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浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）下列各组线段，成比例线段的是 (　　)
A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm
C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3cm，4cm
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：由题可得：，，
，
选项的4条线段不是成比例线段；
把已知线段排序：，，，，
可得：，，
，
选项的4条线段不是成比例线段；
把已知线段排序：，，，，
可得：，，
，
选项的4条线段是成比例线段；
根据题意可得：，，
，
选项的4条线段不是成比例线段；
故选：．
【分析】根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可．
2．（2025九上·杭州月考）对于抛物线 下列说法正确的是(　　)
A．开口向上， 顶点坐标(-6， 4)
B．开口向上， 顶点坐标(6， 4)
C．开口向下， 顶点坐标( -6， 4)
D．开口向下，顶点坐标(6，4)
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：对于抛物线，
，开口向下，
，，顶点坐标为．
故选：D．
【分析】根据抛物线顶点式的性质，a的符号决定开口方向，时开口向下；顶点坐标为，解答即可．
3．（2025九上·杭州月考） 如图， △ABC与△DEF位似， 点O是它们的位似中心， 其中OB： OE=1： 2， 则△ABC与△DEF的面积之比是(　　)
A．1： 2 B．2： 1 C．1： 4 D．4： 1
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
，
与的相似比为．
则．
与的面积之比是．
故选：C．
【分析】位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此逐步推导．
4．（2025九上·杭州月考）一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，4个白球和3 个黄球，现从中随意摸出1个球，摸到黄球的可能性是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：总球数，黄球数，
概率，
故选：C．
【分析】摸到黄球的概率等于黄球数量与总球数的比值，据此解答即可．
5．（2025九上·杭州月考） 五边形 ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1， ∠A=∠B=120°， ∠C=90°， ∠D=100°， 则∠E1的度数为(　　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵五边形∽五边形，
∴．
∵五边形内角和为，，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解．
6．（2025九上·杭州月考） 如图， 四边形ABCD 是⊙O的内接四边形， 连接AC， 延长AB 至点E， 若∠ACD=40°， ， 则∠CBE 的度数为(　　)
A．70° B．72° C．76° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
四边形是的内接四边形，
∴
，
故选：A．
【分析】由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此可得答案．
7．（2025九上·杭州月考）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
8．（2025九上·杭州月考） 如图， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=6， AC=8， D为BC中点. 分别以C为圆心、CD 为半径，B为圆心、BD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．48-25π
【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∵为中点，
∴，
∵分别以为半径作弧，与、分别交于、两点，
∴图中阴影部分的面积
．
故选：A．
【分析】先算出，再结合图中阴影部分的面积，分别代入数值计算，即可作答．
9．（2025九上·杭州月考）如图，四边形ABCD 为菱形，E为AD 上一点，F为CB延长线上一点，EF⊥AC于点 P， 交AB于点 G， 若 则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据题意可得，，再证明等腰三角形，继而得到，再利用相似比即可得到本题答案．
10．（2025九上·杭州月考） 如图⑴所示， E为矩形ABCD的边AD上一点， 动点P， Q同时从点B出发， 点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图⑵(曲线OM为抛物线的一部分 ) ， 则下列结论： ①AD = BE = 5； ③当0④当 秒时，△ABE∽△QBP. 其中正确的结论是(　　)
A．①③ B．②③ C．①③④ D．②④
【答案】C
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，故①正确；
从到的变化是2，
，
，
在中，，
，故②错误；
过点作于点，
，
，
，
，
当时，，故③正确；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
【分析】根据图（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可．
11．（2025九上·杭州月考） 若△ABC∽△DEF， 且相似比为 ， 则△ABC和△DEF对应边上的中线比为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵，且相似比为，
∴对应边上的中线比等于相似比，即为．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的性质，对应边上的中线比等于相似比．
12．（2025九上·杭州月考） 已知线段a=9， b=4， 如果线段c是线段a， b的比例中项， 那么c=　 　．
【答案】6
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，即，
又，，
∴，
∵线段长度应为正数，即．
故答案为 ：6．
【分析】根据比例中项的定义，有，代入已知数值计算即可．
13．（2025九上·杭州月考）已知二次函数 的图象上有两点A(-2， y1)， B(0， y2)， 则y1　 　y2. (填“>”“<”或“=”号)
【答案】>
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，；
当时，．
，
，
故答案为：．
【分析】通过代入点A和点B的横坐标到二次函数中，计算对应的纵坐标值并比较．
14．（2025九上·杭州月考） 如图， 在等腰Rt△ABC中， ∠A=90°， AB=则此三角形的重心与外心之间的距离为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求，
∵等腰中，，
∴
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴，
∵I是的重心，
∴是三角形三条中线的交点，
∴，
故答案为：．
【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可．
15．（2025九上·杭州月考）如图，抛物线 与x轴相交于A (x1， 0) 、B (x2， 0) 两点， 其中： 当x=x1+2时， y　 　0 (填“>”“=”或“<”号) .
