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四川省成都市石室联合中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题
一、选择题（每小题4分，共32分，将正确选项填涂到答题卡上）
1．（2025七下·成都月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·成都月考）“诺如病毒”感染性腹泻是一种急性肠道传染病，这种病毒的直径约为0.000000031m，请将数据0.000000031m用科学记数法表示为（　　）
A．3.1×10﹣8 B．0.31×10﹣9 C．31×10﹣7 D．3.1×10﹣7
3．（2025七下·成都月考）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．从一个装有2个红球、3个黑球（除颜色外无其他差别）的不透明盒子里任意取3个球；一定有黑球
B．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃3
C．射击运动员射击一次，击中靶心
D．汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯
4．（2025七下·成都月考）已知中，，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．（2025七下·成都月考）将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
6．（2025七下·成都月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·成都月考）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（　　）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
8．（2025七下·成都月考）如图，向放在水槽底部的烧杯注水，注满烧杯后，继续注水，直至水槽注满．水槽中水面升上的高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025七下·成都月考）计算的结果是　 　．
10．（2025七下·成都月考）等腰三角形的一边长为 cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为　 　 cm．
11．（2025七下·成都月考）在一个不透明的袋中装有4个红球，3个黄球，它们除颜色不同外其它完全相同，现从中任意摸出一球，恰为红球的概率为　 　．
12．（2025七下·成都月考）如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于　 　．
13．（2025七下·成都月考）如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是　 　.
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025七下·成都月考）计算
（1）；
（2）
（3）化简求值：，其中
15．（2025七下·成都月考）如图；在正方形网格上有一个．
（1）画关于直线的对称图形（A与，B与，C与对应，不写画法）；
（2）在上画出点P，使最小；
（3）若网格上每个小正方形的边长为1，求的面积．
16．（2025七下·成都月考）我们知道：“距离地面越高，气温越低．”下表表示的是某地某时气温随高度变化而变化的情况
距离地面高度 0 1 2 3 4 5
气温 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10
（1）请你用关系式表示出与的关系；
（2）距离地面的高空气温是多少？
（3）当地某山顶当时的气温为，求此山顶与地面的高度．
17．（2025七下·成都月考）已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接．
（1）若，，求的周长；
（2）若，求的度数．
18．（2025七下·成都月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（2025七下·成都月考）若 ，则 的值为　 　.
20．（2025七下·成都月考）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是　 　．（保留π）
21．（2025七下·成都月考）如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时，　 　（用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为　 　．
22．（2025七下·成都月考）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过　 　秒时，．
23．（2025七下·成都月考）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为　 　．
五、解答题（共30分）
24．（2025七下·成都月考）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）；
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______；
（3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
25．（2025七下·成都月考）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，且都匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示．
（1）A，B两地之间的距离为______千米；
（2）求甲、乙的速度；
（3）甲出发多少时间后，甲、乙两人相距180千米．
26．（2025七下·成都月考）是等边三角形，点为射线上一点，连接，，．
（1）如图1，过点作交边于点，求证：；
（2）如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求证：；
（3）当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，请直接写出_____（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B项符合题意；
C、是轴对称图形，故C项不符合题意；
D、是轴对称图形，故D项不符合题意；
故选：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断，即可求得.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000031＝3.1×10﹣8．
故选：A．
【分析】将0.000000031用科学记数法表示为a×10﹣n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数．
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.从一个装有2个红球、3个黑球（除颜色外无其他差别）的不透明盒子里任意取3个球，一定有黑球，是必然事件，故A项符合题意；
B.从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃3是随机事件，故B项不符合题意；
C.射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，故C项不符合题意；
D.汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯是随机事件，故D项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据事件发生的可能性大小可判断出必然事件和随机事件，即可求得．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵
∴设，则，，
∵，
∴，
解得，，
∴，，，
则这个三角形是是钝角三角形，
故选：C.
【分析】设，则，，根据三角形的内角和列出方程，即可求得各个角，即可确定为钝角三角形．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵EF∥CD，
∴∠1＝∠3＝25°，
∴∠ADC＝180°-∠BAC﹣∠3＝180°-30°-25°＝125°，
∴ ∠2=∠ADC=125°.
故选：B．
【分析】根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3，再根据三角形的内角和定理求得∠ADC，再根据对顶角相等即可求得∠2.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
，
（SSS），故A选项不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
，
∴（SAS），故B选项不符合题意；
当添加时，不能证明，故C选项符合题意；
，时，
∴（SAS），故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形的判定逐一证明，即可判断.
