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浙江省金华市六校联谊2025年中考模拟数学试题卷（6月5日）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·金华模拟）如果温度上升记作，那么下降记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·金华模拟）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·金华模拟）已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．买1张这种彩票，不可能中奖
B．买200张这种彩票，可能有2张中奖
C．买100张这种彩票，一定有1张中奖
D．若100人每人买1 张这种彩票，一定会有1 人中奖
4．（2025·金华模拟） 下列运算中， 计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·金华模拟）如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·金华模拟）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·金华模拟）已知点在反比例函数图像上，．若，则的值为（　　）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
8．（2025·金华模拟）下列图形不能被边长为4的正方形完全覆盖的是（　　）
A．半径为2的圆 B．半径为2.5的半圆
C．两边长分别为，的三角形 D．斜边长为5的直角三角形
9．（2025·金华模拟）如图，点，，分别在的边上，，点G是的中点，连接并延长交于点H，已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·金华模拟）如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题 （本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·金华模拟）计算：a2-4b2=　 　.
12．（2025·金华模拟）如图，点是上的三点，若，则的度数是　 　．
13．（2025·金华模拟）现将背面完全一样，正面分别写有“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“必胜”的概率是　 　．
14．（2025·金华模拟）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是　 　（结果保留）．
15．（2025·金华模拟）如图，在中，， ，点M，N分别在边和上，且，作交于D，交于E（D在E左侧），若上存在一点P，使得， 则　 　．
16．（2025·金华模拟）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，点F在的延长线上，连接，．点P从点D出发，沿运动到点F，在边上找一点Q，连接，使得，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为　 　．
三、解答题 （本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2025·金华模拟）计算：．
18．（2025·金华模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·金华模拟）2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
20．（2025·金华模拟）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求菱形的面积．
21．（2025·金华模拟）如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
（2）在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
22．（2025·金华模拟）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示．
（1）填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______；
（2）求线段所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长．
23．（2025·金华模拟）已知点在抛物线（b，c为常数）的图象上．
（1）用含b的代数式表示c；
（2）当b的值变化时，的顶点总在另一抛物线的图象上，
①求p，q的值；
②若抛物线和抛物线围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围．
24．（2025·金华模拟）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆．点D为边上的动点，分别切圆C于点P，点Q，连结，分别交和于点E，F，取的中点M．
（1）当时，求劣弧的度数；
（2）当时，求的长；
（3）连接，．
①证明：．
②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：温度上升记作，
下降记作．
故选C
【分析】
用正数与负数表示意义相反的两种量，若规定其中一个为正，则和它意义相反的量就为负．
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：它的左视图是
故选：C
【分析】
从左面观察物体得到的图形是左视图．
3．【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：A、买1张这种彩票，也可能中奖，故此选项不符合题意；
B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，故此选项符合题意；
C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故此选项不符合题意；
D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据概率的意义“概率反映事件发生的机会的大小”解答即可．
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘除法结合题意对选项逐一运算即可求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为，
，，且相似比为，
，
，
，
故选：C．
【分析】
由于位似图形是相似形，其周长比等于位似比，则由位似的性质可得AB平行DE，再由三角形相似的预备定理可得，再由相似比可得，即．
6．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，
根据题意得：，
故选：B．
【分析】
设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵
∴或，
假设，则，
∴，，
∴，
同理：当，则，．
故选：B．
【分析】
由反比例函数得，当与异号、与；又且，则需要分类讨论，即当时，则；当时，则．
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆的面积
【解析】【解答】解：边长为4的正方形，面积是4×4=16，
A选项，半径为2的圆，面积是π×22=4π≈12.56，16＞12.56，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
B选项，半径为2.5的圆，面积是π×2.52=6.25π≈19.625，16＜19.625，因此不能被边长为4的正方形完全覆盖；
C选项，边长为4的正方形，对角线长是，而和均小于，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
D选项，5＜，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查图形的面积计算以及正方形对角线、三角形边长的特点等知识。
首先利用正方形的面积和圆的面积计算公式，即可判断出AB选项；然后计算出正方形的对角线长度，和三角形的边长进行比较，即可判断出CD选项。
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
设AH交DF于点M，由内错角相等两直线平行可得、，再由三角形相似的预备定理可得，由相似比可得，设，则，由可证，则有，再由可得，进而可得，再求两线段的比即可．
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作于点，设，（定值），
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
A．，是定值，故此选项符合题意；
B．，不是定值，故此选项不符合题意；
C．，不是定值，故此选项不符合题意；
D．，不是定值，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如图所示，由于已知，则可过点作于点构造和，设，（定值），则解直角三角形可得，再由三角形相似的预备定理可证明，由相似比可得，再利用比例的性质可得，同理可证，由相似比可得，然后依次对各选项进行判断即可．
11．【答案】（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-4b2 = a2-（2b）2=（a+2b）（a-2b）
故答案为：（a+2b）（a-2b）.