【答案】<
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，＜0＜，A（，0）、B（，0）关于对称轴对称，
∴x1与对称轴直线x=1的距离大于1，即-＞2，
∴当x=x1+2时，所对应抛物线上的点在x轴的下方，即y＜0.
故答案为＜.
【分析】先求出对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的图象的对称性知x1与对称轴直线x=1的距离大于1， 进而即可求解．
16．（2025九上·杭州月考） 如图， ⊙O 是直角△ABC的外接圆， 点D 在弦BC上， 连接AD 并延长交⊙O于点E，且BD=6， CD=2.
⑴ 若E是BC的中点， 则 　 　；
⑵ 若C 是AE的中点， 则 　 　．
【答案】1；
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，连交于点，
∵是弧的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵是弧的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
在与中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵，
∴．
在与中，
∵，，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）如图，连交于点，由垂径定理的推论可得，，由，可得，再证出，得，即可求解．
（2）由是弧的中点，可推得，再证出，利用比值可求出，利用勾股定理可得，证出，利用相似比得出，进而即可得解．
17．（2025九上·杭州月考）（1） 已知 求 的值；
（2） 计算：
【答案】（1）解：设
则a=5k， b=4k， c=6k，
．
（2）解：原式 ．
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（）设 ，则 ，，（），然后代入即可求解；
（）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可得到答案．
18．（2025九上·杭州月考）第七届世界人工智能大会(WAIC)于2025年7月26日-28日在上海举办，本次大会展区分成四大区域。小刚和小亮到人工智能大会游玩，现将正面分别写有“核心技术馆(H1)”“行业应用馆(H2)”“智能终端馆(H3)”“全域链接馆(H4)”的四张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆(区)，小刚先随机抽取一张卡片记下展馆(区)后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片.
（1）小刚抽到写有“行业应用馆(H2)”卡片的概率为 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆(H1)”卡片的概率.
【答案】（1）
（2）解：由题意列表可得：
小刚 小亮
由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆”卡片的情况有7种，
∴．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵一共有核心技术馆”“行业应用馆”“智能终端馆”“全域链接馆”四种情况，“行业应用馆”为其中一种，
∴小刚抽到写有“行业应用馆”卡片的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）利用列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可.．
19．（2025九上·杭州月考）在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，按下列要求画出格点三角形(三角形的顶点都在虚线的交点上).
（1） 在图1中， 以点C为旋转中心， 将△ABC 逆时针旋转90°， 得到△A1B1C；
（2）在图2中，画出一个与△ABC相似但不全等的△A2B2C2(只需画出一个)，求得 的面积为 ▲ ．
【答案】（1）解：即为所求，

（2）解：即为所求，
面积：2（答案不唯一）
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）由图可知，，，
，，．
．
．
．
由图可知中边上的高为1，
．
．
故答案为：2．
【分析】（1）根据旋转的性质，以点C为旋转中心，将的各顶点逆时针旋转得到对应点，从而画出旋转后的三角形；
（2）由网格特点可知，等于1，根据勾股定理可得，等于，等于，可以作一个边长为2，，的三角形，根据三边对应成比例，可得所作三角形与原三角形相似，再通过相似三角形面积比与相似比的关系求出其面积即可．
20．（2025九上·杭州月考）如图， ⊙O中， OC⊥AB于点E， 点D为⊙O上一点.
