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浙江省杭州市萧山区城区8校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．）
1．（2025八下·萧山期中）下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·萧山期中）下列扑克牌中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·萧山期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
4．（2025八下·萧山期中） 一元二次方程 配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·萧山期中）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　）
A．1 B．5 C． D．
7．（2025八下·萧山期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
9．（2025八下·萧山期中）已知方程甲：，方程乙；都是一元二次方程，其中，以下说法中错误的是（　　）
A．若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙没有实数根
B．若方程甲有两个相等的实数根，则方程乙也有两个相等的实数根
C．若是方程甲的解，则也是方程乙的解
D．若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或
10．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·萧山期中）已知二次根式有意义，则x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·萧山期中）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是　 　.
13．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为　 　.
14．（2025八下·萧山期中）如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式2m2-4m+3的值为　 　.
15．（2025八下·萧山期中）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中　 　.
16．（2025八下·萧山期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为 　 　．
（2）如图2，连接，若，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共8个大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·萧山期中）计算.
（1）
（2）
18．（2025八下·萧山期中）解方程
（1）
（2）
19．（2025八下·萧山期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的．
（1）在图1中画一个面积为6的 ．
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于的．
20．（2025八下·萧山期中）某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均分 中位数 众数 方差
八年级 92 92 23.4
九年级 92 94 29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
21．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点，于点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
22．（2025八下·萧山期中）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23．（2025八下·萧山期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；
（3）若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
24．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，故选项A符合题意；
B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 最简二次根式需满足两点：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A． 绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形重合，是中心对称图形，故B符合题意；
C． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：C.
【分析】利用配方法解此一元二次方程即可求解.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故选：A．
【分析】
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数．
6．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、，
∴这组数据的的平均数为，
故选D．
【分析】根据方差的公式得到这组数据，然后根据平均数的计算公式解答即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得等量关系：油菜地的面积=总面积×，可列方程：
，
即．
故答案为：D
【分析】由题意可得等量关系：油菜地的面积=总面积×，根据等量关系列方程即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则△=（2b）2-4a a＞0，
解得4b2＞4a2，
所以4a2-4b2＜0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b b=4a2-4b2＜0，
所以方程乙没有实数解，故选项A正确，不符合题意；
若方程甲有两个相等的实数解，则△=（2b）2-4a a=0，
解得4b2=4a2，
所以4a2-4b2=0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b b=4a2-4b2=0，
所以方程乙有两相等实数解，故选项B正确，不符合题意；
若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b，
则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2-2bx+b=0，
解得x1=x2=1，
所以x=1也是方程乙的解，故选项C正确，不符合题意；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
①-②得（a-b）n2-2（a-b）n+（a-b）=0，
∵a≠b，
∴n2-2n+1=0，
解得n1=n2=1，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意可判断A、B选项；根据方程根的定义将x=1代入甲方程求出a=-b，再将a=-b代入乙方程求解即可判断C选项；根据方程根的定义可得，解方程组求得n1=n2=1，可对D进行判断．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
11．【答案】x≧-2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：有意义
则2+x≥0，
解得：x≥-2．
故答案为：x≥-2.
【分析】直接利用二次根式的定义，得出2+x≥0，进而得出答案．
12．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每个外角都等于72°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷72°=5，
∴这个多边形的边数为5.
故答案为：5.
【分析】根据多边形的外角和等于360°，且每个外角都等于72°，即可求得多边形的边数为360°÷72°=5，即可求解.
13．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
14．【答案】15
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∵m是方程x2-2x-6=0的一个根，
∴m2-2m-6=0，
∴m2-2m=6．
∴2m2-4m+3=2（m2-2m）+3=2×6+3=15
故答案为：15.
【分析】 将x=m代入已知方程得到m2-2m=6，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
15．【答案】最多有一个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：
用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，
应假设：三角形三个外角中最多有一个钝角．
故答案为：最多（至多）有一个钝角.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立 .
16．【答案】；4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）过点D作，交的延长线于点H，如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，如图2，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∴设，则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，．
由（1）知：，
∴，
在中，，
由折叠得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】
（1）由于已知，则可过点D作BC的垂线交BC的延长线于点H，由利用轴对称结合平行四边形的性质可证明，由等边对等角可得DE＝DA＝10，再利用含角的直角三角形的性质求得线段，再利用勾股定理求得，进而求得，则；
（2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，利用平行四边形的判定与性质得到，设，再由矩形的判定与性质可得，再参照（1）的方法求解即可．
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）需要计算涉及二次根式的除法和减法运算，可以先将二次根式进行化简，再进行合并计算；
（2）需要应用完全平方公式和平方差公式，通过合并同类项来简化表达式.
18．【答案】（1）解：
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，。
（2）解：
移项得，
提取公因式得，
则或，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）先移项，再提公因式求解即可.
