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浙江省杭州市萧山区城区8校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（共10题，每题3分）
1．（2025九下·萧山月考）计算的结果（　　）
A．1 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的加法法则"同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数"计算即可求解．
2．（2025九下·萧山月考）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层是一个正方形．
故答案为：A．
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图．观察几何体，结合定义可判断求解．
3．（2025九下·萧山月考）截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“2000万”．
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位万次化为次，然后根据科学记数法的定义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
4．（2025九下·萧山月考）下列代数式变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠a2+b2，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C.，
∴此选项不符合题意；
D.≠，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据完全平方公式“”可判断求解；
B、 根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断求解；
C、根据二次根式的性质可判断求解；
D、根据分式的加法运算法则可判断求解.
5．（2025九下·萧山月考）某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数）
∴三年后的平均数为，众数为，中位数为，
方差为，
∵入学时的方差为，
∴方差没有发生变化，平均数，众数，中位数都发生了变化，
故选：D．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数），根据定义，分别求出三年后的平均数，众数，中位数，方差即可判断求解．
6．（2025九下·萧山月考）已知实数a，b，c．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.，，故选项正确，符合题意；
B.，，故选项错误，不符合题意；
C.，当时；当时；当时，故选项错误，不符合题意；
D.，当时；当时；故选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的基本性质解题即可．
7．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：点的对应点为，且关于点成中心对称，
∴，即，
∴设，且，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据中心对称图形的性质可知点在线段的中点处，根据中点坐标公式“x=、y=”求得点P的坐标，再根据点的对应点，设，同理，由中点坐标公式即可求解．
8．（2025九下·萧山月考）已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知是方程的两个实数根，
∴，，
∵
，
∴原式，
故答案为：A ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入一元二次方程可得，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，将所求代数式变形得原式，然后整体代换即可求解．
9．（2025九下·萧山月考）关于二次函数的下列说法中，正确的是（　　）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个定点
B．当时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：当时，，即该二次函数的图象经过点，故选项A不正确；
当时，，则该二次函数的图象经过点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确；
∵该二次函数的图象经过点，，将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点，，
∴则当或时，，故选项C正确；
∵该二次函数的图象经过点，，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，
∴，故选项D不正确，
故答案为：C．
【分析】先得到二次函数的图象经过点，，即可得到对称轴为，然后逐项判断解题．
10．（2025九下·萧山月考）如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由题干得，，
∴，
则，
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
则，
过点C作于点H，如图，
则，
解得：，
∵，
∴，
则，
故答案为：D．
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式有，设，将用含k、a的代数式表示出来，和，结合已知求得和，由勾股定理将AE、AH用含k、a的代数式表示出来，过点C作于点H，根据等面积法将用含k、a的代数式表示出来，然后根据tan∠CAE=即可求解．
二、填空题（共6题，每题3分）
11．（2025九下·萧山月考）因式分解 = 　 　．
【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．（2025九下·萧山月考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零列出关于字母x的不等式组，再解该不等式组即可求出x的取值范围.