7．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
∴，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】根据同底等高三角形面积相等可得三角形中线将三角形分割成两个面积相等的三角形，据此可得及，由图形构成得，从而结合已知条件即可求解．
8．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由先往烧杯里注水，可知水槽中水的高度在前一段时间内为0；
水从烧杯流出，水的高度将开始增长；
当水的高度超过烧杯高度时，水的高度增长更加缓慢；
故表现在函数图象上为先零，后陡，最后缓，即B符合题意.
故选：B．
【分析】根据题意判断出h的变化，即可判断函数图象.
9．【答案】
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可求得．
10．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为9cm．
故答案为9．
【分析】分为两种情况，一、当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm；二、当腰为9cm，三边为4cm，9cm，9cm。在根据三边关系定理确定答案即可。
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：任意摸出一球，恰为红球的概率为，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算，概率=红球的数量/总的球的数量，即可求得.
12．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
由折叠可得，，
由长方形可得，
∴，
．
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠可得∠DGH=72°，再根据两直线平行，同旁内角互补可得.
13．【答案】12
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点E，如图所示：
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作于点E，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
14．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂计算即可求得；
（2）根据积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与单项式的除法法则计算，最后进行整式的加减运算即可；
（3）先根据平方差公式和完全平方差公式计算括号内的，再根据多项式除单项式法则计算即可化简；根据完全平方差公式将化为，利用绝对值和平方的非负性求出，的值，再代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先作出、、关于直线的对称点，，，再顺次连接即可；
（2）根据“将军饮马”模型，可知连接交于，点即为所求；
（3）根据割补法求面积即可求得.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
16．【答案】解：(1)由表格数据可知，每升高1千米，气温下降6℃，
则与和函数关系式为，；
(2)当h=6km时，t=20-6×6=-16℃；
(3)当时，，解得，h=0.75，
∴上顶与地面高度为0.75km.
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表中的数据写出函数关系式；
（2）把h=6代入函数关系式，即可求得；
（3）把t=15.5代入函数关系式，求解即可．
17．【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，推出的周长；
（2）根据等边对等角可得，， 再根据∠ACE=∠ACB-∠BCE，即可求得.
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
18．【答案】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，
∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，
∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，
∴∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；
（2）（2）∠E＋∠F＝108°．
证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，
∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，
∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，
∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，
∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA
∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；
（3）不变，是定值，值为15°，如图，过Q作QE∥AB，
∵AB∥CD，
∴ QE∥CD，
∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，
∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，
由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，
∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，
∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，
∴∠K∠AQH，
∵QM是∠CQH的平分线，
∴∠MQH∠CQH，
∵∠MQH是△MQK的外角，
∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，
即∠QMK的大小不变，是定值15°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，结合角平分线的定义可推出∠P＝180°﹣90°＝90°，即可证明AP⊥CP；
（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，根据平行公理的推论和平行线的性质可得∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再结合∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD和角平分线的定义可推出∠E＋∠F＝108°；
（3）过Q作QE∥AB，根据平行公理的推论可得QE∥CD，根据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依据∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP推出∠AQC＝30°，根据等腰三角形的性质和外交的性质可得∠K∠AQH，结合角平分线的定义可得∠MQH∠CQH，
再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK是定值15°．
19．【答案】9
【知识点】代数式求值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵ ，
∴
=
=
=
=
=9.
故答案为：9.
【分析】先将 化为 ，再将 代入所化式子计算即可.
20．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵铜钱的面积为：，而中间正方形小孔的面积为，
∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．
故答案为：.
【分析】根据几何概率的意义，用铜钱中间正方形面积除以铜钱的总面积即可求出答案.
21．【答案】；
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由折叠得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长交于点Q，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】根据折叠可得，，根据平行线的性质得出，最后求出即可；延长交于点Q，根据平行线的性质可得，根据三角形面积求出，，根据ASA证明推出，最后根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求得.
