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湖南省永州市蓝山县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2025七下·蓝山期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A选项分析：表达式和不是同类项，不能直接合并运算，因此原选项计算错误，不符合题意。
B选项验证：计算时，正确结果应为，但原选项给出错误结果，不符合题意。
C选项检验：同底数幂相乘的正确结果应为，原选项计算错误，不符合题意。
D选项确认：幂的乘方运算得到的结果是正确的，符合题意。
综上所述，正确答案选择D。
【分析】本题主要考查整式的运算规则，重点包含：同底数幂的乘法法则；积的乘方运算规则；幂的乘方运算性质同类项的合并原则需要根据这些运算法则对每个选项进行逐一验证判断。
2．（2025七下·蓝山期中）若，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，∴，故不符合题意；
B．∵，∴，故不符合题意；
C．∵，∴，∴，故符合题意；
D．∵，∴，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质对每个选项一一判断即可。
3．（2025七下·蓝山期中）下列说法正确的是（　　）
A．的算术平方根是7 B．8的立方根是
C．4的平方根是 D．9的平方根是3
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、8的立方根是2，原说法错误，不符合题意；
C、4的平方根是，原说法正确，符合题意；
D、9的平方根是，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可．解题关键在于：（1）算术平方根是非负数的平方根中非负的那个，（2）平方根的定义是“若，则是a的平方根”，因此正数的平方根有两个，互为相反数，（3）立方根的符号与原数相同，且唯一.
4．（2025七下·蓝山期中）不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解不等式x﹣3≤3x+1，
移项，得：x-3x≤1+3，
合并同类项，得：-2x≤4，
系数化为1，得：x≥﹣2，
∴在数轴上表示为：
．
故选B．
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1求出x的取值范围，然后在数轴上表示解答即可.
5．（2025七下·蓝山期中）下列各式中，计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A选项的展开式正确：，不符合题意要求。
B选项的平方差公式应用正确：，不符合题意要求。
C选项的完全平方公式展开正确：，不符合题意要求。
D选项的展开结果应为：，原计算有误，符合题意要求。
因此正确答案是D。
【分析】本题主要考查多项式乘法运算，需要熟练掌握乘法公式（平方差公式、完全平方公式）以及多项式乘法的展开规则。
6．（2025七下·蓝山期中）若，则的值为（　　）
A． B．5 C．15 D．25
【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴
故答案为：A．
【分析】运用非负数的性质和立方根求得，再代入求解即可．
7．（2025七下·蓝山期中）下列说法正确的是（　　）
A．无理数都是带有根号的数．
B．数轴上的点与有理数一一对应．
C．实数分为有理数、零、无理数
D．，都是无理数．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；实数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】选项A：无理数并不一定都带有根号，例如圆周率就是无理数但不含根号。因此原说法错误，不符合题意。
选项B：数轴上的每个点对应唯一实数，反之亦然（一一对应）。原说法错误，不符合题意。
选项C：实数可分为有理数和无理数两大类。原说法错误，不符合题意。
选项D：和均属于无理数。原说法正确，符合题意。
综上所述，正确答案为 D。
【分析】本题综合考查实数的分类、无理数的定义及实数与数轴的关系。通过逐一分析选项，明确：
1. 无理数的表现形式多样（如π、等）；
2. 实数与数轴点的一一对应性；
3. 实数的正确分类（有理数/无理数）。
8．（2025七下·蓝山期中）已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式组：
由第一个不等式得：
由第二个不等式得：
因此不等式组的解集为：
根据题意，解集为：
得到方程组：
解得：
最终结果：
正确答案：A
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法以及二元一次方程组的解法。首先分别解两个不等式，然
后根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解）求出解集。题目给出了不等式组的解集，据此可以求出答案。
9．（2025七下·蓝山期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据数轴所示，可以得出。
由此可得。
因此，原式化简过程如下：
故正确答案为：A。
【分析】本题考查数轴上实数的大小比较及代数式化简运算。通过数轴确定a为负数、b为正数，从而得出a-b为负数。化简时需注意：负数的平方根取相反数，负数的绝对值也取相反数。
10．（2025七下·蓝山期中）如图：有，，三类卡片，分别是边长为的正方形，长为，宽为的长方形，边长为的正方形，现有4张卡片，6张卡片，9张卡片，取其中的若干张卡片拼成无缝隙不重叠的正方形或长方形，下列说法不正确的是（　　）
A．可拼成边长为的正方形．
B．可拼成长、宽分别为，的长方形．
C．可拼成长、宽分别为，的长方形．
D．可拼成面积为的正方形．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A、，需要1张A卡片，6张B卡片，9张C卡片，该选项正确，不符合题意；
B、，需要2张A卡片，7张B卡片，3张C卡片，但题目中只有6张B卡片，因此该说法错误，符合题意；
C、，需要1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片，该选项正确，不符合题意；
D、，需要4张A卡片，4张B卡片，1张C卡片，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查多项式乘法与几何图形面积的关系，以及完全平方公式的应用。通过计算各选项的面积表达式，并与给定的卡片数量进行对比，可以判断选项B的说法是错误的。
11．（2025七下·蓝山期中）实数 的相反数是　 　.
