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浙江省绍兴诸暨市浣东初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·诸暨月考）下列各式中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·诸暨月考）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．比 B．立 C．秝 D．鼎
3．（2025七下·诸暨月考）如图，直线a，b被直线c所截，其中一对同位角是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．（2025七下·诸暨月考）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　）
A．平板弹墨线
B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直
D．测量跳远成绩
5．（2025七下·诸暨月考）已知方程组，则②①得（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·诸暨月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（2025七下·诸暨月考）方程的正整数解的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2025七下·诸暨月考）如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·诸暨月考）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·诸暨月考）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·诸暨月考）如图，已知，，则　 　°．
12．（2025七下·诸暨月考）已知二元一次方程，用关于的代数表示，则　 　．
13．（2025七下·诸暨月考）如图，沿方向向右平移后得到，若，，则　 　．
14．（2025七下·诸暨月考）某校为住校生分宿舍，若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位，设该校有住校生x人，宿舍y间，则可列出方程组为　 　．
15．（2025七下·诸暨月考）若方程组的解是，则方程组的解为　 　．
16．（2025七下·诸暨月考）如果方程组 的解满足，那么a的值是　 　．
17．（2025七下·诸暨月考）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为　 　．
18．（2025七下·诸暨月考）图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　 　；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共计46分）
19．（2025七下·诸暨月考）解方程组：
（1）
（2）
20．（2025七下·诸暨月考）如图，，，证明：，请将说明过程填写完整．
证明：，已知
______．（ ）
已知
（ ）
（ ）
（等量代换
21．（2025七下·诸暨月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
（1）过点C作直线平行于；
（2）平移三角形，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形；
（3）连结，．则与的位置关系与数量关系是 和 ．
22．（2025七下·诸暨月考）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示．
（1）求小长方形的长和宽．
（2）求图中阴影部分的面积．
23．（2025七下·诸暨月考）如图，
（1）判定与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分于点，求的度数．
24．（2025七下·诸暨月考）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）
请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、此方程是二元二次方程，故A不符合题意；
B、此方程是分式方程，故B不符合题意；
C、此方程是二元一次方程，故C符合题意；
D、 不是方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程是二元一次方程；再观察各选项中的方程，可得是二元一次方程的选项.
2．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：结合平移的性质，观察四个选项，
唯有是能用其中一部分平移得到的，
故答案为：A．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，根据四个选项的甲骨文，比字的甲骨文是能用其中一部分平移得到的，即可作答．
3．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、由图可知，与是同旁内角，不是同位角，∴此选项不符合题意；
B、由图可知，与不是同位角，
∴此选项不符合题意；
C、与是同位角，
∴此选项符合题意；
D、与不是同位角，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同位角是指在两条直线的同侧，第三条直线的同旁；内错角是指在两条直线的内部，第三条直线的两旁；同旁内角是指在两条直线的内部，第三条直线的同旁；根据定义并结合图形即可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选：D．
【分析】根据垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由②①得：x+y-(x-3y)=7-3，
去括号得x+y-x+3y=4
合并同类项，得4y=4
故答案为：C．
【分析】根据等式性质，用②方程的左右两边分别减去①方程的左右两边，然后左边去括号、合并同类项，右边合并同类项即可.
6．【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原说法错误 ，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，原说法错误 ，不符合题意；
D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由平行线的性质定理可直接判断A选项；有公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，据此可判断B选项；两条直线被第三条直线所截形成的一对在被截直线同方向且在截线同侧的两个角叫做同位角，同位角只有在被截两直线平行的时候，才会相等，据此可判断C选项；根据垂线公理可判断D选项.
7．【答案】C
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程3x+y=9的正整数解有： ， ，
共有2个，
故答案为：C.
【分析】利用解二元一次方程的方法求解即可。
8．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵，∴，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，不能，
∴此选项符合题意；
C、∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据平行线的判定"内错角相等两直线平行"可判断；
B、根据平行线的判定"内错角相等两直线平行"可判断AB∥CD；
C、根据平行线的判定"同位角相等两直线平行"可判断；
D、根据平行线的判定"同旁内角互补两线平行"可判断.
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：，
综上：；
故答案为：A.
【分析】根据题意列二元一次方程组即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】观察图形，根据 摆放后的两个大长方形的长相等可列出关于x、y的二元一次方程，整理即可求解．
11．【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出的度数，再根据对顶角相等即可求解．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意，用一个未知数表示另一个未知数，可将当成常数，根据移项即可求解．
13．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向向右平移后得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平移的性质“平移前后的两个图形的对应线段相等”可得，然后由线段的和差AE=AD+BD+BE即可求解．
14．【答案】．
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意列方程组为： ，
故答案为：.
