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浙江省台州市海山教育联盟2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
1．（2025九上·台州月考）下列交通标志是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025九上·台州月考）下列事件属于必然事件的是(　　)
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3．（2025九上·台州月考）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是3cm，那么它的侧面积是(　　)
A．6πcm2 B．8πcm2 C．10πcm2 D．12πcm2
4．（2025九上·台州月考） 如图， 正五边形ABCDE内接于⊙O， 连接AC， 则∠ACB为(　　)
A．36° B．54° C．72° D．108°
5．（2025九上·台州月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-5=0，配方后正确的是(　　)
A．(x-2)2=1 B．(x-2)2=4 C．(x-2)2=5 D．(x-2)2=9
6．（2025九上·台州月考）有关反比例函数 下列叙述正确的是(　　)
A．图象位于第二、四象限 B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大
7．（2025九上·台州月考）如图， ⊙A过原点O， 分别与x、y轴交于点C、D两点， 点B在⊙A上， 已知∠B=30°， ⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是(　　)
A．(1， B．( ，1) C．( ，1) D．(1，
8．（2025九上·台州月考） 对于实数a、b， 定义运算“★”： 关于x的方程(2x+1)★(2x-3)=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
9．（2025九上·台州月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E， 且BE=3EC， 若四边形ODBE的面积为3， 则k=(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025九上·台州月考）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 关于x的方程 0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3A． B． C． D．
11．（2025九上·台州月考）点 P(2，3)关于原点的对称点 P'的坐标为　 　.
12．（2025九上·台州月考）台州市2023年的人均收入为6万元，2025年的人均收入7.26万元，若设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，可以列出的方程为　 　.
13．（2025九上·台州月考）下表是某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果：
每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 44 92 463 928 1369 1866 2794
发芽的频率 0.88 0.92 0.926 0.928 0.913 0.933 0.931
根据以上数据，该种绿豆发芽的概率的估计值为　 　(结果精确到0.01).
14．（2025九上·台州月考）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式 的解集为　 　.
15．（2025九上·台州月考）小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解，当x的值分别取0，1，2，3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为　 　.
x的值 … 0 1 2 3 …
等号左边的值 … 0 4 9 15 …
等号右边的值 … 1 4 7 10 …
16．（2025九上·台州月考） 如图， 在平行四边形ABCD中， AB=6， BC=12， ∠B=60°， 点P在射线BA上运动， 以点P为圆心，BP长为半径的圆交射线BA于点Q，交BC于点E.当⊙P与平行四边形ABCD的边所在的直线相切时，半径BP的长为　 　.
17．（2025九上·台州月考） 解方程：
（1）
（2）
18．（2025九上·台州月考）如图，在正方形网格中，已知 的顶点都在格点上，根据平面直角坐标系中所给的条件解答下列问题：
（1）画出 关于原点中心对称的 并写出点. 的坐标；
（2）画出绕点C逆时针旋转 后的 并求出点B的运动路径长.
19．（2025九上·台州月考）在某一电路中，电源电压U (单位：V)保持不变，电流I(单位：A)关于电阻R (单位：Ω)的函数图象如图所示.
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）如果该电路中的电流不超过12A，那么电阻R的取值范围是多少
20．（2025九上·台州月考）现有A，B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5.这六个小球除标记的数字外，其余完全相同.
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为　 　；
（2）分别将A，B两个袋子中的小球摇匀，然后从A，B袋中各随机摸出一个小球，小强说：“摸出的这两个小球标记的数字之和为6的概率与数字之和为8的概率相同.”请利用画树状图或列表的方法，说明小强的说法是否正确
21．（2025九上·台州月考）如图，A是⊙O上一点，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上且平分半圆BC，
（1）若AB=8，求AC的长；
（2）求阴影部分的面积.
22．（2025九上·台州月考） 在中， AB=AC， 点D为平面内一点.
（1）【初步感知】如图1，当 时，点D为外一点，将绕点B顺时针旋转后得到△BCE，若D，E，C三点在一直线上，则 　 　；
（2）【类比探究】如图2，当 点D在BC上时，将 绕点A逆时针旋转 后得到 探究BD，DC与AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，已知 点 D是△ABC内部的一点，若AD+BD=9， 求DC的最小值.