（1） 求证：
（2） 若CE=2， AB=6， 求OC 的长.
【答案】（1）证明：连接．
∵，
∴，
．
又∵和都对着，
．
（2）设，则，
∵，
．
在中，由，
得，
解得，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接．根据垂径定理得到，则，由圆周角定理得到，即可证明结论成立；
（2）设，则，由垂径定理得到．在中，由，列方程并解方程即可求出答案．
21．（2025九上·杭州月考）掷实心球是中考体育考试项目之一.如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为 当水平距离为4m时，实心球行进至最高点 5m处.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴关于的函数表达式为，即：；
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
22．（2025九上·杭州月考）如图， 在矩形ABCD 中， AB：BC=1：2， 点E在AD 上， 且ED=3AE， 连接AC、BE， 相交于点 F.
（1）求证： △ABC∽△EAB；
（2）求四边形EFCD与矩形ABCD 的面积之比.
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，点E在上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形与矩形的面积之比为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得，，由，得，因为，所以，则，推导出，即可证明两三角形形似．
（2）由，，得，可证明，因为，，所以，则，求得，则，求出，即可得到比值．
23．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
（1） 若 求证：抛物线与x轴一定有两个交点.
（2） 若 点 P (x1， y1) ， Q (x2， y2) 在抛物线上， 其中
①若y1的最小值是-2，求函数的表达式；
②若对于x1， x2， 都有y1＜y2，求m的取值范围.
【答案】（1）证明：
令
∴抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）解：①对称轴为直线x=m，
的最小值是-2，
∴当x=m时， y1=m=-2，
②当时，，
∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点，
若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于，
当时，，
当时，，
，
化简，得，
解得：或，
的取值范围为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可；
（2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；
②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可．
24．（2025九上·杭州月考）如图1， 矩形ABCD 内接于⊙O， E是上一点， 连接AE， 连接EC交AD于点G.
（1） 若EG=4， AG=5， 求AE的长；
（2）如图2， 连接BE， 交AD于点 F， EG=FG，
①求证：
②若△EFG与△EBC的面积之比为9： 49，AF=1，求⊙O的直径.
【答案】（1）解：连接AC，
∵在矩形ABCD中， ∠D=90°，
∴AC是直径， ∴∠E=90°，
在 Rt△AEG中，
（2）解：①证明： 连接AC， 与⑴ 同理可知∠AEC=∠ABC=90°，
∵EG=FG，
∴∠EFG=∠FEG，
又∵在矩形ABCD中， AD∥BC，
∴∠EFG=∠EBC，
∴∠FEG=∠EBC，
∴CE=BC，
又∵AC=AC，
∴Rt△ABC∽Rt△AEC (HL)，
②∵在矩形ABCD中，AD∥BC， AB=CD， AD=BC，
∴△EFG∽△EBC.