【分析】设该校有住校生x人，宿舍y间，根据相等关系"若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位"列出方程组即可求解.
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解为：，
解得：；
故答案为：．
【分析】将所求方程组中的“x-1”和“y+1”看作一个整体，根据题意可知，可得方程组的解为，解这个方程组即可求解．
16．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组 的解满足，
∴方程组的解也是方程组的解，
解，
得：，
把代入，
得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据题意，把不含参数a的两个方程组成新的方程组，解这个方程组，将求得的x、y的值解代入含参数a的方程，解这个一元一次方程即可．
17．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解： 将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据折痕为角平分线和平角的定义可得，，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得∠AEP+∠BPE求得∠AEP的度数，将∠AEP的度数代入计算即可求解．
18．【答案】42；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图2，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图3，延长交于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：42，．
【分析】
第一空：如图2，过点B作，由平行公理得，则由两直线平行同旁内角互补结合等角的补角相等可得，再利用两直线平行内错角相等即可求得；
第二空：如图3，延长交于H，先利用三角形外角的性质求出，利用两直线平行同位角相等求出，然后再利用平角的概念列式计算即可．
19．【答案】（1）解：
把①代入②，得：
，
解得：；
把代入①，得：
；
∴方程组的解为：
（2）解：
由，得：
，
解得：，
把代入②，得：，
解得：；
∴方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察原方程组，方程①是将未知数y用含x的代数式表示出来，于是用代入消元法解方程组即可；
（2）观察原方程组，未知数y的系数成倍数关系，用加减消元法解方程组即可．
（1）解：
把①代入②，得：，解得：；
把代入①，得：；
∴方程组的解为：；
（2），得：，解得：，
把代入②，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
20．【答案】证明：，已知
．（两直线平行，同位角相等）
已知
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换．
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠2=∠3，根据平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可得，平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，然后由等量代换即可求解.
21．【答案】（1）解：如图直线即为所求；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：由图形和平移的性质可知：．【分析】（1）根据平移的性质，画出直线即可；
（2）根据平移的性质，画出三角形即可；
（3）根据平移的性质“图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行相等”即可求解．
（1）解：如图直线即为所求；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）由图形和平移的性质可知：．
22．【答案】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可知：，
解得：，
答：小长方形的长为，宽为；
（2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为；
∴
∴长方形的宽为，
则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，观察图形可得3倍小长方形的宽+小长方形的长=AB，小长方形的长+小长方形的宽=AD，AD=6+2倍小长方形的宽，据此即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值；
（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个小长方形的面积，结合长方形面积计算公式列式计算即可.
（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可知：，
解得：，
答：小长方形的长为，宽为；
（2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为；
∴
∴长方形的宽为，
则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
23．【答案】（1）解：，理由为：
∵，
∴，
又∵
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵AF∥CD
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；猜想与证明；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先由二直线平行，同旁内角互补得， 由同角的补角相等可得出， 然后根据内错角相等，两直线平行即可判断出AF与CD的位置关系；
（2）由二直线平行，同位角相等得出∠FAB=∠4=72°，由角平分线的定义得∠2=∠FAB=36°，再由二直线平行，内错角相等得出∠3=∠2=36°，进而由垂直定义及二直线平行，同位角相等得出∠ACB=∠E=90°，最后根据角的构成求出∠BCD的度数.
24．【答案】（1） 解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2） 解：依题意，得：3a+4b＝34，
∴a＝ ．
∵a，b均为非负整数，
∴ ， ， ，
∴该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用A型车10辆，B型车1辆；方案2：租用A型车6辆，B型车4辆；方案3：租用A型车2辆，B型车7辆．
（3）解：方案1所需租金：100×10+120×1＝1120（元），
方案2所需租金：100×6+120×4＝1080（元），
方案3所需租金：100×2+120×7＝1040（元）．
∵1120＞1080＞1040，
∴方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 根据一辆A型车载的货物的吨数+两辆B型货车载的货物的吨数=11及两辆A型车载的货物的吨数+一辆B型货车载的货物的吨数=10，列出方程组，求解即可；
（2）根据a辆A型货车再的货物的数量+b辆B型货车载的货物的吨数=34列出二元一次方程，求出其自然数解即可解决问题；
（3）分别算出（2）中三种方案需要的租车费用，再比大小即可得出结论.