23．（2025九上·台州月考）已知抛物线 (a为常数) .
（1）如果函数图象经过点(-1，0)，求函数解析式；
（2）如果函数图象经过点A(m-4，n)， B(m，n)， 求a与m的数量关系；
（3）在(2)的条件下， 函数图象还经过点C(2，p)， 且n24．（2025九上·台州月考） 如图1， 在△ABC中， BC=12， 点E是BC的中点， 过A， C， E三点的⊙O交AB于点F， ⊙O的半径为4.
（1）如图2， 连接CF， 当CF恰好是⊙O的直径时，
①求证： BF=CF；
②若∠B=n°， 求∠ACF的度数(用n的式子表示) ；
③求AC的长；
（2）如图1，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：C选项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形，
故选：C．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；故不符合题意；
B． 打开电视机，正在播放新闻联播，属于随机事件；故不符合题意；
C．随机买一张电影票，座位号奇数号，属于随机事件；故不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是，属于必然事件；故符合题意；
故选：D．
【分析】根据必然事件的概念“在一定条件下，一定能够发生的事件是必然事件”进行判断即可．
3．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径是，母线长是，
∴圆锥的侧面积，
故选：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式直接计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故选：A．
【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出即可．
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：．
【分析】先移项，根据配方法，方程两边都加上，再根据完全平方公式，即得答案.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴图象位于第一、三象限，即选项A错误，选项B正确.
∵当时，，且随增大而减小；当时，，且随增大而减小，
但选项C、D未指定“在每一象限内”，则选项C、D错误．
故选：B．
【分析】根据题意知，据此逐一判断即可．
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接CD，过A作AE⊥OC于E，
∵∠COD=90°，
∴CD是⊙O的直径，
∴CD=4，
∵∠DCO=∠B=30°，
∴OD=CD=2，OC=CD=2，
∵AE⊥OC，
∴OE=CE=OC=，AE=AC=1，
∴A（，1），
故选：B．
【分析】连接CD，过A作AE⊥OC于E，根据圆周角定理得到CD是⊙O的直径，解直角三角形得到OD=CD=2，OC=CD=2，根据垂径定理得到结论．
8．【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵， ，且，
∴，
∴，
∴方程化为，即，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故选：D．
【分析】由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：连接，
如图所示：
∵四边形是矩形，
，．
∵D、E在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值．
10．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选：C．
【分析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
11．【答案】(-2，-3)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解．
12．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设人均收入的年平均增长率为x，
依题意，得：．
故答案为：．
【分析】设人均收入的年平均增长率为x，根据温岭市2015年及2017年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程．
13．【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，由此该种绿豆发芽的概率解答即可．
14．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
∴，
观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【分析】先求得n的值，然后观察函数图象即可求解．
15．【答案】x=1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格可知，该方程的解为x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据方程的解的定义“使得方程左右两边式子的值相等的未知数的值是方程的解”解答即可．
16．【答案】6或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：由题意知，分两种情况求解：情况一、如图，设与边所在直线相切于点，连接，延长交于点，
∴，
∵，
∴，
过点A作于点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
解得；
情况二、如图，设与边所在直线相切于点，连接，
∴，
∵，
∴，
连接，取的中点，连接，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴四边形是矩形，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】由题意知，分两种情况求解：情况一、如图，设与边所在直线相切于点，连接，延长交于点，则，，过点A作于点，则，可证四边形是矩形，，根据计算求解的值即可；情况二、如图，设与边所在直线相切于点，连接，则，，连接，取的中点，连接，可证明，，可证四边形是矩形，根据计算求解的值即可．
17．【答案】（1）解：
或，
∴，；
（2）解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（）利用公式法解一元二次方程即可．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
，
则；
（2）解：如图所示，即为所求；
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴点B的运动路径长为．

【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；坐标系中的两点距离公式；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接即可画出对应的三角形；由旋转的性质可得，再由两点距离计算公式求出，最后根据弧长公式求解即可．