22．【答案】2或4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，．
理由如下：
①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴；
②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴．
综上可知，当或时．
故答案为：2或4．
【分析】分类讨论：①当E在射线上时，D必在上，则需；②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
23．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等的判定；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作，且，在上截取，连接，根据得到，即可得到再根据可得，即可得到，进而得到，可得点C，点E，点H三点共线时，有最小值，根据得到，即可得到解答即可．
24．【答案】解：（1）9，；
（2）；
（3），
理由：设长方形MNPQ的长为x，
，
，
，
∵ S为定值，即S将不随x的变化而变化，
∴，
∴时，S为定值．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab，∵ a2+6ab+9b2=（a+3b)2，
∴ 应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是a+3b，
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为（a+b）的正方形，
D型卡片的面积为（a+b）2-4ab，
由图可得D型卡片是一个边长为（a-b）的正方形，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（1）（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（2）故答案为：9；a+3b；
【分析】（1）根据卡片的面积利用完全平方公式即可求得；
（2）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可求得；
（3）设长方形的长为x，利用x、a、b表示出S1和S2，再根据，且S为定值，即可求得．
25．【答案】（1）
（2）解： 根据函数图象可得，甲的速度是：（千米/时），则乙的速度是：（千米/时）；
（3）解： 相遇之前：（小时），
相遇之后：（小时），
即甲出发小时或4.5小时后，甲、乙两人相距180千米．
【知识点】通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】（1）根据函数图象可得，A、B两地之间路程为240千米，
故答案为：240；
【分析】（1）图象反应的是甲、乙两人间的距离s(km)与甲行驶的时间t(s)之间的关系，而图象起点坐标为（0，240），故可得此时甲在A地，乙在B地，A\B两地之间的距离为240km；
（2）由图象提供的信息可得出发2小时时，甲乙在途中相遇，甲出发3小时时，乙到达了A地，甲出发6小时时，甲到达了B地，从而根据路程、时间、速度三者的关系可以求得它们各自的速度；
（3）根据图象可知相遇前和相遇后，存在这两种情况甲、乙两人相距180千米，然后列式计算即可；
（1）根据函数图象可得，A、B两地之间路程为240千米，
故答案为：240；
（2）根据函数图象可得，甲的速度是：（千米/时），则乙的速度是：（千米/时）；
（3）相遇之前：（小时），
相遇之后：（小时），
即甲出发小时或4.5小时后，甲、乙两人相距180千米．
26．【答案】（1）证明∶∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点E作交边的延长线于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴；
（3）或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：∵，
设，则，
如图3，过点E作，交射线于F，
同理得：，
∴， ，
同理得：，
∴，
∴．
如图4，过点E作，交于F，
同理得：，
∴，，
同理得：，
∴，
∴．
故答案为：或.
【分析】（1）由等边三角形的每一个内角都是60°得∠ABC=∠ACD=∠A=60°，由二直线平行，内错角相等得∠EFA=∠A=60°，由邻补角及等角的补角相等推出∠BFE=∠BCD=120°，根据三角形外角的性质、角的构成等式性质推出∠EBF=∠D，从而利用“AAS”证△EFB≌△BCD，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）过点E作交边的延长线于点F，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠A=∠ABC=60°，利用周角及三角形的内角和求出∠CBD+∠BDC=∠CBD+∠EBF=120°，根据等式性质推出∠EBF=∠BDC，从而用“AAS”证△EFB≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得BF=CD，EF=BC=AC，再利用“AAS”证△EGF≌△CGA，由全等三角形的对应边相等得FG=AG=3，由线段和差可推出AD=CD=BF=2，由等腰三角形三线合一的性质可得结论；
（3）设，则，分两种情况：点F在BA的延长线上，如图3，过点作EF∥AC，交射线BA于F，利用“AAS”证△EFB≌△BCD，△EGF≌△CGA，由全等三角形的对应边相等得出BF=CD=x，EF=BC=AC=kx，FG=AG=，从而看求出两条线段比值；当点F在线段BA上时，过点E作EF∥AC，利用“AAS”证△EFB≌△BCD，△EGF≌△CGA，由全等三角形的对应边相等得出BF=CD=x，EF=BC=AC=kx，FG=AG=，从而看求出两条线段比值，综上，即可得出答案.
（1）证明∶∵是等边三角形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：过点E作交边的延长线于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴；
（3）解：∵，
设，则，
如图3，过点E作，交射线于F，
同理得：，
∴， ，
同理得：，
∴，
∴．
如图4，过点E作，交于F，
同理得：，
∴，，
同理得：，
∴，
∴．
故答案为：或
1 / 1四川省成都市石室联合中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题
一、选择题（每小题4分，共32分，将正确选项填涂到答题卡上）
1．（2025七下·成都月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B项符合题意；
C、是轴对称图形，故C项不符合题意；
D、是轴对称图形，故D项不符合题意；
故选：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断，即可求得.