13．（2025九下·萧山月考）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为　 　．
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共试验200次，其中有120次摸到白球，
∴白球所占的比例为，
设盒子中共有白球x个，
则，
解得：．
故答案为：15．
【分析】由题意，先求得摸得白球的概率，设盒子中共有白球x个，再根据概率的定义列关于x的方程，解方程即可求解．
14．（2025九下·萧山月考）如图，为的内切圆，点D，E，F为切点，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，则，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如图：连接，由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，再根据四边形的内角和为可得，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
15．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，若将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，且点在反比例函数的图象上，则求点A的坐标　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，
∴设
∴
∴
∵将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，
∴
∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴
∴
解得
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意设，将点A的坐标代入反比例函数的解析式可得，根据点的平移的性质可得，将点A 的坐标代入反比例函数的解析式可得，于是可得关于m的方程，解方程即可求解．
16．（2025九下·萧山月考）如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则　 　．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，，
∴设，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，，
∴，
∴，
即，
解得，，
如图，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为： ．
【分析】根据题意，设，则，用勾股定理得到，等面积法得到，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，如图，过点作延长线于点，则，结合已知，用角角边可可证，由全等三角形的对应边相等可，则，然后将CE、BE的代入所求代数式计算即可求解．
三、解答题（共8题，17—21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025九下·萧山月考）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．（2025九下·萧山月考）解方程组：
【答案】解：
得：③，
得：，解得：．
把代入①，得，解得：．
所以方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组可知，未知数y的系数成倍数关系，于是用加减消元法求解即可．
19．（2025九下·萧山月考）如图，在中，，和分别为边上的高线和中线．
（1）若，求的值．
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，且，
∴．
∵为边上的高线，
∴．
又∵为斜边上的中线，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴．
（2）解：∵为等边三角形，为边上的高线，
∴，
∵为斜边上的中线，
∴．
由勾股定理得∶，，
∴，即．．
【知识点】等边三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）由角的和差可求得，再根据高的定义和中线的定义可得CE=AE，根据有一个角为60度的等腰三角形还等边三角形可得为等边三角形，则，最后根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）先根据等腰三角形的三线合一和直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得、，再根据勾股定理可得、，然后代入等式左边计算即可求解．
（1）解：∵，且，
∴．
∵为边上的高线，
∴．
又∵为斜边上的中线，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴．
（2）解：∵为等边三角形，为边上的高线，
∴，
∵为斜边上的中线，
∴．
由勾股定理得∶，，
∴，即．．
20．（2025九下·萧山月考）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级50名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 5 10 a b 10
已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ．
（2） ， ．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）5人，8分
（2）10，15
（3）解：本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高，理由如下：
由题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）
解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）
解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
【分析】
（1）根据各小组的百分比之和等于1可求出七年级活动成绩为7分的百分比，再根据频数等于百分比×样本容量可求得七年级活动成绩为7分的学生数，再根据众数的定义即可判断求解；
（2）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义，把数据排序后，结合题意即可求解；
（3）分别求出两个年级的优秀率，平均数，然后比较大小，即可判断求解．
（1）解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
（3）解：依题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
21．（2025九下·萧山月考）如图，过的对角线AC的中点作两条互相垂直的直线，分别交，于点四点，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，当时，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形，理由如下：
解：∵在中，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
同理可得：，则四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴为平行四边形的的高，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质可得、，结合已知，用角边角可证得，由全等三角形的对应边相等可得，同理可得：，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，根据锐角三角函数sin∠DAB=可求得，最后根据面积公式即可求解.
（1）解：∵在中，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
同理可得：，则四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴为平行四边形的的高，
∴，
∴四边形的面积为．
22．（2025九下·萧山月考）已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在上．请根据图象回答下列问题．
（1）甲的速度为 ； ．
（2）当乙出发后几小时甲追上了乙？
（3）设甲、乙两人相距的路程为，求当时，y关于t的函数表达式，写出相应的取值范围并补全其图象（如图2）．
【答案】（1），
（2）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（3）解：当时，；
当时，；
如图：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：甲的速度为，，
故答案为：，；
【分析】
（1）观察图象，根据路程=速度×时间计算即可求解；
（2）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，分别求出关于时间的函数解析式，令可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）观察图象，当时，；当时，，求出对应的函数解析式，即可补全图象．