（1）解：
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，。
（2）解：
移项得，
提取公因式得，
则或，
解得，．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：一条对角线长等于的如图所示：
【知识点】平行四边形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应角的关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）分别取格点C、D，则有AD与BC平行且相等，又BC＝3，BC上的高为2，则即为所求作；
（2）分别取格点C、D，由一线三垂直全等模型可得，且，则即为所求作．
（1）解：如图所示：
（2）解：一条对角线长等于的如图所示：
20．【答案】（1）92.5，95，
补全条形统计图如下：
（2）解：九年级成绩较好，
理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）解： (名)，
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【觞答】
（1）
解：由题意可知，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：92.5；95；
【分析】
（1）中位数是指对一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间一个（数据总个数为奇数）或最中间两个数据（数据总个数为偶数）的平均值；众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；再观察扇形统计图和条形统计图可求出九年级10名学生成绩处在“A组”的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）由样本估计总体的计算方法求解即可．
（1）解：由题意可知，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：92.5；95；
（2）解：九年级成绩较好，
理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）解： (名)，
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
21．【答案】（1）解：证明：四边形是平行四边形，∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到，然后根据垂直可得，，然后利用得到，即可得到，即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AE、AD长解题即可．
（1）（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13．
22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为.
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列方程，再求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据“月销售利润=每个头盔的利润×月销售量”列出方程，再求解即可.
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
23．【答案】（1）解：，，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程，再根据“邻根方程”的概念对根进行判断即可；
（2）同（1）求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的概念列关于m的方程并求解即可；
（3）先利用根与系数的关系结合“邻根方程”的概念可得，再由已知可得，再利用偶次方的非负性求出其最大值即可.
（1）解：，
，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
24．【答案】（1）证明：
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）直接应用勾股定理即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可；
（3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可.
（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
1 / 1浙江省杭州市萧山区城区8校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．）
1．（2025八下·萧山期中）下列式子中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.是最简二次根式，故选项A符合题意；
B.，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C.，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故选项D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 最简二次根式需满足两点：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母.
2．（2025八下·萧山期中）下列扑克牌中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A． 绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形重合，是中心对称图形，故B符合题意；
C． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
3．（2025八下·萧山期中）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图可得：16出现的次数最多，有10次，故众数是16；
这25个数据中，13，14和15这三个数出现的总次数为2+3+4=5，16出现了10次，故第13个数是16，
∴这组数据的中位数是16；
故答案为：C．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答并判断即可．
4．（2025八下·萧山期中） 一元二次方程 配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：C.
【分析】利用配方法解此一元二次方程即可求解.
5．（2025八下·萧山期中）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故选：A．
【分析】
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数．
6．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、，
∴这组数据的的平均数为，
故选D．
【分析】根据方差的公式得到这组数据，然后根据平均数的计算公式解答即可．
7．（2025八下·萧山期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得等量关系：油菜地的面积=总面积×，可列方程：
，
即．
故答案为：D
【分析】由题意可得等量关系：油菜地的面积=总面积×，根据等量关系列方程即可.
8．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
9．（2025八下·萧山期中）已知方程甲：，方程乙；都是一元二次方程，其中，以下说法中错误的是（　　）
A．若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙没有实数根
B．若方程甲有两个相等的实数根，则方程乙也有两个相等的实数根
C．若是方程甲的解，则也是方程乙的解
D．若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则△=（2b）2-4a a＞0，
解得4b2＞4a2，
所以4a2-4b2＜0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b b=4a2-4b2＜0，
所以方程乙没有实数解，故选项A正确，不符合题意；
若方程甲有两个相等的实数解，则△=（2b）2-4a a=0，
解得4b2=4a2，
所以4a2-4b2=0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b b=4a2-4b2=0，
所以方程乙有两相等实数解，故选项B正确，不符合题意；
若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b，
则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2-2bx+b=0，
解得x1=x2=1，
所以x=1也是方程乙的解，故选项C正确，不符合题意；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
①-②得（a-b）n2-2（a-b）n+（a-b）=0，
∵a≠b，
∴n2-2n+1=0，
解得n1=n2=1，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意可判断A、B选项；根据方程根的定义将x=1代入甲方程求出a=-b，再将a=-b代入乙方程求解即可判断C选项；根据方程根的定义可得，解方程组求得n1=n2=1，可对D进行判断．
10．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·萧山期中）已知二次根式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≧-2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：有意义
则2+x≥0，
解得：x≥-2．
故答案为：x≥-2.
【分析】直接利用二次根式的定义，得出2+x≥0，进而得出答案．
12．（2025八下·萧山期中）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是　 　.
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每个外角都等于72°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷72°=5，
∴这个多边形的边数为5.
故答案为：5.
【分析】根据多边形的外角和等于360°，且每个外角都等于72°，即可求得多边形的边数为360°÷72°=5，即可求解.