2．（2025七下·成都月考）“诺如病毒”感染性腹泻是一种急性肠道传染病，这种病毒的直径约为0.000000031m，请将数据0.000000031m用科学记数法表示为（　　）
A．3.1×10﹣8 B．0.31×10﹣9 C．31×10﹣7 D．3.1×10﹣7
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000031＝3.1×10﹣8．
故选：A．
【分析】将0.000000031用科学记数法表示为a×10﹣n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数．
3．（2025七下·成都月考）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．从一个装有2个红球、3个黑球（除颜色外无其他差别）的不透明盒子里任意取3个球；一定有黑球
B．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃3
C．射击运动员射击一次，击中靶心
D．汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.从一个装有2个红球、3个黑球（除颜色外无其他差别）的不透明盒子里任意取3个球，一定有黑球，是必然事件，故A项符合题意；
B.从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃3是随机事件，故B项不符合题意；
C.射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，故C项不符合题意；
D.汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯是随机事件，故D项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据事件发生的可能性大小可判断出必然事件和随机事件，即可求得．
4．（2025七下·成都月考）已知中，，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵
∴设，则，，
∵，
∴，
解得，，
∴，，，
则这个三角形是是钝角三角形，
故选：C.
【分析】设，则，，根据三角形的内角和列出方程，即可求得各个角，即可确定为钝角三角形．
5．（2025七下·成都月考）将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵EF∥CD，
∴∠1＝∠3＝25°，
∴∠ADC＝180°-∠BAC﹣∠3＝180°-30°-25°＝125°，
∴ ∠2=∠ADC=125°.
故选：B．
【分析】根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3，再根据三角形的内角和定理求得∠ADC，再根据对顶角相等即可求得∠2.
6．（2025七下·成都月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
，
（SSS），故A选项不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
，
∴（SAS），故B选项不符合题意；
当添加时，不能证明，故C选项符合题意；
，时，
∴（SAS），故D选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形的判定逐一证明，即可判断.
7．（2025七下·成都月考）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（　　）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
∴，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】根据同底等高三角形面积相等可得三角形中线将三角形分割成两个面积相等的三角形，据此可得及，由图形构成得，从而结合已知条件即可求解．
8．（2025七下·成都月考）如图，向放在水槽底部的烧杯注水，注满烧杯后，继续注水，直至水槽注满．水槽中水面升上的高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由先往烧杯里注水，可知水槽中水的高度在前一段时间内为0；
水从烧杯流出，水的高度将开始增长；
当水的高度超过烧杯高度时，水的高度增长更加缓慢；
故表现在函数图象上为先零，后陡，最后缓，即B符合题意.
故选：B．
【分析】根据题意判断出h的变化，即可判断函数图象.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（2025七下·成都月考）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可求得．
10．（2025七下·成都月考）等腰三角形的一边长为 cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为　 　 cm．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当第三边为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当第三边为9时，4+9＞9，所以能构成三角形．
∴第三边为9cm．
故答案为9．
【分析】分为两种情况，一、当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm；二、当腰为9cm，三边为4cm，9cm，9cm。在根据三边关系定理确定答案即可。
11．（2025七下·成都月考）在一个不透明的袋中装有4个红球，3个黄球，它们除颜色不同外其它完全相同，现从中任意摸出一球，恰为红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：任意摸出一球，恰为红球的概率为，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算，概率=红球的数量/总的球的数量，即可求得.
12．（2025七下·成都月考）如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
由折叠可得，，
由长方形可得，
∴，
．
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠可得∠DGH=72°，再根据两直线平行，同旁内角互补可得.
13．（2025七下·成都月考）如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是　 　.
