
结合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的值为．
1 / 1浙江省温州市南浦实验中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学模拟考
1．（2025九上·温州期中）卡塔尔世界杯足球赛中，“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
2．（2025九上·温州期中）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·温州期中）已知，，，，若的最长边为16，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·温州期中）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·温州期中）甲乙两人玩“石头、剪子、布”游戏，两人玩一次恰好平手（出相同手势）的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·温州期中）如图，直线，线段，分别交m于点B，E，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·温州期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
8．（2025九上·温州期中）图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（　　）
A．95m B．190m C．235m D．285m
9．（2025九上·温州期中）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·温州期中）已知点，，在抛物线上，且点A到y轴的距离小于2，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·温州期中）已知，的值为　 　．
12．（2025九上·温州期中）二次函数的顶点坐标为　 　．
13．（2025九上·温州期中）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表.
试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95
根据表格，估计该麦种的发芽概率为　 　.（结果精确到0.01）
14．（2025九上·温州期中）已知抛物线的对称轴为直线，则m的值是　 　.
15．（2025九上·温州期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为　 　.
16．（2025九上·温州期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，正方形EFDQ、正方形MNPQ公共顶点记为点Q，其余的各个顶点都在Rt△ABC的边上，若AC=5，BC=3，则EP=　 　．
17．（2025九上·温州期中）已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C.
（1）求二次函数的表达式；
（2）求的面积.
18．（2025九上·温州期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点，使．
（2）在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使．
19．（2025九上·温州期中）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值．
20．（2025九上·温州期中）如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
21．（2025九上·温州期中）如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示和的长．
（2）求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．
22．（2025九上·温州期中）概率与应用：
【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）．
【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则：
将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片．
【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签．
【任务】
（1）求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率．
（2）用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率．
23．（2025九上·温州期中）已知：二次函数（m为常数）.
（1）求证：函数图象与x轴有两个交点.
（2）若函数图象经过点，，
①当时，，求函数表达式.
②当时，都有，请直接写出m的取值范围.
24．（2025九上·温州期中）如图1，在菱形中，于点E，G为的中点，延长交的延长线于点F，已知，．点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），且满足，设，．
（1）求证：．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，连结．
①当与的一边垂直时，求x的值．
②当点D落在的延长线上时，记与的交点为M，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【分析】本题以足球射门为生活情境，考查事件类型的分类与判断，根据事件结果的可能性大小判断即可.
【解答】
解：“运动员梅西射门一次，成功进球得分”这一事件是随机事件，即不确定事件，
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义，紧扣“整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0”三个核心要素，逐项判断即可求解．
【解答】
解：A．，关系式不是整式，故不是二次函数；
B．，关系式不是整式，故不是二次函数；
C．，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；
D．，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；
故选：C．
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，的最长边为16，
∴和的相似比，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，先找对应最长边的相似比，再计算面积比.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为，即，
故选：D．
【分析】本题考查抛物线平移，抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”法则，对顶点式中x和常数项进行调整即可.
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为=，
故选：C．
【分析】用树状图展示所有9种等可能的结果数，再数出“平局”的结果数，用概率公式计算.
6．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例定理，得，结合AC=3AB推导AD与AE的关系.
7．【答案】A
【知识点】线段的比
【解析】【解答】解：∵在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，
，
∴的值不变，
故选：A．
【分析】本题考查了比例线段，图形各边扩大相同倍数，对应边的比值不变.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：令，则，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，拱形底部宽度为y=0时，x轴上两点的距离，令y=0解方程求横坐标即可.
9．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：四边形OBCG为矩形，则OB=CG，证明△AHF1∽△BOF1，然后根据相似三角形的性质进行解答.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵点A到y轴的距离小于2，
∴，
∴当时，，
当时，，
∴；
故选：D．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由抛物线上两点纵坐标相同，得对称轴为两点横坐标的中点，求出b的值，再结合点A的横坐标范围求k的范围．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由可设，
∴；
故答案为．
【分析】本题主要考查比例的性质，通过设参法根据题目设，代入式子计算即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k，顶点为（h，k），直接对应系数即可．
13．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格数据可知，随着试验种子数的不断增大，发芽频率的值在附近波动，并趋于稳定，故可估计该麦种的发芽概率约为．
故答案为0.95．
【分析】本题主要考查频率估算概率，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定值.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，准确识别二次函数解析式中的a、b，代入对称轴公式建立方程，求解未知数参数m即可.