【分析】本题主要考查平方差公式的运用。
根据公式“ a2-b2 =（a+b）（a-b）”，代入计算即可。
12．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】
同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：分别记“中”、“考”、“必”、“胜”为A，B，C，D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“必胜”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“必胜”字样的概率为：，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：圆锥的主视图和左视图，圆锥的底面直径为，高为，
∴母线长，
∴该圆锥的侧面积是，
故答案为：．
【分析】
观察圆锥的主视图可得底面圆直径是6，观察左视图可得圆锥的高为3，再利用等腰三角形三线合一结合勾股定理可得到圆锥的母线为，再利用扇形面积公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
同理可得，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得，
，
故答案为：．
【分析】
先由结合已知可得，同理可得，再由可得，则由平行线的性质结合同角的余角相等可得都与 相等，则解直角三角形可得，此时再设，则，，再利用求出a、b的数量关系即可．
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】∵在中，，
∴，
连接，
∵点D，E分别是边上的中点，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，，
①当点在线段上运动时，
∵，
∴，
∴当点从点移动到点时，点从点移动到点，路径长为；
②当点在上移动时，如图，
∵，
∴，
设，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大为：，
∴当点从点移动到点时，点先从点移动到的位置，再返回到点，
∴点的总的路径长为：；
故答案为：．
【分析】
先解可分别得的长，再连接，由中点的及中位线定理可得，，再解可得的长，则当点在线段上运动时，点Q的运动轨迹为线段EF，当点在上运动时，由平角的概念结合三角形的内角和可证明，此时可设BP＝x，则由相似比可得，再利用二次函数的性质求出的最大值，即点先从点移动到的位置，再返回到点，进而求出总的路径长即可．
17．【答案】原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算零指数幂，三角函数，负整数指数幂，再计算加减即可.
18．【答案】解：
，
代入，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简结果为，然后把代入中，进行计算，即可得出结果。
19．【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）2
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
【分析】
平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念．
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可“10分”的学生数及占比求出乙组总人数，再在甲且中用总人数分别减去成绩为“7、8、9分”的人数即可；
（2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，由于甲组成绩已按照从小到大的顺序排列且总人数是20人，则中位数是第10名和第11名的平均值，即等于；
（3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可．
（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
20．【答案】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用定义判定四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，再利用菱形的定义判定即可；
（2）先由矩形的性质结合勾股定理求出BC的长，则矩形ABCD面积可得，由于菱形是轴对称图形，即，由于矩形的对角线把矩形面积四等分，即．
（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
21．【答案】（1）解：如图1，点M为所求作；
（2）解：如图2，点N即为所求作：
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接、交于点M，根据正六边形的性质即可得到点M即为所求；
（2）连接，交于点N，可得，，即可得到BN=，AB=r，则点N即为所作．
（1）解：如图1，点M为所求作；
（2）解：如图2，点N即为所求作：
22．【答案】（1）70，
（2）解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为；
（3）解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为，
当时，解得：；
当，解得：；
，
答：该海巡船能接收到该信号的时间有．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为；
海巡船的速度为，
海巡船从A岛到达C岛用时，
，
故答案为：70，．
【分析】
（1）观察图象知，当y=0时即海巡船从A岛到达B岛，即0.4小时航行了20千米，则可求得海巡船的速度；当航行a小时后海巡船到达C岛，则A、C两岛之间的距离为70千米，再利用距离和速度求出时间a即可；
（2）由于P、N两点坐标已知，可利用待定系数法求解即可；
（3）同（2）求出直线所表示的函数关系式，再利用直线上点的坐标特征分别将代入线段和所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可．
（1）解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为；
海巡船的速度为，
海巡船从A岛到达C岛用时，
，
故答案为：70，．
（2）解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为；