【答案】12
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点E，如图所示：
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作于点E，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（2025七下·成都月考）计算
（1）；
（2）
（3）化简求值：，其中
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂计算即可求得；
（2）根据积的乘方，单项式与单项式的乘法，单项式与单项式的除法法则计算，最后进行整式的加减运算即可；
（3）先根据平方差公式和完全平方差公式计算括号内的，再根据多项式除单项式法则计算即可化简；根据完全平方差公式将化为，利用绝对值和平方的非负性求出，的值，再代入求值即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
15．（2025七下·成都月考）如图；在正方形网格上有一个．
（1）画关于直线的对称图形（A与，B与，C与对应，不写画法）；
（2）在上画出点P，使最小；
（3）若网格上每个小正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先作出、、关于直线的对称点，，，再顺次连接即可；
（2）根据“将军饮马”模型，可知连接交于，点即为所求；
（3）根据割补法求面积即可求得.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接交于，点即为所求；
（3）解：．
16．（2025七下·成都月考）我们知道：“距离地面越高，气温越低．”下表表示的是某地某时气温随高度变化而变化的情况
距离地面高度 0 1 2 3 4 5
气温 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10
（1）请你用关系式表示出与的关系；
（2）距离地面的高空气温是多少？
（3）当地某山顶当时的气温为，求此山顶与地面的高度．
【答案】解：(1)由表格数据可知，每升高1千米，气温下降6℃，
则与和函数关系式为，；
(2)当h=6km时，t=20-6×6=-16℃；
(3)当时，，解得，h=0.75，
∴上顶与地面高度为0.75km.
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据表中的数据写出函数关系式；
（2）把h=6代入函数关系式，即可求得；
（3）把t=15.5代入函数关系式，求解即可．
17．（2025七下·成都月考）已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接．
（1）若，，求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，推出的周长；
（2）根据等边对等角可得，， 再根据∠ACE=∠ACB-∠BCE，即可求得.
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
18．（2025七下·成都月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点
（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；
（2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．
【答案】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，
∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，
∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，
∴∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；
（2）（2）∠E＋∠F＝108°．
证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，
∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，
∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，
∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，
∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA
∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；
（3）不变，是定值，值为15°，如图，过Q作QE∥AB，
∵AB∥CD，
∴ QE∥CD，
∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，
∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，
由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，
∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，
∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，
∴∠K∠AQH，
∵QM是∠CQH的平分线，
∴∠MQH∠CQH，
∵∠MQH是△MQK的外角，
∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，
即∠QMK的大小不变，是定值15°．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，结合角平分线的定义可推出∠P＝180°﹣90°＝90°，即可证明AP⊥CP；
（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，根据平行公理的推论和平行线的性质可得∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再结合∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD和角平分线的定义可推出∠E＋∠F＝108°；
（3）过Q作QE∥AB，根据平行公理的推论可得QE∥CD，根据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依据∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP推出∠AQC＝30°，根据等腰三角形的性质和外交的性质可得∠K∠AQH，结合角平分线的定义可得∠MQH∠CQH，
再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK是定值15°．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（2025七下·成都月考）若 ，则 的值为　 　.
【答案】9
【知识点】代数式求值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】∵ ，
∴
=
=
=
=
=9.
故答案为：9.
【分析】先将 化为 ，再将 代入所化式子计算即可.
20．（2025七下·成都月考）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是　 　．（保留π）
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵铜钱的面积为：，而中间正方形小孔的面积为，
∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．
故答案为：.
【分析】根据几何概率的意义，用铜钱中间正方形面积除以铜钱的总面积即可求出答案.
21．（2025七下·成都月考）如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时，　 　（用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由折叠得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长交于点Q，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【分析】根据折叠可得，，根据平行线的性质得出，最后求出即可；延长交于点Q，根据平行线的性质可得，根据三角形面积求出，，根据ASA证明推出，最后根据全等三角形的性质和三角形面积公式即可求得.
22．（2025七下·成都月考）如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过　 　秒时，．
【答案】2或4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，．
理由如下：
①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴；
②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴．
综上可知，当或时．
故答案为：2或4．
【分析】分类讨论：①当E在射线上时，D必在上，则需；②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需，再分别画出图形并利用全等三角形的判定方法和性质分析求解即可.