∵△EFG 与△EBC的面积之比为9： 49，
∴可设EG=FG=3a， BC=EC=AD=7a， 则CG=4a， AF+GD=4a，又由⑵ ①可知AE=AB，
∴AE=CD，
又∠AGE=∠CGD， ∠EAG=∠DCG，
∴△AEG≌△CDG(AAS)，
∴EG=GD=3a，
又AF=1， AF+GD=4a，
∴a=1，
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AC，得到，然后根据勾股定理解答即可；
（2）①根据得到∠EFG=∠FEG，结合得到∠EFG=∠EBC，即可得到∠FEG=∠EBC，根据等角对等边得到CE=BC，然后证明Rt△ABC∽Rt△AEC，得到AE=AB，即可得到结论；
②根据平行得到△EFG∽△EBC，即可根据面积比得到相似比，设EG=FG=3a， BC=EC=AD=7a，然后推理得到△AEG≌△CDG，即可得到EG=GD=3a，然后根据勾股定理解答即可．
1 / 1浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）下列各组线段，成比例线段的是 (　　)
A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm
C．3cm，9cm，6cm，18cm D．1cm，2cm，3cm，4cm
2．（2025九上·杭州月考）对于抛物线 下列说法正确的是(　　)
A．开口向上， 顶点坐标(-6， 4)
B．开口向上， 顶点坐标(6， 4)
C．开口向下， 顶点坐标( -6， 4)
D．开口向下，顶点坐标(6，4)
3．（2025九上·杭州月考） 如图， △ABC与△DEF位似， 点O是它们的位似中心， 其中OB： OE=1： 2， 则△ABC与△DEF的面积之比是(　　)
A．1： 2 B．2： 1 C．1： 4 D．4： 1
4．（2025九上·杭州月考）一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，4个白球和3 个黄球，现从中随意摸出1个球，摸到黄球的可能性是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025九上·杭州月考） 五边形 ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1， ∠A=∠B=120°， ∠C=90°， ∠D=100°， 则∠E1的度数为(　　)
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．（2025九上·杭州月考） 如图， 四边形ABCD 是⊙O的内接四边形， 连接AC， 延长AB 至点E， 若∠ACD=40°， ， 则∠CBE 的度数为(　　)
A．70° B．72° C．76° D．80°
7．（2025九上·杭州月考）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·杭州月考） 如图， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=6， AC=8， D为BC中点. 分别以C为圆心、CD 为半径，B为圆心、BD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．48-25π
9．（2025九上·杭州月考）如图，四边形ABCD 为菱形，E为AD 上一点，F为CB延长线上一点，EF⊥AC于点 P， 交AB于点 G， 若 则 的值为(　　)
A． B． C． D．
10．（2025九上·杭州月考） 如图⑴所示， E为矩形ABCD的边AD上一点， 动点P， Q同时从点B出发， 点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图⑵(曲线OM为抛物线的一部分 ) ， 则下列结论： ①AD = BE = 5； ③当0④当 秒时，△ABE∽△QBP. 其中正确的结论是(　　)
A．①③ B．②③ C．①③④ D．②④
11．（2025九上·杭州月考） 若△ABC∽△DEF， 且相似比为 ， 则△ABC和△DEF对应边上的中线比为　 　．
12．（2025九上·杭州月考） 已知线段a=9， b=4， 如果线段c是线段a， b的比例中项， 那么c=　 　．
13．（2025九上·杭州月考）已知二次函数 的图象上有两点A(-2， y1)， B(0， y2)， 则y1　 　y2. (填“>”“<”或“=”号)
14．（2025九上·杭州月考） 如图， 在等腰Rt△ABC中， ∠A=90°， AB=则此三角形的重心与外心之间的距离为　 　．
15．（2025九上·杭州月考）如图，抛物线 与x轴相交于A (x1， 0) 、B (x2， 0) 两点， 其中： 当x=x1+2时， y　 　0 (填“>”“=”或“<”号) .
16．（2025九上·杭州月考） 如图， ⊙O 是直角△ABC的外接圆， 点D 在弦BC上， 连接AD 并延长交⊙O于点E，且BD=6， CD=2.
⑴ 若E是BC的中点， 则 　 　；
⑵ 若C 是AE的中点， 则 　 　．
17．（2025九上·杭州月考）（1） 已知 求 的值；
（2） 计算：
18．（2025九上·杭州月考）第七届世界人工智能大会(WAIC)于2025年7月26日-28日在上海举办，本次大会展区分成四大区域。小刚和小亮到人工智能大会游玩，现将正面分别写有“核心技术馆(H1)”“行业应用馆(H2)”“智能终端馆(H3)”“全域链接馆(H4)”的四张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆(区)，小刚先随机抽取一张卡片记下展馆(区)后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片.
（1）小刚抽到写有“行业应用馆(H2)”卡片的概率为 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆(H1)”卡片的概率.
19．（2025九上·杭州月考）在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，按下列要求画出格点三角形(三角形的顶点都在虚线的交点上).