【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，
可得 的相反数是 .
故答案为： .
【分析】根据只有符号不同的两个数为互为相反数进行解答.
12．（2025七下·蓝山期中）已知：的值为　 　．
【答案】10
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：已知，，根据同底数幂乘法法则：，代入得：。
故答案为：。
【分析】本题运用同底数幂相乘的运算性质，将指数相加后直接相乘得到结果。
13．（2025七下·蓝山期中）代数式 与 的差不大于2，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意得
将不等式变形，得
3(3x 5) 7(x+4)≤42，
整理，得2x≤85
解得 .
即 的取值范围是
故答案为：
【分析】根据两个不等式的差不大于2，即可得到两个不等式的差≤2，求出x的取值范围即可。
14．（2025七下·蓝山期中）计算： 　 　
【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
=
=
=1
故答案为：1
【分析】根据题意将原式变形为，结合平方差公式即可求出答案.
15．（2025七下·蓝山期中）多项式展开后不含x的一次项，则m的值为　 　．
【答案】6
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵多项式 展开后不含x的一次项，
∴，
解得：m=6，
故答案是：6．
【分析】将多项式 展开整理，根据多项式展开后不含x的一次项可得 ，解之即可。
16．（2025七下·蓝山期中）小明从家坐公交车上学，每天准时上车，全程6400米，到校，某天小明照常出发，但因交通事故导致交通堵塞，从到，公交车都未能前行，小明决定下车骑共享单车去学校，小明骑车的平均速度至少为　 　米/分钟，才能保证在之前到校．
【答案】240
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据题意，公交车的速度是（米/分钟），
设小明骑车速度是x米/分钟，
根据题意可得，
解得．
故答案为：240.