1 / 1浙江省绍兴诸暨市浣东初级中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·诸暨月考）下列各式中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、此方程是二元二次方程，故A不符合题意；
B、此方程是分式方程，故B不符合题意；
C、此方程是二元一次方程，故C符合题意；
D、 不是方程，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程是二元一次方程；再观察各选项中的方程，可得是二元一次方程的选项.
2．（2025七下·诸暨月考）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．比 B．立 C．秝 D．鼎
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：结合平移的性质，观察四个选项，
唯有是能用其中一部分平移得到的，
故答案为：A．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，根据四个选项的甲骨文，比字的甲骨文是能用其中一部分平移得到的，即可作答．
3．（2025七下·诸暨月考）如图，直线a，b被直线c所截，其中一对同位角是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、由图可知，与是同旁内角，不是同位角，∴此选项不符合题意；
B、由图可知，与不是同位角，
∴此选项不符合题意；
C、与是同位角，
∴此选项符合题意；
D、与不是同位角，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】同位角是指在两条直线的同侧，第三条直线的同旁；内错角是指在两条直线的内部，第三条直线的两旁；同旁内角是指在两条直线的内部，第三条直线的同旁；根据定义并结合图形即可判断求解.
4．（2025七下·诸暨月考）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　）
A．平板弹墨线
B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直
D．测量跳远成绩
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选：D．
【分析】根据垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025七下·诸暨月考）已知方程组，则②①得（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由②①得：x+y-(x-3y)=7-3，
去括号得x+y-x+3y=4
合并同类项，得4y=4
故答案为：C．
【分析】根据等式性质，用②方程的左右两边分别减去①方程的左右两边，然后左边去括号、合并同类项，右边合并同类项即可.
6．（2025七下·诸暨月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原说法错误 ，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，原说法错误 ，不符合题意；
D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由平行线的性质定理可直接判断A选项；有公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，据此可判断B选项；两条直线被第三条直线所截形成的一对在被截直线同方向且在截线同侧的两个角叫做同位角，同位角只有在被截两直线平行的时候，才会相等，据此可判断C选项；根据垂线公理可判断D选项.
7．（2025七下·诸暨月考）方程的正整数解的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程3x+y=9的正整数解有： ， ，
共有2个，
故答案为：C.
【分析】利用解二元一次方程的方法求解即可。
8．（2025七下·诸暨月考）如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵，∴，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，不能，
∴此选项符合题意；
C、∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据平行线的判定"内错角相等两直线平行"可判断；
B、根据平行线的判定"内错角相等两直线平行"可判断AB∥CD；
C、根据平行线的判定"同位角相等两直线平行"可判断；
D、根据平行线的判定"同旁内角互补两线平行"可判断.
9．（2025七下·诸暨月考）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：x+y=19
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：，
综上：；
故答案为：A.
【分析】根据题意列二元一次方程组即可得出答案.
10．（2025七下·诸暨月考）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】观察图形，根据 摆放后的两个大长方形的长相等可列出关于x、y的二元一次方程，整理即可求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025七下·诸暨月考）如图，已知，，则　 　°．
【答案】
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】
解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出的度数，再根据对顶角相等即可求解．
12．（2025七下·诸暨月考）已知二元一次方程，用关于的代数表示，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意，用一个未知数表示另一个未知数，可将当成常数，根据移项即可求解．
13．（2025七下·诸暨月考）如图，沿方向向右平移后得到，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向向右平移后得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平移的性质“平移前后的两个图形的对应线段相等”可得，然后由线段的和差AE=AD+BD+BE即可求解．
14．（2025七下·诸暨月考）某校为住校生分宿舍，若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位，设该校有住校生x人，宿舍y间，则可列出方程组为　 　．
【答案】．
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意列方程组为： ，
故答案为：.
【分析】设该校有住校生x人，宿舍y间，根据相等关系"若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位"列出方程组即可求解.