（1） 在图1中， 以点C为旋转中心， 将△ABC 逆时针旋转90°， 得到△A1B1C；
（2）在图2中，画出一个与△ABC相似但不全等的△A2B2C2(只需画出一个)，求得 的面积为 ▲ ．
20．（2025九上·杭州月考）如图， ⊙O中， OC⊥AB于点E， 点D为⊙O上一点.
（1） 求证：
（2） 若CE=2， AB=6， 求OC 的长.
21．（2025九上·杭州月考）掷实心球是中考体育考试项目之一.如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为 当水平距离为4m时，实心球行进至最高点 5m处.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.
22．（2025九上·杭州月考）如图， 在矩形ABCD 中， AB：BC=1：2， 点E在AD 上， 且ED=3AE， 连接AC、BE， 相交于点 F.
（1）求证： △ABC∽△EAB；
（2）求四边形EFCD与矩形ABCD 的面积之比.
23．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
（1） 若 求证：抛物线与x轴一定有两个交点.
（2） 若 点 P (x1， y1) ， Q (x2， y2) 在抛物线上， 其中
①若y1的最小值是-2，求函数的表达式；
②若对于x1， x2， 都有y1＜y2，求m的取值范围.
24．（2025九上·杭州月考）如图1， 矩形ABCD 内接于⊙O， E是上一点， 连接AE， 连接EC交AD于点G.
（1） 若EG=4， AG=5， 求AE的长；
（2）如图2， 连接BE， 交AD于点 F， EG=FG，
①求证：
②若△EFG与△EBC的面积之比为9： 49，AF=1，求⊙O的直径.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：由题可得：，，
，
选项的4条线段不是成比例线段；
把已知线段排序：，，，，
可得：，，
，
选项的4条线段不是成比例线段；
把已知线段排序：，，，，
可得：，，
，
选项的4条线段是成比例线段；
根据题意可得：，，
，
选项的4条线段不是成比例线段；
故选：．
【分析】根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可．
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：对于抛物线，
，开口向下，
，，顶点坐标为．
故选：D．
【分析】根据抛物线顶点式的性质，a的符号决定开口方向，时开口向下；顶点坐标为，解答即可．
3．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
，
与的相似比为．
则．
与的面积之比是．
故选：C．
【分析】位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此逐步推导．
4．【答案】C
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：总球数，黄球数，
概率，
故选：C．
【分析】摸到黄球的概率等于黄球数量与总球数的比值，据此解答即可．
5．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵五边形∽五边形，
∴．
∵五边形内角和为，，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
四边形是的内接四边形，
∴
，
故选：A．
【分析】由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此可得答案．
7．【答案】D
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∵为中点，
∴，
∵分别以为半径作弧，与、分别交于、两点，
∴图中阴影部分的面积
．
故选：A．
【分析】先算出，再结合图中阴影部分的面积，分别代入数值计算，即可作答．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据题意可得，，再证明等腰三角形，继而得到，再利用相似比即可得到本题答案．
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，故①正确；
从到的变化是2，
，
，
在中，，
，故②错误；
过点作于点，
，
，
，
，
当时，，故③正确；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
【分析】根据图（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可．
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵，且相似比为，
∴对应边上的中线比等于相似比，即为．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的性质，对应边上的中线比等于相似比．
12．【答案】6
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，即，
又，，
∴，
∵线段长度应为正数，即．
故答案为 ：6．
【分析】根据比例中项的定义，有，代入已知数值计算即可．
13．【答案】>
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，；
当时，．
，
，
故答案为：．
【分析】通过代入点A和点B的横坐标到二次函数中，计算对应的纵坐标值并比较．
14．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求，
∵等腰中，，
∴
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴，
∵I是的重心，
∴是三角形三条中线的交点，
∴，
故答案为：．
【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可．
15．【答案】<
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，＜0＜，A（，0）、B（，0）关于对称轴对称，
∴x1与对称轴直线x=1的距离大于1，即-＞2，
∴当x=x1+2时，所对应抛物线上的点在x轴的下方，即y＜0.
故答案为＜.