（1）解：甲的速度为，，
故答案为：，；
（2）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（3）解：当时，；
当时，；
补全图象如图：
23．（2025九下·萧山月考）已知二次函数，其中，以及一次函数．
（1）若二次函数的最小值为2，求函数的表达式．
（2）一次函数的增减性与当时的增减性一致，求k的取值范围．
（3）已知二次函数，若y的图象与x轴的交点坐标为，求证：
【答案】（1）解：由题意可得：函数的图象的对称轴为直线，
又∵该函数的最小值为2，
∴函数的表达式为．
（2）解：∵函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随x的增大而增大．
∴随x的增大而增大，
∴．

（3）解：，
令，则，
解得：．
∴．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）根据抛物线的对称轴为直线x=求得抛物线y1的对称轴，然后根据抛物线的顶点式即可求解；
（2）由函数的图象和系数之间的关系可知抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意y=y1-y2可得：，令可得关于x的一元二次方程，解方程求得，然后将x1和x2代入所求证的等式的左边整理即可求解．
（1）解：由题意可得：函数的图象的对称轴为直线，
又∵该函数的最小值为2，
∴函数的表达式为．
（2）解：∵函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随x的增大而增大．
∴随x的增大而增大，
∴．
（3）解：，
令，则，
解得：．
∴．
24．（2025九下·萧山月考）如图，内接于，是的直径，于点D．点E为的中点，直线与的切线交于点F，连接交于点G．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）求证：．
【答案】（1）证明：∵点E为的中点，
∴．
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∴．
∵切于点B，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，则，
∵，
∴．
∴，
∴．
由于，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）证明：∵，
∴．
又由（2）得，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可得OE⊥BC，由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠ACB=90°，于是可得，由平行线的性质可得，结合已知，根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证；
（2）设，则，由（1）中的相似三角形可得比例式，由比例式可将CD用含m的代数式表示出来，同理可得，根据相似三角形的性质可得比例式，由比例式可求得m的值，然后根据CD=2m即可求解；
（3）由平行线分线段成比例定理可得比例式，由（2）得，整理可求解．
（1）证明：因为点E为的中点，
所以．
因为为的直径，
所以，即，
所以，
所以．
因为切于点B，
所以，
又因为，
所以，
所以．
（2）解：设，则，
因为，所以．
所以，
所以．
由于，，
所以，
所以，
所以，
所以，所以．
（3）证明：由，
所以．
又由（2）得，
所以，则．
1 / 1浙江省杭州市萧山区城区8校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（共10题，每题3分）
1．（2025九下·萧山月考）计算的结果（　　）
A．1 B． C．5 D．
2．（2025九下·萧山月考）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·萧山月考）截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·萧山月考）下列代数式变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·萧山月考）某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．（2025九下·萧山月考）已知实数a，b，c．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·萧山月考）已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2025九下·萧山月考）关于二次函数的下列说法中，正确的是（　　）
A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个定点
B．当时，该二次函数取到最小值
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则
10．（2025九下·萧山月考）如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6题，每题3分）
11．（2025九下·萧山月考）因式分解 = 　 　．
12．（2025九下·萧山月考）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
13．（2025九下·萧山月考）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为　 　．
14．（2025九下·萧山月考）如图，为的内切圆，点D，E，F为切点，连接，若，则　 　．
15．（2025九下·萧山月考）在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，若将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，且点在反比例函数的图象上，则求点A的坐标　 　．
16．（2025九下·萧山月考）如图，为等腰直角三角形，，为边上的中线，于点，连接．则　 　．
三、解答题（共8题，17—21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025九下·萧山月考）计算：．
18．（2025九下·萧山月考）解方程组：
19．（2025九下·萧山月考）如图，在中，，和分别为边上的高线和中线．
（1）若，求的值．
（2）求证：．
20．（2025九下·萧山月考）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级50名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 5 10 a b 10
已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ．
（2） ， ．
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
21．（2025九下·萧山月考）如图，过的对角线AC的中点作两条互相垂直的直线，分别交，于点四点，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，当时，求四边形的面积．
22．（2025九下·萧山月考）已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在上．请根据图象回答下列问题．
（1）甲的速度为 ； ．
（2）当乙出发后几小时甲追上了乙？
（3）设甲、乙两人相距的路程为，求当时，y关于t的函数表达式，写出相应的取值范围并补全其图象（如图2）．
23．（2025九下·萧山月考）已知二次函数，其中，以及一次函数．
（1）若二次函数的最小值为2，求函数的表达式．
（2）一次函数的增减性与当时的增减性一致，求k的取值范围．
（3）已知二次函数，若y的图象与x轴的交点坐标为，求证：
24．（2025九下·萧山月考）如图，内接于，是的直径，于点D．点E为的中点，直线与的切线交于点F，连接交于点G．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
（3）求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的加法法则"同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数"计算即可求解．
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层是一个正方形．
故答案为：A．
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图．观察几何体，结合定义可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“2000万”．
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位万次化为次，然后根据科学记数法的定义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”可求解.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.≠a2+b2，
∴此选项不符合题意；
B.，