19．【答案】（1）解：根据题意可知图象经过
，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：∴，且，
∴，
解得，
电流不得超过，电阻R不得低于.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知图象经过，即可求出；
（2）根据，且，得，解出，即可作答．
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为6与8的结果都有2种，
，
∴小强的说法是正确的．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4，
∴从中随机摸出一个小球，摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先画出树状图得到所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式进行计算即可．
21．【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵点在上且平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵点在上且平分，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）由圆周角定理可得，又点在上且平分，所以，则，然后通过勾股定理即可求解；
（）连接，由点在上且平分，所以，则，然后通过即可求解．
22．【答案】（1）120°
（2）解：连接，
由旋转知：
则，，，，
，，
，
，
，
．
（3）解：设．将绕点A逆时针旋转后得到，连接，
，，
又，，
，，，
，，
，
当时，有．

【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转全等模型
【解析】【解答】解： ，，
是等边三角形，
，
绕点B顺时针旋转后得到，
，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
又D，E，C三点在一直线上，
，
故答案为：．
【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据旋转的性质，，，则，可证明是等边三角形，得出，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）连接，根据旋转的性质得出，，，，根据等腰三角形的性质求出，则，根据勾股定理即可得出结论；
（3）设．将绕点A逆时针旋转后得到，连接，根据旋转的性质得出，，根据全等三角形的性质可得出，，，进而求出，然后根据勾股定理可求出，最后根据二次函数的性质求解即可．
23．【答案】（1）解：把代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵图像经过，，
∴抛物线对称轴为直线：，
∴；
（3）解：把代入得，
把，代入得，，
∵，
∴，
解得．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由图像经过，，则可得抛物线对称轴为直线，从而求出与的数量关系；
（）把代入得，把，代入得，，从而可得，然后根据二次函数的性质即可求解．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
解：由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连接，如图，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∴当为直径时，有最大值，为，
∴取到最大值．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）连接，由圆周角定理得，所以，则，又，从而得，然后通过等角对等边即可求证；
通过三角形外角性质得，再由直角三角形性质即可求解；
由勾股定理得：，即有，求得即可；
（）过点作于点，连接，由勾股定理得，，所以，从而得，当为直径时，有最大值，即取到最大值．
1 / 1浙江省台州市海山教育联盟2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
1．（2025九上·台州月考）下列交通标志是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：C选项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
A、B、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形，
故选：C．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
2．（2025九上·台州月考）下列事件属于必然事件的是(　　)
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；故不符合题意；
B． 打开电视机，正在播放新闻联播，属于随机事件；故不符合题意；
C．随机买一张电影票，座位号奇数号，属于随机事件；故不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是，属于必然事件；故符合题意；
故选：D．
【分析】根据必然事件的概念“在一定条件下，一定能够发生的事件是必然事件”进行判断即可．
3．（2025九上·台州月考）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是3cm，那么它的侧面积是(　　)
A．6πcm2 B．8πcm2 C．10πcm2 D．12πcm2
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径是，母线长是，
∴圆锥的侧面积，
故选：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式直接计算即可求解.
4．（2025九上·台州月考） 如图， 正五边形ABCDE内接于⊙O， 连接AC， 则∠ACB为(　　)
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆内接正多边形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故选：A．
【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出即可．
5．（2025九上·台州月考）用配方法解一元二次方程x2-4x-5=0，配方后正确的是(　　)
A．(x-2)2=1 B．(x-2)2=4 C．(x-2)2=5 D．(x-2)2=9
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故选：．
【分析】先移项，根据配方法，方程两边都加上，再根据完全平方公式，即得答案.
6．（2025九上·台州月考）有关反比例函数 下列叙述正确的是(　　)
A．图象位于第二、四象限 B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴图象位于第一、三象限，即选项A错误，选项B正确.