【解答】
解：由抛物线的对称轴为直线，可知：，
∴；
故答案为．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等的判定-AAS；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：过点P作轴于点E，如图所示：
令，则有，解得：，
令时，则，
∴，
∴，
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
故答案为．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，先求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标；得，构造垂直辅助线，然后利用AAS证明三角形全等（），利用全等三角形转化点的坐标，则，代入解析式建立方程求解即可.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB=4，
过P作PG⊥BC于G，
∵四边形EFDQ和四边形QMNP是正方形，
∴∠CGP=∠QMN=∠QDF=∠B=90°，PN=MN=MQ，
∴∠GPN+∠GNP=90°，∠GNP+∠BNM=90°，
∴∠GPN=∠BNM，
同理∠BNM=∠QMD，
在△GPN、△BNM、△DMQ中，
∠PGN=∠B=∠QDM=90°，∠GPN=∠BNM=∠DMQ，PN=MN=QM，
∴△QDM≌△MBN≌△NGP，
∴PG=BN=DM，GN=BM=DQ，
∵∠PGC=∠B=90°，
∴△CGP∽△CBA，
∴，
∴
同理，，
设EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b=BN=DM，GN=BM=DQ=EF=3a，
可列一元二次方程组：
解得：
EP=5-5a-5b=．
【分析】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用.构造垂直辅助线可证△QDM≌△MBN≌△NGP，△AEF∽△PGC∽△ABC，通过相似三角形比例设参数EF=3a，CG=3b，则AE=5a，AF=4a，PC=5b，PG=4b，列方程组求解参数，求出a、b的值，代入目标线段EP=5-5a-5b求解即可．
17．【答案】（1）（1）
解：把点，代入得：，解得：，
∴
（2）解：由（1）可知：，令时，则有，
∴，即，
∵点，，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】本题主要考查二次函数表达式以及三角形面积问题；
（1）将已知点代入函数解析式，解方程组得表达式；
（2）根据（1）可得点C坐标，结合x轴上两点得距离，然后代入三角形面积公式计算．
（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
令时，则有，
∴，即，
∵点，，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：如图所示．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得；
（2）在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以．
（1）如图所示．
（2）如图所示．
19．【答案】（1）解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
（2）解：由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴n的值为
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】本题考查了简单的概率公式，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用概率公式“符合条件的情况数÷总情况数”求概率；
（2）分析放入红球后的总球数，根据新概率列分式方程，求解并检验．
（1）解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴n的值为．
20．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
的长是
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质.
（1）由平行四边形的性质(对角相等）得，因为，转化角的关系所以，结合已知角相等，通过“两角分别相等”证相似；
（2）利用相似三角形的对应边成比例得，代入已知边求解．
（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
的长是.
21．【答案】（1）解：由题意得：，∴；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查几何图形中的代数式表示、二次函数的实际应用（面积最值问题）；
（1）由题意可得，然后利用篱笆总长和靠墙边的长度，建立矩形边长的代数式；
（2）由（1）可得，通过配方法或顶点公式求最大值．
（1）解：由题意得：，
∴；
（2）解：由（1）可得：
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为．
22．【答案】（1）解：由题意可知：小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为
（2）解：由题意可列表如下：
小温/小州 A C
A
C
由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；
（1）直接数小温抽卡的总情况数，求“趣味问答”的概率；
（2）用列表（树状图）列举出两次抽卡的所有结果，筛选符合条件的结果，计算概率．
（1）解：由题意可知：
小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为；
（2）解：由题意可列表如下：
小温/小州 A C
A
C
由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为．
23．【答案】（1）解：∵，∴．
∴函数图象与x轴有两个交点
（2）解：①∵函数图象经过点，，，∴，．
∵，
∴．
．
∴ ，或．
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴关于对称轴对称的点为．
∵，
∴点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小．
∵，
∴当时，；
当时，．
综上所述，m的取值范围为，或．
【分析】
本题主要考查用根的判别式判断二次函数与x轴的交点；结合二次函数的对称轴，利用对称点的函数值相等、函数的增减性分类讨论求解参数等问题.
（1）计算判别式，由证与x轴有两个交点；
(2)①利用对称点的函数值相等，建立方程求m；
②根据对称轴的位置，结合区间内的增减性，分类讨论求m的范围.
（1）解：∵，
∴．
∴函数图象与x轴有两个交点．
（2）解：①∵函数图象经过点，，，
∴，．
∵，
∴．
．
∴ ，或．
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴关于对称轴对称的点为．
∵，
∴点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小．
∵，
∴当时，；
当时，．
综上所述，m的取值范围为，或．
24．【答案】（1）在菱形中，有，，，∵，，
∴在中，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），
∴，
∴，
即：，
则：，；
（3）①在（1）、（2）中已得，，，即，，
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，
∵，
∴，
又∵、相交，
∴的情况不存在；
综上所述：x的值为或者；
②过Q点作于N点，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理：，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
结合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的值为．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的解析式构建以及三角函数的应用.（1）根据含角的直角三角形的性质可得，即可得，再证明，证明线段相等；
（2）由菱形对边平行及角度推导，得，即有，进而算出GE、GF的长度；，结合的条件，将PG=GF-PF，AQ=x，PF=y代入，即可得到y关于x的一次函数解析式；
（3）①针对PQ与一边垂直，分三类讨论，当时，利用三角函数表示线段长度，结合（2）的结论有，列方程求解即可；当时，证明，通过相似比，列方程求解；当时，可得，此与、相交矛盾，排除此情况； ②过Q点作于N点，证明，由比例线段求出x的值，再证明，最后通过相似比得到可得，得到比值．
（1）在菱形中，有，，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点P，Q分别在线段、上（不与端点重合），
∴，
∴，
即：，
则：，；
（3）①在（1）、（2）中已得，，，
即，，
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当时，
∵，
∴，
又∵、相交，
∴的情况不存在；
综上所述：x的值为或者；
②过Q点作于N点，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理：，
解得：（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
结合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的值为．
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