（3）解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为，
当时，解得：；
当，解得：；
，
答：该海巡船能接收到该信号的时间有．
23．【答案】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）解：①二次函数的顶点坐标为，
，
二次函数的顶点坐标为，
令，则，
，
∴顶点总在二次函数的图象上，
∵的顶点总在另一抛物线的图象上
∴，；
②解：当时，抛物线经过点时，是临界状态，
此时，解得：，顶点坐标为，封闭区域内的整点为，
当顶点沿着抛物线往左下方移动，抛物线经过点时，，解得：，
此时区域内有，两个整点，满足题意，
所以；
当时，由抛物线的轴对称性可得；
综上：或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；两二次函数的图象共存判断
【解析】【分析】
（1）利用抛物线上点的坐标特征把点的坐标代入到抛物线解析式中即可；
（2）①先化抛物线一般式为顶点式再结合（1）的结论可得顶点坐标，即顶点在抛物线上，则，；
②分和两种情况，找到临界点，进行求解即可．
（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）解：①二次函数的顶点坐标为，
，
二次函数的顶点坐标为，
令，则，
，
∴顶点总在二次函数的图象上，
∵的顶点总在另一抛物线的图象上
∴，；
②解：当时，抛物线经过点时，是临界状态，
此时，解得：，顶点坐标为，封闭区域内的整点为，
当顶点沿着抛物线往左下方移动，抛物线经过点时，，解得：，
此时区域内有，两个整点，满足题意，
所以；
当时，由抛物线的轴对称性可得；
综上：或．
24．【答案】（1）解：如图，连接、．
∵分别切圆C于点P、点Q，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则弧为．
（2）解：如图，连结，再过点D作BC的垂线段DG.
分别切圆C于点P、Q，
垂直平分，即点M在线段CD上
∴
设，则、
解得：；
（3）解：①连接，，，如图所示：
根据（2）可知：垂直平分，
∵点M为的中点，
∴点M在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴为定值，
∵，
∴点M在以为直径的圆上运动，
取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为4．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线长定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，则连接CP、CQ，由四边形的内角和可得，再利用弧长公式计算即可；
（2）由切线长定理可得DP＝DQ，又CP＝CQ，则CD垂直平分PQ，故连接CD，则CD过点M，再由等腰三角形三线合一可得CD平分，再由角平分线的性质定理可过点D作BC的垂线段DG，则DG＝DA，再利用HL可证，则GC＝AC＝5，再利用勾股定理求出BC，则BG可得，再在中应用勾股定理求出DG即可；
（3）①由（2）知CD垂直PQ，则可利用AA判定，再由相似比即可得结论成立；
②由切线的性质结合CD与PQ的位置关系可利用AA证明，由相似比可得，再结合①结论可得，再分别代入PC、AC的值可得CE＝2，则可取CE中点H，连接MH，由直角三角形斜边上的中线可得MH＝1，连接BH，由勾股定理可得BH＝5，显然当B、M、H三点共线时BM有最小值，即最小值为4．
（1）解：如图，连接、．
∵分别切圆C于点P、点Q，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则弧为．
（2）解：连结，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴C，D在的垂直平分线上，
∴经过的中点M．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
即平分，
过点D作于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）解：①连接，，，如图所示：
根据（2）可知：垂直平分，
∵点M为的中点，
∴点M在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴为定值，
∵，
∴点M在以为直径的圆上运动，
取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为4．
1 / 1浙江省金华市六校联谊2025年中考模拟数学试题卷（6月5日）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·金华模拟）如果温度上升记作，那么下降记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：温度上升记作，
下降记作．
故选C
【分析】
用正数与负数表示意义相反的两种量，若规定其中一个为正，则和它意义相反的量就为负．
2．（2025·金华模拟）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：它的左视图是
故选：C
【分析】
从左面观察物体得到的图形是左视图．
3．（2025·金华模拟）已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．买1张这种彩票，不可能中奖
B．买200张这种彩票，可能有2张中奖
C．买100张这种彩票，一定有1张中奖
D．若100人每人买1 张这种彩票，一定会有1 人中奖
【答案】B
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：A、买1张这种彩票，也可能中奖，故此选项不符合题意；
B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，故此选项符合题意；
C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故此选项不符合题意；
D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据概率的意义“概率反映事件发生的机会的大小”解答即可．
4．（2025·金华模拟） 下列运算中， 计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘除法结合题意对选项逐一运算即可求解.