【分析】先求出对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的图象的对称性知x1与对称轴直线x=1的距离大于1， 进而即可求解．
16．【答案】1；
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，连交于点，
∵是弧的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵是弧的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
在与中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵，
∴．
在与中，
∵，，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）如图，连交于点，由垂径定理的推论可得，，由，可得，再证出，得，即可求解．
（2）由是弧的中点，可推得，再证出，利用比值可求出，利用勾股定理可得，证出，利用相似比得出，进而即可得解．
17．【答案】（1）解：设
则a=5k， b=4k， c=6k，
．
（2）解：原式 ．
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（）设 ，则 ，，（），然后代入即可求解；
（）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可得到答案．
18．【答案】（1）
（2）解：由题意列表可得：
小刚 小亮
由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆”卡片的情况有7种，
∴．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵一共有核心技术馆”“行业应用馆”“智能终端馆”“全域链接馆”四种情况，“行业应用馆”为其中一种，
∴小刚抽到写有“行业应用馆”卡片的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）利用列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可.．
19．【答案】（1）解：即为所求，

（2）解：即为所求，
面积：2（答案不唯一）
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）由图可知，，，
，，．
．
．
．
由图可知中边上的高为1，
．
．
故答案为：2．
【分析】（1）根据旋转的性质，以点C为旋转中心，将的各顶点逆时针旋转得到对应点，从而画出旋转后的三角形；
（2）由网格特点可知，等于1，根据勾股定理可得，等于，等于，可以作一个边长为2，，的三角形，根据三边对应成比例，可得所作三角形与原三角形相似，再通过相似三角形面积比与相似比的关系求出其面积即可．
20．【答案】（1）证明：连接．
∵，
∴，
．
又∵和都对着，
．
（2）设，则，
∵，
．
在中，由，
得，
解得，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接．根据垂径定理得到，则，由圆周角定理得到，即可证明结论成立；
（2）设，则，由垂径定理得到．在中，由，列方程并解方程即可求出答案．
21．【答案】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴关于的函数表达式为，即：；
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
22．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，点E在上，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形与矩形的面积之比为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得，，由，得，因为，所以，则，推导出，即可证明两三角形形似．
（2）由，，得，可证明，因为，，所以，则，求得，则，求出，即可得到比值．
23．【答案】（1）证明：
令
∴抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）解：①对称轴为直线x=m，
的最小值是-2，
∴当x=m时， y1=m=-2，
②当时，，
∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点，
若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于，
当时，，
当时，，
，
化简，得，
解得：或，
的取值范围为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可；
（2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；
②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可．
24．【答案】（1）解：连接AC，
∵在矩形ABCD中， ∠D=90°，
∴AC是直径， ∴∠E=90°，
在 Rt△AEG中，
（2）解：①证明： 连接AC， 与⑴ 同理可知∠AEC=∠ABC=90°，
∵EG=FG，
∴∠EFG=∠FEG，
又∵在矩形ABCD中， AD∥BC，
∴∠EFG=∠EBC，
∴∠FEG=∠EBC，
∴CE=BC，
又∵AC=AC，
∴Rt△ABC∽Rt△AEC (HL)，
②∵在矩形ABCD中，AD∥BC， AB=CD， AD=BC，
∴△EFG∽△EBC.
∵△EFG 与△EBC的面积之比为9： 49，
∴可设EG=FG=3a， BC=EC=AD=7a， 则CG=4a， AF+GD=4a，又由⑵ ①可知AE=AB，
∴AE=CD，
又∠AGE=∠CGD， ∠EAG=∠DCG，
∴△AEG≌△CDG(AAS)，
∴EG=GD=3a，
又AF=1， AF+GD=4a，
∴a=1，
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接AC，得到，然后根据勾股定理解答即可；
（2）①根据得到∠EFG=∠FEG，结合得到∠EFG=∠EBC，即可得到∠FEG=∠EBC，根据等角对等边得到CE=BC，然后证明Rt△ABC∽Rt△AEC，得到AE=AB，即可得到结论；
②根据平行得到△EFG∽△EBC，即可根据面积比得到相似比，设EG=FG=3a， BC=EC=AD=7a，然后推理得到△AEG≌△CDG，即可得到EG=GD=3a，然后根据勾股定理解答即可．
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