15．（2025七下·诸暨月考）若方程组的解是，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解为：，
解得：；
故答案为：．
【分析】将所求方程组中的“x-1”和“y+1”看作一个整体，根据题意可知，可得方程组的解为，解这个方程组即可求解．
16．（2025七下·诸暨月考）如果方程组 的解满足，那么a的值是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵方程组 的解满足，
∴方程组的解也是方程组的解，
解，
得：，
把代入，
得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据题意，把不含参数a的两个方程组成新的方程组，解这个方程组，将求得的x、y的值解代入含参数a的方程，解这个一元一次方程即可．
17．（2025七下·诸暨月考）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解： 将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据折痕为角平分线和平角的定义可得，，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得∠AEP+∠BPE求得∠AEP的度数，将∠AEP的度数代入计算即可求解．
18．（2025七下·诸暨月考）图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　 　；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　 　．
【答案】42；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图2，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图3，延长交于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：42，．
【分析】
第一空：如图2，过点B作，由平行公理得，则由两直线平行同旁内角互补结合等角的补角相等可得，再利用两直线平行内错角相等即可求得；
第二空：如图3，延长交于H，先利用三角形外角的性质求出，利用两直线平行同位角相等求出，然后再利用平角的概念列式计算即可．
三、解答题（本大题共6小题，共计46分）
19．（2025七下·诸暨月考）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②，得：
，
解得：；
把代入①，得：
；
∴方程组的解为：
（2）解：
由，得：
，
解得：，
把代入②，得：，
解得：；
∴方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察原方程组，方程①是将未知数y用含x的代数式表示出来，于是用代入消元法解方程组即可；
（2）观察原方程组，未知数y的系数成倍数关系，用加减消元法解方程组即可．
（1）解：
把①代入②，得：，解得：；
把代入①，得：；
∴方程组的解为：；
（2），得：，解得：，
把代入②，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
20．（2025七下·诸暨月考）如图，，，证明：，请将说明过程填写完整．
证明：，已知
______．（ ）
已知
（ ）
（ ）
（等量代换
【答案】证明：，已知
．（两直线平行，同位角相等）
已知
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换．
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠2=∠3，根据平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可得，平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，然后由等量代换即可求解.
21．（2025七下·诸暨月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
（1）过点C作直线平行于；
（2）平移三角形，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形；
（3）连结，．则与的位置关系与数量关系是 和 ．
【答案】（1）解：如图直线即为所求；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（3）解：由图形和平移的性质可知：．【分析】（1）根据平移的性质，画出直线即可；
（2）根据平移的性质，画出三角形即可；
（3）根据平移的性质“图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行相等”即可求解．
（1）解：如图直线即为所求；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）由图形和平移的性质可知：．
22．（2025七下·诸暨月考）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示．
（1）求小长方形的长和宽．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可知：，
解得：，
答：小长方形的长为，宽为；
（2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为；
∴
∴长方形的宽为，
则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，观察图形可得3倍小长方形的宽+小长方形的长=AB，小长方形的长+小长方形的宽=AD，AD=6+2倍小长方形的宽，据此即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值；
（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个小长方形的面积，结合长方形面积计算公式列式计算即可.
（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可知：，
解得：，
答：小长方形的长为，宽为；
（2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为；
∴
∴长方形的宽为，
则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
23．（2025七下·诸暨月考）如图，
（1）判定与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分于点，求的度数．
【答案】（1）解：，理由为：
∵，
∴，
又∵
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵AF∥CD
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；猜想与证明；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先由二直线平行，同旁内角互补得， 由同角的补角相等可得出， 然后根据内错角相等，两直线平行即可判断出AF与CD的位置关系；
（2）由二直线平行，同位角相等得出∠FAB=∠4=72°，由角平分线的定义得∠2=∠FAB=36°，再由二直线平行，内错角相等得出∠3=∠2=36°，进而由垂直定义及二直线平行，同位角相等得出∠ACB=∠E=90°，最后根据角的构成求出∠BCD的度数.
24．（2025七下·诸暨月考）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）
请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1） 解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意，得： ，
解得： ．
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2） 解：依题意，得：3a+4b＝34，
∴a＝ ．
∵a，b均为非负整数，
∴ ， ， ，
∴该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用A型车10辆，B型车1辆；方案2：租用A型车6辆，B型车4辆；方案3：租用A型车2辆，B型车7辆．
（3）解：方案1所需租金：100×10+120×1＝1120（元），
方案2所需租金：100×6+120×4＝1080（元），
方案3所需租金：100×2+120×7＝1040（元）．
∵1120＞1080＞1040，
∴方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 根据一辆A型车载的货物的吨数+两辆B型货车载的货物的吨数=11及两辆A型车载的货物的吨数+一辆B型货车载的货物的吨数=10，列出方程组，求解即可；
（2）根据a辆A型货车再的货物的数量+b辆B型货车载的货物的吨数=34列出二元一次方程，求出其自然数解即可解决问题；
（3）分别算出（2）中三种方案需要的租车费用，再比大小即可得出结论.
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