5．（2025·金华模拟）如图，以点O为位似中心的与的周长比为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为，
，，且相似比为，
，
，
，
故选：C．
【分析】
由于位似图形是相似形，其周长比等于位似比，则由位似的性质可得AB平行DE，再由三角形相似的预备定理可得，再由相似比可得，即．
6．（2025·金华模拟）端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，
根据题意得：，
故选：B．
【分析】
设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程．
7．（2025·金华模拟）已知点在反比例函数图像上，．若，则的值为（　　）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵
∴或，
假设，则，
∴，，
∴，
同理：当，则，．
故选：B．
【分析】
由反比例函数得，当与异号、与；又且，则需要分类讨论，即当时，则；当时，则．
8．（2025·金华模拟）下列图形不能被边长为4的正方形完全覆盖的是（　　）
A．半径为2的圆 B．半径为2.5的半圆
C．两边长分别为，的三角形 D．斜边长为5的直角三角形
【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆的面积
【解析】【解答】解：边长为4的正方形，面积是4×4=16，
A选项，半径为2的圆，面积是π×22=4π≈12.56，16＞12.56，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
B选项，半径为2.5的圆，面积是π×2.52=6.25π≈19.625，16＜19.625，因此不能被边长为4的正方形完全覆盖；
C选项，边长为4的正方形，对角线长是，而和均小于，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
D选项，5＜，因此能被边长为4的正方形完全覆盖；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查图形的面积计算以及正方形对角线、三角形边长的特点等知识。
首先利用正方形的面积和圆的面积计算公式，即可判断出AB选项；然后计算出正方形的对角线长度，和三角形的边长进行比较，即可判断出CD选项。
9．（2025·金华模拟）如图，点，，分别在的边上，，点G是的中点，连接并延长交于点H，已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
设AH交DF于点M，由内错角相等两直线平行可得、，再由三角形相似的预备定理可得，由相似比可得，设，则，由可证，则有，再由可得，进而可得，再求两线段的比即可．
10．（2025·金华模拟）如图，点，， ，分别在等腰的腰上，连接，，已知，，且，，的长为定值． 当与发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的概念；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点作于点，设，（定值），
∴在等腰中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
A．，是定值，故此选项符合题意；
B．，不是定值，故此选项不符合题意；
C．，不是定值，故此选项不符合题意；
D．，不是定值，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如图所示，由于已知，则可过点作于点构造和，设，（定值），则解直角三角形可得，再由三角形相似的预备定理可证明，由相似比可得，再利用比例的性质可得，同理可证，由相似比可得，然后依次对各选项进行判断即可．
二、填空题 （本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·金华模拟）计算：a2-4b2=　 　.
【答案】（a+2b）（a-2b）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： a2-4b2 = a2-（2b）2=（a+2b）（a-2b）
故答案为：（a+2b）（a-2b）.