【分析】设小明骑车速度是x米/分钟，根据题意列不等式求出x的取值范围即可．
17．（2025七下·蓝山期中）利用计算器求得，，，则　 　．
【答案】324.6
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
根据立方根的性质，当被开方数的小数点向右移动3位（即乘以1000）时，立方根的小数点相应向右移动1位（即乘以10）。
∴对于，相当于34.2×106，其立方根为3.246×102=324.6
最终答案为：324.6
【分析】本题主要考查立方根的运算规律。关键在于理解被开方数与立方根的小数点移动关系：被开方数扩大1000倍，立方根相应扩大10倍。通过34.2的立方根推算34200000的立方根，正是应用了这一性质。
18．（2025七下·蓝山期中）已知，，，，计算的结果的个位数字是　 　．
【答案】0
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
；
∵，个位数字是3；
，个位数字是9；
，个位数字是7；
，个位数字是1；
，个位数字是3；

可以发现，3的幂次方的个位数字是以3，9，7，1这4个数依次循环，
∵，
∴的个位数字是1，
∴的个位数字0，
故答案为：0．
【分析】本题考查平方差公式的应用。首先将数字2表示为，然后将原式变形为连续应用平方差公式的形式：
最终化简得到。
通过观察3的幂次方的个位数字规律（3，9，7，1循环），计算出的个位数字为1，因此的个位数字是0。
19．（2025七下·蓝山期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查整式的运算和实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键。
（1）先计算积的乘方和幂的乘方运算，再进行单项式与单项式的乘法运算；
（2）先化简各项，然后进行加减运算。
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025七下·蓝山期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
当，时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算和化简求值，掌握相关运算法则是解题关键。首先运用完全平方公式和平方差公式对原式进行展开化简，然后合并同类项得到最简结果，最后将给定的和值代入计算求值。
21．（2025七下·蓝山期中）解不等式组，并求出所有整数解．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其整数解的求解方法。解题步骤如下：1. 分别求出每个不等式的解集
2. 根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）确定不等式组的解集
3. 在解集范围内找出所有整数解
注意事项：在确定不等式组解集时，需要准确把握各不等式解集之间的关系，合理运用解集确定原则。对于整数解的选取，要特别注意解集的边界值是否包含在内。
22．（2025七下·蓝山期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
（1）这个多项式是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
【答案】（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
【知识点】单项式乘多项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解析】本题考查整式的混合运算，主要包括单项式与多项式的乘法运算、去括号法则以及合并同类项等内容。掌握整式乘法和加减法的运算法则是解决此类问题的关键。
（1）根据题目要求，先列出相应的代数表达式，然后运用去括号法则和合并同类项的方法进行计算，最终得出答案；
（2）按照题意列出表达式后，使用单项式乘以多项式的运算法则进行展开，再通过合并同类项简化表达式，从而得到最终结果。
（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
23．（2025七下·蓝山期中）已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分，
（1）求，，的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：由题意得，，，解得，，
∵是的整数部分，，
，
，，；
（2）解：，，，
，
的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】1.首先利用算术平方根和立方根的定义确定和的值，然后通过夹逼法估算出的值。2.计算表达式的值，最后根据平方根的定义求解。
本题主要考查算术平方根、立方根和平方根的概念，以及无理数的估算方法。掌握这些基本概念和估算技巧是解题的关键。
（1）解：由题意得，，，
解得，，
∵是的整数部分，，
，
，，；
（2）解：，，，
，
的平方根是．
24．（2025七下·蓝山期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元．
（1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？
【答案】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，
依题意，得：，
解得：；
答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元．
（2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，
依题意，得：解得：
是整数，
，
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商家有3种进货方案，
方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；
方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；
方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键在于正确列出方程组和不等式组：
（1）设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元。根据题意可得两个条件：①4个A种娃娃和5个B种娃娃的进货费用相同；②A种娃娃的进价比B种娃娃多2元。由此可列出方程组求解；
（2）设购进A种娃娃的数量为个，则B种娃娃的数量为个。根据题目要求需要满足两个约束条件：①总进货资金不超过1704元；②B种娃娃数量不超过A种娃娃数量的3倍。通过建立不等式组可以求出整数解。
（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，
依题意，得：，
解得：；
答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元．