∵当时，，且随增大而减小；当时，，且随增大而减小，
但选项C、D未指定“在每一象限内”，则选项C、D错误．
故选：B．
【分析】根据题意知，据此逐一判断即可．
7．（2025九上·台州月考）如图， ⊙A过原点O， 分别与x、y轴交于点C、D两点， 点B在⊙A上， 已知∠B=30°， ⊙A的半径为2，则圆心A的坐标是(　　)
A．(1， B．( ，1) C．( ，1) D．(1，
【答案】B
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接CD，过A作AE⊥OC于E，
∵∠COD=90°，
∴CD是⊙O的直径，
∴CD=4，
∵∠DCO=∠B=30°，
∴OD=CD=2，OC=CD=2，
∵AE⊥OC，
∴OE=CE=OC=，AE=AC=1，
∴A（，1），
故选：B．
【分析】连接CD，过A作AE⊥OC于E，根据圆周角定理得到CD是⊙O的直径，解直角三角形得到OD=CD=2，OC=CD=2，根据垂径定理得到结论．
8．（2025九上·台州月考） 对于实数a、b， 定义运算“★”： 关于x的方程(2x+1)★(2x-3)=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵， ，且，
∴，
∴，
∴方程化为，即，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故选：D．
【分析】由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可．
9．（2025九上·台州月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E， 且BE=3EC， 若四边形ODBE的面积为3， 则k=(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：连接，
如图所示：
∵四边形是矩形，
，．
∵D、E在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值．
10．（2025九上·台州月考）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 关于x的方程 0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选：C．
【分析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
11．（2025九上·台州月考）点 P(2，3)关于原点的对称点 P'的坐标为　 　.
【答案】(-2，-3)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解．
12．（2025九上·台州月考）台州市2023年的人均收入为6万元，2025年的人均收入7.26万元，若设人均收入的年平均增长率为x，根据题意，可以列出的方程为　 　.
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设人均收入的年平均增长率为x，
依题意，得：．
故答案为：．
【分析】设人均收入的年平均增长率为x，根据温岭市2015年及2017年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程．
13．（2025九上·台州月考）下表是某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果：
每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 44 92 463 928 1369 1866 2794
发芽的频率 0.88 0.92 0.926 0.928 0.913 0.933 0.931
根据以上数据，该种绿豆发芽的概率的估计值为　 　(结果精确到0.01).
【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，由此该种绿豆发芽的概率解答即可．
14．（2025九上·台州月考）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式 的解集为　 　.
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
∴，
观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【分析】先求得n的值，然后观察函数图象即可求解．
15．（2025九上·台州月考）小明用“试根法”探索关于x的一元二次方程的解，当x的值分别取0，1，2，3时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为　 　.
x的值 … 0 1 2 3 …
等号左边的值 … 0 4 9 15 …
等号右边的值 … 1 4 7 10 …
【答案】x=1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由表格可知，该方程的解为x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据方程的解的定义“使得方程左右两边式子的值相等的未知数的值是方程的解”解答即可．
16．（2025九上·台州月考） 如图， 在平行四边形ABCD中， AB=6， BC=12， ∠B=60°， 点P在射线BA上运动， 以点P为圆心，BP长为半径的圆交射线BA于点Q，交BC于点E.当⊙P与平行四边形ABCD的边所在的直线相切时，半径BP的长为　 　.
【答案】6或
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：由题意知，分两种情况求解：情况一、如图，设与边所在直线相切于点，连接，延长交于点，
∴，
∵，
∴，
过点A作于点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
解得；
情况二、如图，设与边所在直线相切于点，连接，
∴，
∵，
∴，
连接，取的中点，连接，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴四边形是矩形，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【分析】由题意知，分两种情况求解：情况一、如图，设与边所在直线相切于点，连接，延长交于点，则，，过点A作于点，则，可证四边形是矩形，，根据计算求解的值即可；情况二、如图，设与边所在直线相切于点，连接，则，，连接，取的中点，连接，可证明，，可证四边形是矩形，根据计算求解的值即可．
17．（2025九上·台州月考） 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或，
∴，；
（2）解：，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（）利用公式法解一元二次方程即可．
18．（2025九上·台州月考）如图，在正方形网格中，已知 的顶点都在格点上，根据平面直角坐标系中所给的条件解答下列问题：
（1）画出 关于原点中心对称的 并写出点. 的坐标；
（2）画出绕点C逆时针旋转 后的 并求出点B的运动路径长.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
，
则；
（2）解：如图所示，即为所求；
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴点B的运动路径长为．

【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转；坐标系中的两点距离公式；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接即可画出对应的三角形；由旋转的性质可得，再由两点距离计算公式求出，最后根据弧长公式求解即可．
19．（2025九上·台州月考）在某一电路中，电源电压U (单位：V)保持不变，电流I(单位：A)关于电阻R (单位：Ω)的函数图象如图所示.