∴此选项符合题意；
C.，
∴此选项不符合题意；
D.≠，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据完全平方公式“”可判断求解；
B、 根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可判断求解；
C、根据二次根式的性质可判断求解；
D、根据分式的加法运算法则可判断求解.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数）
∴三年后的平均数为，众数为，中位数为，
方差为，
∵入学时的方差为，
∴方差没有发生变化，平均数，众数，中位数都发生了变化，
故选：D．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数），根据定义，分别求出三年后的平均数，众数，中位数，方差即可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.，，故选项正确，符合题意；
B.，，故选项错误，不符合题意；
C.，当时；当时；当时，故选项错误，不符合题意；
D.，当时；当时；故选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据不等式的基本性质解题即可．
7．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：点的对应点为，且关于点成中心对称，
∴，即，
∴设，且，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据中心对称图形的性质可知点在线段的中点处，根据中点坐标公式“x=、y=”求得点P的坐标，再根据点的对应点，设，同理，由中点坐标公式即可求解．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知是方程的两个实数根，
∴，，
∵
，
∴原式，
故答案为：A ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入一元二次方程可得，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，将所求代数式变形得原式，然后整体代换即可求解．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：当时，，即该二次函数的图象经过点，故选项A不正确；
当时，，则该二次函数的图象经过点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确；
∵该二次函数的图象经过点，，将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点，，
∴则当或时，，故选项C正确；
∵该二次函数的图象经过点，，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，
∴，故选项D不正确，
故答案为：C．
【分析】先得到二次函数的图象经过点，，即可得到对称轴为，然后逐项判断解题．
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由题干得，，
∴，
则，
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
则，
过点C作于点H，如图，
则，
解得：，
∵，
∴，
则，
故答案为：D．
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式有，设，将用含k、a的代数式表示出来，和，结合已知求得和，由勾股定理将AE、AH用含k、a的代数式表示出来，过点C作于点H，根据等面积法将用含k、a的代数式表示出来，然后根据tan∠CAE=即可求解．
11．【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零列出关于字母x的不等式组，再解该不等式组即可求出x的取值范围.
13．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共试验200次，其中有120次摸到白球，
∴白球所占的比例为，
设盒子中共有白球x个，
则，
解得：．
故答案为：15．
【分析】由题意，先求得摸得白球的概率，设盒子中共有白球x个，再根据概率的定义列关于x的方程，解方程即可求解．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，则，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如图：连接，由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，再根据四边形的内角和为可得，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
15．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，
∴设
∴
∴
∵将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，
∴
∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴
∴
解得
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意设，将点A的坐标代入反比例函数的解析式可得，根据点的平移的性质可得，将点A 的坐标代入反比例函数的解析式可得，于是可得关于m的方程，解方程即可求解．
16．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，，
∴设，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，，
∴，
∴，
即，
解得，，
如图，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为： ．
【分析】根据题意，设，则，用勾股定理得到，等面积法得到，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，则，如图，过点作延长线于点，则，结合已知，用角角边可可证，由全等三角形的对应边相等可，则，然后将CE、BE的代入所求代数式计算即可求解．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：
得：③，
得：，解得：．
把代入①，得，解得：．
所以方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组可知，未知数y的系数成倍数关系，于是用加减消元法求解即可．
19．【答案】（1）解：∵，且，
∴．
∵为边上的高线，
∴．
又∵为斜边上的中线，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴．
（2）解：∵为等边三角形，为边上的高线，
∴，
∵为斜边上的中线，
∴．
由勾股定理得∶，，
∴，即．．
【知识点】等边三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）由角的和差可求得，再根据高的定义和中线的定义可得CE=AE，根据有一个角为60度的等腰三角形还等边三角形可得为等边三角形，则，最后根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）先根据等腰三角形的三线合一和直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得、，再根据勾股定理可得、，然后代入等式左边计算即可求解．
（1）解：∵，且，
∴．
∵为边上的高线，
∴．
又∵为斜边上的中线，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∴．
（2）解：∵为等边三角形，为边上的高线，
∴，
∵为斜边上的中线，
∴．
由勾股定理得∶，，
∴，即．．
20．【答案】（1）5人，8分
（2）10，15
（3）解：本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高，理由如下：
由题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】
（1）
解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）
解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
【分析】
（1）根据各小组的百分比之和等于1可求出七年级活动成绩为7分的百分比，再根据频数等于百分比×样本容量可求得七年级活动成绩为7分的学生数，再根据众数的定义即可判断求解；
（2）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义，把数据排序后，结合题意即可求解；
（3）分别求出两个年级的优秀率，平均数，然后比较大小，即可判断求解．
（1）解：，
∵，
∴七年级活动成绩的众数为8分．
故答案为：5人，8分．
（2）解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分，
∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分，
∴，
解得，
故答案为：10，15.