（2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，
依题意，得：解得：
是整数，
，
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商家有3种进货方案，
方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；
方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；
方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个．
25．（2025七下·蓝山期中）几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题．
（1）【观察】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：_____．
（2）【应用】若，，求的值．
（3）【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是100，设，．
①填空：_____，_____；
②求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，∴
∴

（3）解：①∵长方形的面积是100，，．∴，
∵，且，，
∴，
∴，
故答案为：100，5；
②四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形
阴影部分是边长为的正方形
，
图3中阴影部分的面积是425．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：（1）根据题意，由图②可知，大正方形的面积为，阴影部分的面积为，四个长方形的面积为，∴，
故答案为：

【分析】本题主要考查完全平方公式及其变形的应用，掌握完全平方公式是解题关键。大正方形面积可表示为，阴影部分面积为，四个长方形总面积为，根据面积关系可建立等式利用公式变形，代入已知条件和即可求解；①由长方形EFGD面积为100可得值，根据图形关系得到，从而求出；②先表示阴影部分面积，再运用第一问的结论即可得到答案。
（1）解：根据题意，由图②可知，大正方形的面积为，阴影部分的面积为，四个长方形的面积为，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴
∴
（3）解：①∵长方形的面积是100，，．
∴，
∵，且，，
∴，
∴，
故答案为：100，5；
②四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形
阴影部分是边长为的正方形
，
图3中阴影部分的面积是425．
26．（2025七下·蓝山期中）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”．
（1）已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号）
（2）若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值．
（3）若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）③
（2）解方程组得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
为整数，
∴为14或15；
（3）．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）求解方程 得：。分析各不等式解集：
- 不等式①的解为，故方程解 不满足①的"梦想解"条件；
- 不等式②的解为，方程解 不满足严格小于关系；
- 不等式③的解为，方程解 满足该条件。
综上，方程 的解是不等式③的"梦想解"。
（3）解方程组
得：
均为正数，
解得：
将代入
解得：
综上的取值范围为．
【分析】本题综合考查一元一次方程与不等式的解法，解题关键在于：
1. 准确求解方程和不等式；
2. 理解"梦想解"的定义——方程解必须严格满足不等式条件。
（2）解题思路：先求方程组解，再解不等式组，根据"梦想解"定义建立关于 的不等式组求解。
（3）解题步骤：
3.解方程组得；
代入不等式 验证；
根据"梦想解"定义确定参数关系。
（1）解方程，得：，
解①得：，故方程解不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程解不是②“梦想解”；
解③得：，故方程解是③的“梦想解”；
即方程的解是不等式③的“梦想解”；
（2）解方程组
得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
为整数，
∴为14或15；
（3）解方程组
得：
均为正数，
解得：
将代入
解得：
综上的取值范围为．
1 / 1湖南省永州市蓝山县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2025七下·蓝山期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·蓝山期中）若，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·蓝山期中）下列说法正确的是（　　）
A．的算术平方根是7 B．8的立方根是
C．4的平方根是 D．9的平方根是3
4．（2025七下·蓝山期中）不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2025七下·蓝山期中）下列各式中，计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·蓝山期中）若，则的值为（　　）
A． B．5 C．15 D．25
7．（2025七下·蓝山期中）下列说法正确的是（　　）
A．无理数都是带有根号的数．
B．数轴上的点与有理数一一对应．
C．实数分为有理数、零、无理数
D．，都是无理数．
8．（2025七下·蓝山期中）已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（　　）
A． B． C． D．2
9．（2025七下·蓝山期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（　　）
A．0 B． C． D．
10．（2025七下·蓝山期中）如图：有，，三类卡片，分别是边长为的正方形，长为，宽为的长方形，边长为的正方形，现有4张卡片，6张卡片，9张卡片，取其中的若干张卡片拼成无缝隙不重叠的正方形或长方形，下列说法不正确的是（　　）
A．可拼成边长为的正方形．
B．可拼成长、宽分别为，的长方形．
C．可拼成长、宽分别为，的长方形．
D．可拼成面积为的正方形．
11．（2025七下·蓝山期中）实数 的相反数是　 　.
12．（2025七下·蓝山期中）已知：的值为　 　．
13．（2025七下·蓝山期中）代数式 与 的差不大于2，则x的取值范围是　 　.