13．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为　 　.
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
14．（2025八下·萧山期中）如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式2m2-4m+3的值为　 　.
【答案】15
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∵m是方程x2-2x-6=0的一个根，
∴m2-2m-6=0，
∴m2-2m=6．
∴2m2-4m+3=2（m2-2m）+3=2×6+3=15
故答案为：15.
【分析】 将x=m代入已知方程得到m2-2m=6，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
15．（2025八下·萧山期中）用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应假设三角形外角中　 　.
【答案】最多有一个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：
用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，
应假设：三角形三个外角中最多有一个钝角．
故答案为：最多（至多）有一个钝角.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立 .
16．（2025八下·萧山期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为 　 　．
（2）如图2，连接，若，则的长为　 　．
【答案】；4
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）过点D作，交的延长线于点H，如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，如图2，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∴设，则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，．
由（1）知：，
∴，
在中，，
由折叠得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】
（1）由于已知，则可过点D作BC的垂线交BC的延长线于点H，由利用轴对称结合平行四边形的性质可证明，由等边对等角可得DE＝DA＝10，再利用含角的直角三角形的性质求得线段，再利用勾股定理求得，进而求得，则；
（2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，利用平行四边形的判定与性质得到，设，再由矩形的判定与性质可得，再参照（1）的方法求解即可．
三、解答题（本大题共8个大题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·萧山期中）计算.
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）需要计算涉及二次根式的除法和减法运算，可以先将二次根式进行化简，再进行合并计算；
（2）需要应用完全平方公式和平方差公式，通过合并同类项来简化表达式.
18．（2025八下·萧山期中）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，。
（2）解：
移项得，
提取公因式得，
则或，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）先移项，再提公因式求解即可.
（1）解：
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，。
（2）解：
移项得，
提取公因式得，
则或，
解得，．
19．（2025八下·萧山期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上．请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的．
（1）在图1中画一个面积为6的 ．
（2）在图2中画一个有一条对角线长等于的．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：一条对角线长等于的如图所示：
【知识点】平行四边形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应角的关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）分别取格点C、D，则有AD与BC平行且相等，又BC＝3，BC上的高为2，则即为所求作；
（2）分别取格点C、D，由一线三垂直全等模型可得，且，则即为所求作．
（1）解：如图所示：
（2）解：一条对角线长等于的如图所示：
20．（2025八下·萧山期中）某校开展了安全知识竞赛，所有同学得分都不低于80分，现从该校八、九年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用（分）表示，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息：
八年级抽取的学生C等级的成绩为：92，92，93，94
九年级抽取的学生D等级的成绩为：95，95，95，97，100
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表：
年级 平均分 中位数 众数 方差
八年级 92 92 23.4
九年级 92 94 29.8
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：_____，_____，并补全九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（2）根据以上数据，请判断哪个年级的同学竞赛成绩更好，并说明理由（一条即可）；
（3）规定成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知该校八年级共有1200人参加知识竞赛，请计算该校八年级约有多少名同学被评为优秀？
【答案】（1）92.5，95，
补全条形统计图如下：
（2）解：九年级成绩较好，
理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）解： (名)，
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【觞答】
（1）
解：由题意可知，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：92.5；95；
【分析】
（1）中位数是指对一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间一个（数据总个数为奇数）或最中间两个数据（数据总个数为偶数）的平均值；众数指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个；再观察扇形统计图和条形统计图可求出九年级10名学生成绩处在“A组”的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）由样本估计总体的计算方法求解即可．
（1）解：由题意可知，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是，因此中位数是；
九年级10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即，
九年级10名学生成绩处在“A组”的有 (人)，
补全频数分布直方图如图：
故答案为：92.5；95；
（2）解：九年级成绩较好，
理由：九年级学生成绩的中位数、众数都比八年级的高；
（3）解： (名)，
故该校八年级约有360名同学被评为优秀．
21．（2025八下·萧山期中）如图，在中，于点，于点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：证明：四边形是平行四边形，∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可以得到，然后根据垂直可得，，然后利用得到，即可得到，即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AE、AD长解题即可．
（1）（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13．
22．（2025八下·萧山期中）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为.
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列方程，再求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据“月销售利润=每个头盔的利润×月销售量”列出方程，再求解即可.
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
23．（2025八下·萧山期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；
（3）若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
【答案】（1）解：，，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程，再根据“邻根方程”的概念对根进行判断即可；
（2）同（1）求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的概念列关于m的方程并求解即可；
（3）先利用根与系数的关系结合“邻根方程”的概念可得，再由已知可得，再利用偶次方的非负性求出其最大值即可.
（1）解：，
，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
24．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
【答案】（1）证明：
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）直接应用勾股定理即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可；
（3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可.
（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
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，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
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，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
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四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
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