（3）解：依题意，，
∴七年级优秀率为，
则平均成绩为（分）；
则八年级优秀率为，
平均成绩为（分），
∵
∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高．
21．【答案】（1）菱形，理由如下：
解：∵在中，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
同理可得：，则四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴为平行四边形的的高，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质可得、，结合已知，用角边角可证得，由全等三角形的对应边相等可得，同理可得：，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，根据锐角三角函数sin∠DAB=可求得，最后根据面积公式即可求解.
（1）解：∵在中，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴．
同理可得：，则四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：当时，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴为平行四边形的的高，
∴，
∴四边形的面积为．
22．【答案】（1），
（2）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（3）解：当时，；
当时，；
如图：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：甲的速度为，，
故答案为：，；
【分析】
（1）观察图象，根据路程=速度×时间计算即可求解；
（2）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，分别求出关于时间的函数解析式，令可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）观察图象，当时，；当时，，求出对应的函数解析式，即可补全图象．

（1）解：甲的速度为，，
故答案为：，；
（2）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（3）解：当时，；
当时，；
补全图象如图：
23．【答案】（1）解：由题意可得：函数的图象的对称轴为直线，
又∵该函数的最小值为2，
∴函数的表达式为．
（2）解：∵函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随x的增大而增大．
∴随x的增大而增大，
∴．

（3）解：，
令，则，
解得：．
∴．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）根据抛物线的对称轴为直线x=求得抛物线y1的对称轴，然后根据抛物线的顶点式即可求解；
（2）由函数的图象和系数之间的关系可知抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意y=y1-y2可得：，令可得关于x的一元二次方程，解方程求得，然后将x1和x2代入所求证的等式的左边整理即可求解．
（1）解：由题意可得：函数的图象的对称轴为直线，
又∵该函数的最小值为2，
∴函数的表达式为．
（2）解：∵函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，随x的增大而增大．
∴随x的增大而增大，
∴．
（3）解：，
令，则，
解得：．
∴．
24．【答案】（1）证明：∵点E为的中点，
∴．
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∴．
∵切于点B，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，则，
∵，
∴．
∴，
∴．
由于，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

（3）证明：∵，
∴．
又由（2）得，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可得OE⊥BC，由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠ACB=90°，于是可得，由平行线的性质可得，结合已知，根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证；
（2）设，则，由（1）中的相似三角形可得比例式，由比例式可将CD用含m的代数式表示出来，同理可得，根据相似三角形的性质可得比例式，由比例式可求得m的值，然后根据CD=2m即可求解；
（3）由平行线分线段成比例定理可得比例式，由（2）得，整理可求解．
（1）证明：因为点E为的中点，
所以．
因为为的直径，
所以，即，
所以，
所以．
因为切于点B，
所以，
又因为，
所以，
所以．
（2）解：设，则，
因为，所以．
所以，
所以．
由于，，
所以，
所以，
所以，
所以，所以．
（3）证明：由，
所以．
又由（2）得，
所以，则．
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