14．（2025七下·蓝山期中）计算： 　 　
15．（2025七下·蓝山期中）多项式展开后不含x的一次项，则m的值为　 　．
16．（2025七下·蓝山期中）小明从家坐公交车上学，每天准时上车，全程6400米，到校，某天小明照常出发，但因交通事故导致交通堵塞，从到，公交车都未能前行，小明决定下车骑共享单车去学校，小明骑车的平均速度至少为　 　米/分钟，才能保证在之前到校．
17．（2025七下·蓝山期中）利用计算器求得，，，则　 　．
18．（2025七下·蓝山期中）已知，，，，计算的结果的个位数字是　 　．
19．（2025七下·蓝山期中）计算：
（1）
（2）
20．（2025七下·蓝山期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（2025七下·蓝山期中）解不等式组，并求出所有整数解．
22．（2025七下·蓝山期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．
（1）这个多项式是多少？
（2）正确的计算结果是多少？
23．（2025七下·蓝山期中）已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分，
（1）求，，的值．
（2）求的平方根．
24．（2025七下·蓝山期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元．
（1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？
25．（2025七下·蓝山期中）几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题．
（1）【观察】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：_____．
（2）【应用】若，，求的值．
（3）【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是100，设，．
①填空：_____，_____；
②求图3中阴影部分的面积．
26．（2025七下·蓝山期中）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”．
（1）已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号）
（2）若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值．
（3）若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A选项分析：表达式和不是同类项，不能直接合并运算，因此原选项计算错误，不符合题意。
B选项验证：计算时，正确结果应为，但原选项给出错误结果，不符合题意。
C选项检验：同底数幂相乘的正确结果应为，原选项计算错误，不符合题意。
D选项确认：幂的乘方运算得到的结果是正确的，符合题意。
综上所述，正确答案选择D。
【分析】本题主要考查整式的运算规则，重点包含：同底数幂的乘法法则；积的乘方运算规则；幂的乘方运算性质同类项的合并原则需要根据这些运算法则对每个选项进行逐一验证判断。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，∴，故不符合题意；
B．∵，∴，故不符合题意；
C．∵，∴，∴，故符合题意；
D．∵，∴，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用不等式的性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、8的立方根是2，原说法错误，不符合题意；
C、4的平方根是，原说法正确，符合题意；
D、9的平方根是，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可．解题关键在于：（1）算术平方根是非负数的平方根中非负的那个，（2）平方根的定义是“若，则是a的平方根”，因此正数的平方根有两个，互为相反数，（3）立方根的符号与原数相同，且唯一.
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解不等式x﹣3≤3x+1，
移项，得：x-3x≤1+3，
合并同类项，得：-2x≤4，
系数化为1，得：x≥﹣2，
∴在数轴上表示为：
．
故选B．
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1求出x的取值范围，然后在数轴上表示解答即可.
5．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】A选项的展开式正确：，不符合题意要求。
B选项的平方差公式应用正确：，不符合题意要求。
C选项的完全平方公式展开正确：，不符合题意要求。
D选项的展开结果应为：，原计算有误，符合题意要求。
因此正确答案是D。
【分析】本题主要考查多项式乘法运算，需要熟练掌握乘法公式（平方差公式、完全平方公式）以及多项式乘法的展开规则。
6．【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴
故答案为：A．
【分析】运用非负数的性质和立方根求得，再代入求解即可．
7．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；实数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】选项A：无理数并不一定都带有根号，例如圆周率就是无理数但不含根号。因此原说法错误，不符合题意。
选项B：数轴上的每个点对应唯一实数，反之亦然（一一对应）。原说法错误，不符合题意。
选项C：实数可分为有理数和无理数两大类。原说法错误，不符合题意。
选项D：和均属于无理数。原说法正确，符合题意。
综上所述，正确答案为 D。
【分析】本题综合考查实数的分类、无理数的定义及实数与数轴的关系。通过逐一分析选项，明确：
1. 无理数的表现形式多样（如π、等）；
2. 实数与数轴点的一一对应性；
3. 实数的正确分类（有理数/无理数）。
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式组：
由第一个不等式得：
由第二个不等式得：
因此不等式组的解集为：
根据题意，解集为：
得到方程组：
解得：
最终结果：
正确答案：A
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法以及二元一次方程组的解法。首先分别解两个不等式，然
后根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解）求出解集。题目给出了不等式组的解集，据此可以求出答案。
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据数轴所示，可以得出。
由此可得。
因此，原式化简过程如下：
故正确答案为：A。
【分析】本题考查数轴上实数的大小比较及代数式化简运算。通过数轴确定a为负数、b为正数，从而得出a-b为负数。化简时需注意：负数的平方根取相反数，负数的绝对值也取相反数。
10．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A、，需要1张A卡片，6张B卡片，9张C卡片，该选项正确，不符合题意；
B、，需要2张A卡片，7张B卡片，3张C卡片，但题目中只有6张B卡片，因此该说法错误，符合题意；
C、，需要1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片，该选项正确，不符合题意；
D、，需要4张A卡片，4张B卡片，1张C卡片，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查多项式乘法与几何图形面积的关系，以及完全平方公式的应用。通过计算各选项的面积表达式，并与给定的卡片数量进行对比，可以判断选项B的说法是错误的。
11．【答案】
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数的定义，
可得 的相反数是 .