（1）求I关于R的函数解析式；
（2）如果该电路中的电流不超过12A，那么电阻R的取值范围是多少
【答案】（1）解：根据题意可知图象经过
，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）解：∴，且，
∴，
解得，
电流不得超过，电阻R不得低于.
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意可知图象经过，即可求出；
（2）根据，且，得，解出，即可作答．
20．（2025九上·台州月考）现有A，B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5.这六个小球除标记的数字外，其余完全相同.
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为　 　；
（2）分别将A，B两个袋子中的小球摇匀，然后从A，B袋中各随机摸出一个小球，小强说：“摸出的这两个小球标记的数字之和为6的概率与数字之和为8的概率相同.”请利用画树状图或列表的方法，说明小强的说法是否正确
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为6与8的结果都有2种，
，
∴小强的说法是正确的．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4，
∴从中随机摸出一个小球，摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先画出树状图得到所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式进行计算即可．
21．（2025九上·台州月考）如图，A是⊙O上一点，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上且平分半圆BC，
（1）若AB=8，求AC的长；
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵点在上且平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵点在上且平分，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）由圆周角定理可得，又点在上且平分，所以，则，然后通过勾股定理即可求解；
（）连接，由点在上且平分，所以，则，然后通过即可求解．
22．（2025九上·台州月考） 在中， AB=AC， 点D为平面内一点.
（1）【初步感知】如图1，当 时，点D为外一点，将绕点B顺时针旋转后得到△BCE，若D，E，C三点在一直线上，则 　 　；
（2）【类比探究】如图2，当 点D在BC上时，将 绕点A逆时针旋转 后得到 探究BD，DC与AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，已知 点 D是△ABC内部的一点，若AD+BD=9， 求DC的最小值.
【答案】（1）120°
（2）解：连接，
由旋转知：
则，，，，
，，
，
，
，
．
（3）解：设．将绕点A逆时针旋转后得到，连接，
，，
又，，
，，，
，，
，
当时，有．

【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转全等模型
【解析】【解答】解： ，，
是等边三角形，
，
绕点B顺时针旋转后得到，
，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
又D，E，C三点在一直线上，
，
故答案为：．
【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据旋转的性质，，，则，可证明是等边三角形，得出，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）连接，根据旋转的性质得出，，，，根据等腰三角形的性质求出，则，根据勾股定理即可得出结论；
（3）设．将绕点A逆时针旋转后得到，连接，根据旋转的性质得出，，根据全等三角形的性质可得出，，，进而求出，然后根据勾股定理可求出，最后根据二次函数的性质求解即可．
23．（2025九上·台州月考）已知抛物线 (a为常数) .
（1）如果函数图象经过点(-1，0)，求函数解析式；
（2）如果函数图象经过点A(m-4，n)， B(m，n)， 求a与m的数量关系；
（3）在(2)的条件下， 函数图象还经过点C(2，p)， 且n【答案】（1）解：把代入得，
解得，
∴；
（2）解：∵图像经过，，
∴抛物线对称轴为直线：，
∴；
（3）解：把代入得，
把，代入得，，
∵，
∴，
解得．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由图像经过，，则可得抛物线对称轴为直线，从而求出与的数量关系；
（）把代入得，把，代入得，，从而可得，然后根据二次函数的性质即可求解．
24．（2025九上·台州月考） 如图1， 在△ABC中， BC=12， 点E是BC的中点， 过A， C， E三点的⊙O交AB于点F， ⊙O的半径为4.
（1）如图2， 连接CF， 当CF恰好是⊙O的直径时，
①求证： BF=CF；
②若∠B=n°， 求∠ACF的度数(用n的式子表示) ；
③求AC的长；
（2）如图1，求的最大值.
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
解：由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连接，如图，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∴当为直径时，有最大值，为，
∴取到最大值．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）连接，由圆周角定理得，所以，则，又，从而得，然后通过等角对等边即可求证；
通过三角形外角性质得，再由直角三角形性质即可求解；
由勾股定理得：，即有，求得即可；
（）过点作于点，连接，由勾股定理得，，所以，从而得，当为直径时，有最大值，即取到最大值．
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