【分析】本题主要考查平方差公式的运用。
根据公式“ a2-b2 =（a+b）（a-b）”，代入计算即可。
12．（2025·金华模拟）如图，点是上的三点，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】
同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
13．（2025·金华模拟）现将背面完全一样，正面分别写有“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“必胜”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：分别记“中”、“考”、“必”、“胜”为A，B，C，D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“必胜”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“必胜”字样的概率为：，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
14．（2025·金华模拟）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：圆锥的主视图和左视图，圆锥的底面直径为，高为，
∴母线长，
∴该圆锥的侧面积是，
故答案为：．
【分析】
观察圆锥的主视图可得底面圆直径是6，观察左视图可得圆锥的高为3，再利用等腰三角形三线合一结合勾股定理可得到圆锥的母线为，再利用扇形面积公式计算即可．
15．（2025·金华模拟）如图，在中，， ，点M，N分别在边和上，且，作交于D，交于E（D在E左侧），若上存在一点P，使得， 则　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
同理可得，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得，
，
故答案为：．
【分析】
先由结合已知可得，同理可得，再由可得，则由平行线的性质结合同角的余角相等可得都与 相等，则解直角三角形可得，此时再设，则，，再利用求出a、b的数量关系即可．
16．（2025·金华模拟）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，点F在的延长线上，连接，．点P从点D出发，沿运动到点F，在边上找一点Q，连接，使得，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】∵在中，，
∴，
连接，
∵点D，E分别是边上的中点，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，，
①当点在线段上运动时，
∵，
∴，
∴当点从点移动到点时，点从点移动到点，路径长为；
②当点在上移动时，如图，
∵，
∴，
设，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大为：，
∴当点从点移动到点时，点先从点移动到的位置，再返回到点，
∴点的总的路径长为：；
故答案为：．
【分析】
先解可分别得的长，再连接，由中点的及中位线定理可得，，再解可得的长，则当点在线段上运动时，点Q的运动轨迹为线段EF，当点在上运动时，由平角的概念结合三角形的内角和可证明，此时可设BP＝x，则由相似比可得，再利用二次函数的性质求出的最大值，即点先从点移动到的位置，再返回到点，进而求出总的路径长即可．
三、解答题 （本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2025·金华模拟）计算：．
【答案】原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】实数的混合运算，先计算零指数幂，三角函数，负整数指数幂，再计算加减即可.
18．（2025·金华模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
代入，原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则进行分式的化简，得出最简结果为，然后把代入中，进行计算，即可得出结果。
19．（2025·金华模拟）2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）2
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
【分析】
平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念．
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可“10分”的学生数及占比求出乙组总人数，再在甲且中用总人数分别减去成绩为“7、8、9分”的人数即可；
（2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，由于甲组成绩已按照从小到大的顺序排列且总人数是20人，则中位数是第10名和第11名的平均值，即等于；
（3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可．
（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
20．（2025·金华模拟）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用定义判定四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，再利用菱形的定义判定即可；
（2）先由矩形的性质结合勾股定理求出BC的长，则矩形ABCD面积可得，由于菱形是轴对称图形，即，由于矩形的对角线把矩形面积四等分，即．
（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
21．（2025·金华模拟）如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
（2）在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
【答案】（1）解：如图1，点M为所求作；
（2）解：如图2，点N即为所求作：
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接、交于点M，根据正六边形的性质即可得到点M即为所求；
（2）连接，交于点N，可得，，即可得到BN=，AB=r，则点N即为所作．
（1）解：如图1，点M为所求作；
（2）解：如图2，点N即为所求作：
22．（2025·金华模拟）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示．
（1）填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______；
（2）求线段所表示的函数关系式；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长．