故答案为： .
【分析】根据只有符号不同的两个数为互为相反数进行解答.
12．【答案】10
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：已知，，根据同底数幂乘法法则：，代入得：。
故答案为：。
【分析】本题运用同底数幂相乘的运算性质，将指数相加后直接相乘得到结果。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】由题意得
将不等式变形，得
3(3x 5) 7(x+4)≤42，
整理，得2x≤85
解得 .
即 的取值范围是
故答案为：
【分析】根据两个不等式的差不大于2，即可得到两个不等式的差≤2，求出x的取值范围即可。
14．【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
=
=
=1
故答案为：1
【分析】根据题意将原式变形为，结合平方差公式即可求出答案.
15．【答案】6
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵多项式 展开后不含x的一次项，
∴，
解得：m=6，
故答案是：6．
【分析】将多项式 展开整理，根据多项式展开后不含x的一次项可得 ，解之即可。
16．【答案】240
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据题意，公交车的速度是（米/分钟），
设小明骑车速度是x米/分钟，
根据题意可得，
解得．
故答案为：240.
【分析】设小明骑车速度是x米/分钟，根据题意列不等式求出x的取值范围即可．
17．【答案】324.6
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
根据立方根的性质，当被开方数的小数点向右移动3位（即乘以1000）时，立方根的小数点相应向右移动1位（即乘以10）。
∴对于，相当于34.2×106，其立方根为3.246×102=324.6
最终答案为：324.6
【分析】本题主要考查立方根的运算规律。关键在于理解被开方数与立方根的小数点移动关系：被开方数扩大1000倍，立方根相应扩大10倍。通过34.2的立方根推算34200000的立方根，正是应用了这一性质。
18．【答案】0
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
；
∵，个位数字是3；
，个位数字是9；
，个位数字是7；
，个位数字是1；
，个位数字是3；

可以发现，3的幂次方的个位数字是以3，9，7，1这4个数依次循环，
∵，
∴的个位数字是1，
∴的个位数字0，
故答案为：0．
【分析】本题考查平方差公式的应用。首先将数字2表示为，然后将原式变形为连续应用平方差公式的形式：
最终化简得到。
通过观察3的幂次方的个位数字规律（3，9，7，1循环），计算出的个位数字为1，因此的个位数字是0。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题主要考查整式的运算和实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键。
（1）先计算积的乘方和幂的乘方运算，再进行单项式与单项式的乘法运算；
（2）先化简各项，然后进行加减运算。
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：原式
当，时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算和化简求值，掌握相关运算法则是解题关键。首先运用完全平方公式和平方差公式对原式进行展开化简，然后合并同类项得到最简结果，最后将给定的和值代入计算求值。
21．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其整数解的求解方法。解题步骤如下：1. 分别求出每个不等式的解集
2. 根据不等式组解集的确定原则（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解）确定不等式组的解集
3. 在解集范围内找出所有整数解
注意事项：在确定不等式组解集时，需要准确把握各不等式解集之间的关系，合理运用解集确定原则。对于整数解的选取，要特别注意解集的边界值是否包含在内。
22．【答案】（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
【知识点】单项式乘多项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解析】本题考查整式的混合运算，主要包括单项式与多项式的乘法运算、去括号法则以及合并同类项等内容。掌握整式乘法和加减法的运算法则是解决此类问题的关键。
（1）根据题目要求，先列出相应的代数表达式，然后运用去括号法则和合并同类项的方法进行计算，最终得出答案；
（2）按照题意列出表达式后，使用单项式乘以多项式的运算法则进行展开，再通过合并同类项简化表达式，从而得到最终结果。
（1）解：根据题意可得，
；
（2）解：正确的计算结果为：
．
23．【答案】（1）解：由题意得，，，解得，，
∵是的整数部分，，
，
，，；
（2）解：，，，
，
的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】1.首先利用算术平方根和立方根的定义确定和的值，然后通过夹逼法估算出的值。2.计算表达式的值，最后根据平方根的定义求解。
本题主要考查算术平方根、立方根和平方根的概念，以及无理数的估算方法。掌握这些基本概念和估算技巧是解题的关键。
（1）解：由题意得，，，
解得，，
∵是的整数部分，，
，
，，；
（2）解：，，，
，
的平方根是．