23．（2025七下·成都月考）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等的判定；平行线的应用-求角度；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点B作，且，在上截取，连接，根据得到，即可得到再根据可得，即可得到，进而得到，可得点C，点E，点H三点共线时，有最小值，根据得到，即可得到解答即可．
五、解答题（共30分）
24．（2025七下·成都月考）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）；
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______；
（3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
【答案】解：（1）9，；
（2）；
（3），
理由：设长方形MNPQ的长为x，
，
，
，
∵ S为定值，即S将不随x的变化而变化，
∴，
∴时，S为定值．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab，∵ a2+6ab+9b2=（a+3b)2，
∴ 应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是a+3b，
（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为（a+b）的正方形，
D型卡片的面积为（a+b）2-4ab，
由图可得D型卡片是一个边长为（a-b）的正方形，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（1）（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（2）故答案为：9；a+3b；
【分析】（1）根据卡片的面积利用完全平方公式即可求得；
（2）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可求得；
（3）设长方形的长为x，利用x、a、b表示出S1和S2，再根据，且S为定值，即可求得．
25．（2025七下·成都月考）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，且都匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示．
（1）A，B两地之间的距离为______千米；
（2）求甲、乙的速度；
（3）甲出发多少时间后，甲、乙两人相距180千米．
【答案】（1）
（2）解： 根据函数图象可得，甲的速度是：（千米/时），则乙的速度是：（千米/时）；
（3）解： 相遇之前：（小时），
相遇之后：（小时），
即甲出发小时或4.5小时后，甲、乙两人相距180千米．
【知识点】通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】（1）根据函数图象可得，A、B两地之间路程为240千米，
故答案为：240；
【分析】（1）图象反应的是甲、乙两人间的距离s(km)与甲行驶的时间t(s)之间的关系，而图象起点坐标为（0，240），故可得此时甲在A地，乙在B地，A\B两地之间的距离为240km；
（2）由图象提供的信息可得出发2小时时，甲乙在途中相遇，甲出发3小时时，乙到达了A地，甲出发6小时时，甲到达了B地，从而根据路程、时间、速度三者的关系可以求得它们各自的速度；
（3）根据图象可知相遇前和相遇后，存在这两种情况甲、乙两人相距180千米，然后列式计算即可；
（1）根据函数图象可得，A、B两地之间路程为240千米，
故答案为：240；
（2）根据函数图象可得，甲的速度是：（千米/时），则乙的速度是：（千米/时）；
（3）相遇之前：（小时），
相遇之后：（小时），
即甲出发小时或4.5小时后，甲、乙两人相距180千米．
26．（2025七下·成都月考）是等边三角形，点为射线上一点，连接，，．
（1）如图1，过点作交边于点，求证：；
（2）如图2，点在边上时，连接交边于点，若，，求证：；
（3）当点在的延长线上时，连接与射线交于点，若，请直接写出_____（用含的代数式表示）．
【答案】（1）证明∶∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点E作交边的延长线于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴；
（3）或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：∵，
设，则，
如图3，过点E作，交射线于F，
同理得：，
∴， ，
同理得：，
∴，
∴．
如图4，过点E作，交于F，
同理得：，
∴，，
同理得：，
∴，
∴．
故答案为：或.
【分析】（1）由等边三角形的每一个内角都是60°得∠ABC=∠ACD=∠A=60°，由二直线平行，内错角相等得∠EFA=∠A=60°，由邻补角及等角的补角相等推出∠BFE=∠BCD=120°，根据三角形外角的性质、角的构成等式性质推出∠EBF=∠D，从而利用“AAS”证△EFB≌△BCD，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）过点E作交边的延长线于点F，由二直线平行，内错角相等得∠F=∠A=∠ABC=60°，利用周角及三角形的内角和求出∠CBD+∠BDC=∠CBD+∠EBF=120°，根据等式性质推出∠EBF=∠BDC，从而用“AAS”证△EFB≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得BF=CD，EF=BC=AC，再利用“AAS”证△EGF≌△CGA，由全等三角形的对应边相等得FG=AG=3，由线段和差可推出AD=CD=BF=2，由等腰三角形三线合一的性质可得结论；
（3）设，则，分两种情况：点F在BA的延长线上，如图3，过点作EF∥AC，交射线BA于F，利用“AAS”证△EFB≌△BCD，△EGF≌△CGA，由全等三角形的对应边相等得出BF=CD=x，EF=BC=AC=kx，FG=AG=，从而看求出两条线段比值；当点F在线段BA上时，过点E作EF∥AC，利用“AAS”证△EFB≌△BCD，△EGF≌△CGA，由全等三角形的对应边相等得出BF=CD=x，EF=BC=AC=kx，FG=AG=，从而看求出两条线段比值，综上，即可得出答案.
（1）证明∶∵是等边三角形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：过点E作交边的延长线于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴；
（3）解：∵，
设，则，
如图3，过点E作，交射线于F，
同理得：，
∴， ，
同理得：，
∴，
∴．
如图4，过点E作，交于F，
同理得：，
∴，，
同理得：，
∴，
∴．
故答案为：或
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