【答案】（1）70，
（2）解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为；
（3）解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为，
当时，解得：；
当，解得：；
，
答：该海巡船能接收到该信号的时间有．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为；
海巡船的速度为，
海巡船从A岛到达C岛用时，
，
故答案为：70，．
【分析】
（1）观察图象知，当y=0时即海巡船从A岛到达B岛，即0.4小时航行了20千米，则可求得海巡船的速度；当航行a小时后海巡船到达C岛，则A、C两岛之间的距离为70千米，再利用距离和速度求出时间a即可；
（2）由于P、N两点坐标已知，可利用待定系数法求解即可；
（3）同（2）求出直线所表示的函数关系式，再利用直线上点的坐标特征分别将代入线段和所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可．
（1）解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为；
海巡船的速度为，
海巡船从A岛到达C岛用时，
，
故答案为：70，．
（2）解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为；
（3）解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得：，
线段所表示的函数关系式为，
当时，解得：；
当，解得：；
，
答：该海巡船能接收到该信号的时间有．
23．（2025·金华模拟）已知点在抛物线（b，c为常数）的图象上．
（1）用含b的代数式表示c；
（2）当b的值变化时，的顶点总在另一抛物线的图象上，
①求p，q的值；
②若抛物线和抛物线围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）解：①二次函数的顶点坐标为，
，
二次函数的顶点坐标为，
令，则，
，
∴顶点总在二次函数的图象上，
∵的顶点总在另一抛物线的图象上
∴，；
②解：当时，抛物线经过点时，是临界状态，
此时，解得：，顶点坐标为，封闭区域内的整点为，
当顶点沿着抛物线往左下方移动，抛物线经过点时，，解得：，
此时区域内有，两个整点，满足题意，
所以；
当时，由抛物线的轴对称性可得；
综上：或．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；两二次函数的图象共存判断
【解析】【分析】
（1）利用抛物线上点的坐标特征把点的坐标代入到抛物线解析式中即可；
（2）①先化抛物线一般式为顶点式再结合（1）的结论可得顶点坐标，即顶点在抛物线上，则，；
②分和两种情况，找到临界点，进行求解即可．
（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）解：①二次函数的顶点坐标为，
，
二次函数的顶点坐标为，
令，则，
，
∴顶点总在二次函数的图象上，
∵的顶点总在另一抛物线的图象上
∴，；
②解：当时，抛物线经过点时，是临界状态，
此时，解得：，顶点坐标为，封闭区域内的整点为，
当顶点沿着抛物线往左下方移动，抛物线经过点时，，解得：，
此时区域内有，两个整点，满足题意，
所以；
当时，由抛物线的轴对称性可得；
综上：或．
24．（2025·金华模拟）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆．点D为边上的动点，分别切圆C于点P，点Q，连结，分别交和于点E，F，取的中点M．
（1）当时，求劣弧的度数；
（2）当时，求的长；
（3）连接，．
①证明：．
②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，连接、．
∵分别切圆C于点P、点Q，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则弧为．
（2）解：如图，连结，再过点D作BC的垂线段DG.
分别切圆C于点P、Q，
垂直平分，即点M在线段CD上
∴
设，则、
解得：；
（3）解：①连接，，，如图所示：
根据（2）可知：垂直平分，
∵点M为的中点，
∴点M在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴为定值，
∵，
∴点M在以为直径的圆上运动，
取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为4．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线长定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，则连接CP、CQ，由四边形的内角和可得，再利用弧长公式计算即可；
（2）由切线长定理可得DP＝DQ，又CP＝CQ，则CD垂直平分PQ，故连接CD，则CD过点M，再由等腰三角形三线合一可得CD平分，再由角平分线的性质定理可过点D作BC的垂线段DG，则DG＝DA，再利用HL可证，则GC＝AC＝5，再利用勾股定理求出BC，则BG可得，再在中应用勾股定理求出DG即可；
（3）①由（2）知CD垂直PQ，则可利用AA判定，再由相似比即可得结论成立；
②由切线的性质结合CD与PQ的位置关系可利用AA证明，由相似比可得，再结合①结论可得，再分别代入PC、AC的值可得CE＝2，则可取CE中点H，连接MH，由直角三角形斜边上的中线可得MH＝1，连接BH，由勾股定理可得BH＝5，显然当B、M、H三点共线时BM有最小值，即最小值为4．
（1）解：如图，连接、．
∵分别切圆C于点P、点Q，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则弧为．
（2）解：连结，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴C，D在的垂直平分线上，
∴经过的中点M．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
即平分，
过点D作于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）解：①连接，，，如图所示：
根据（2）可知：垂直平分，
∵点M为的中点，
∴点M在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，C、D、M三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据①可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴为定值，
∵，
∴点M在以为直径的圆上运动，
取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为4．
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