24．【答案】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，
依题意，得：，
解得：；
答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元．
（2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，
依题意，得：解得：
是整数，
，
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商家有3种进货方案，
方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；
方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；
方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键在于正确列出方程组和不等式组：
（1）设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元。根据题意可得两个条件：①4个A种娃娃和5个B种娃娃的进货费用相同；②A种娃娃的进价比B种娃娃多2元。由此可列出方程组求解；
（2）设购进A种娃娃的数量为个，则B种娃娃的数量为个。根据题目要求需要满足两个约束条件：①总进货资金不超过1704元；②B种娃娃数量不超过A种娃娃数量的3倍。通过建立不等式组可以求出整数解。
（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，
依题意，得：，
解得：；
答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元．
（2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，
依题意，得：解得：
是整数，
，
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商家有3种进货方案，
方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；
方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；
方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个．
25．【答案】（1）
（2）解：∵，∴
∴

（3）解：①∵长方形的面积是100，，．∴，
∵，且，，
∴，
∴，
故答案为：100，5；
②四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形
阴影部分是边长为的正方形
，
图3中阴影部分的面积是425．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：（1）根据题意，由图②可知，大正方形的面积为，阴影部分的面积为，四个长方形的面积为，∴，
故答案为：

【分析】本题主要考查完全平方公式及其变形的应用，掌握完全平方公式是解题关键。大正方形面积可表示为，阴影部分面积为，四个长方形总面积为，根据面积关系可建立等式利用公式变形，代入已知条件和即可求解；①由长方形EFGD面积为100可得值，根据图形关系得到，从而求出；②先表示阴影部分面积，再运用第一问的结论即可得到答案。
（1）解：根据题意，由图②可知，大正方形的面积为，阴影部分的面积为，四个长方形的面积为，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴
∴
（3）解：①∵长方形的面积是100，，．
∴，
∵，且，，
∴，
∴，
故答案为：100，5；
②四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形
阴影部分是边长为的正方形
，
图3中阴影部分的面积是425．
26．【答案】（1）③
（2）解方程组得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
为整数，
∴为14或15；
（3）．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）求解方程 得：。分析各不等式解集：
- 不等式①的解为，故方程解 不满足①的"梦想解"条件；
- 不等式②的解为，方程解 不满足严格小于关系；
- 不等式③的解为，方程解 满足该条件。
综上，方程 的解是不等式③的"梦想解"。
（3）解方程组
得：
均为正数，
解得：
将代入
解得：
综上的取值范围为．
【分析】本题综合考查一元一次方程与不等式的解法，解题关键在于：
1. 准确求解方程和不等式；
2. 理解"梦想解"的定义——方程解必须严格满足不等式条件。
（2）解题思路：先求方程组解，再解不等式组，根据"梦想解"定义建立关于 的不等式组求解。
（3）解题步骤：
3.解方程组得；
代入不等式 验证；
根据"梦想解"定义确定参数关系。
（1）解方程，得：，
解①得：，故方程解不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程解不是②“梦想解”；
解③得：，故方程解是③的“梦想解”；
即方程的解是不等式③的“梦想解”；
（2）解方程组
得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
为整数，
∴为14或15；
（3）解方程组
得：
均为正数，
解得：
将代入
解得：
综上的取值范围为．
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