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湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025九下·涟源期中）2024的倒数是（　　）
A． B．2024 C． D．
2．（2025九下·涟源期中）据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达61360000000斤，将数据61360000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·涟源期中）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
4．（2025九下·涟源期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·涟源期中）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计：
节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
家庭数（户） 2 4 1 2 1
则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·涟源期中）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·涟源期中）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025九下·涟源期中）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·涟源期中）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（　　）
A． B． C．6 D．12
10．（2025九下·涟源期中）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·涟源期中）计算：　 　．
12．（2025九下·涟源期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：|m|　 　n（填“”“”或“”）
13．（2025九下·涟源期中）如图，点的坐标是，点的坐标是，将沿轴向右平移得到，若，则点的坐标为　 　．
14．（2025九下·涟源期中）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表：
品种 甲 乙 丙 丁
速率平均数 24 25 23 25
方差 7.6 15.6 6.8 4
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是　 　．
15．（2025九下·涟源期中）已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是　 　（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
16．（2025九下·涟源期中）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为　 　．
17．（2025九下·涟源期中）如图，在中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为　 　．
18．（2025九下·涟源期中）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~20题每题6分．第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2025九下·涟源期中）解方程组：．
20．（2025九下·涟源期中）先化简，再求值：，其中．
21．（2025九下·涟源期中）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
（3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
22．（2025九下·涟源期中）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
23．（2025九下·涟源期中）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
（1）求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
（2）根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
24．（2025九下·涟源期中）如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
25．（2025九下·涟源期中）【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
26．（2025九下·涟源期中）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．
（1）抛物线的表达式为_________；
（2）若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；
（3）是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2024的倒数是，
故答案为：C.
【分析】利用倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故答案为：A．
【分析】根据从前面，左面和上面看得到的几何图形判断解题即可．
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由不等式①得，，
由不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
，
故答案为：C．
【分析】求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，再在数轴上表示出来即可．
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中0.3出现4次，次数最多，
则这组数据的众数为0.3，
将这组数据按节水量从小到大排列，中位数位于第5和第6的平均值，
则这组数据的中位数为，
故答案为：A．
【分析】根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间一个数或者两个数的平均数是中位数”解题即可．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】 设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，根据题意列方程即可 ．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
，
平行四边形的周长．
，
，
故答案为：C．
【分析】
利用平行四边的性质和角平分线的定义可得，，即可得到，，再根据平行四边形的周长解题即可．
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据题意得：，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据弧长公式计算解题．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设点的坐标为，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵的面积为12，轴，
∴，即，
又∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，
故答案为：B．
【分析】设点的坐标为，利用中位线得到，即可得到，再再根据三角形的面积公式解题即可．
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
则开口向上，
则当时，随的增大而增大；
故①是正确的；
∵，
∴，
当时，，
∴抛物线经过坐标原点；
故②是正确的；
∵的对称轴为直线，
∴把代入，
得，
∵，开口向上，在取到最小值，且为，
不论为何值，；
故③是错误的；
∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根，
∴，
∴，
∴，
故④是错误的；
故答案为：A．
【分析】先求出对称轴为直线，根据开口向上，得到增减性判断①；把代入可得解析式，然后代入原点坐标检验即可判断②；根据开口向上得到抛物线在取到最小值判断③；根据增减性把和代入解析式求出t的取值范围判断④解题．
11．【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】先运算零指数幂和绝对值，然后运算减法解题即可．
12．【答案】＞
【知识点】化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
则，
故答案为：．
【分析】根据数轴上点的位置可得，然后利用绝对值的意义解题即可．
13．【答案】
【知识点】平移的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】先求出，即可得到BE长，然后根据平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”解题即可．
14．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由表格数据可知：丁品种方差小于乙品种方差（15.6），说明丁品种数据更集中稳定。
综上，丁品种同时具备较高光合作用速率和较好稳定性。
故答案为：丁．
【分析】本题考查平均数和方差的概念及应用。解题关键在于理解平均数反映数据的集中趋势，方差衡量数据的离散程度。根据题目提供的表格数据，通过比较分析即可得出答案。
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加，理由如下：
∵四边形的对角线垂直平分对角线于点，
，
，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用菱形的判定定理解题即可．
16．【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，，
∴，即，
解得：，
故答案为：或3．
【分析】利用新定义的运算法则，列一元二次方程方程求出x值解题．
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据作图得到平分，再利用，根据等角的余角相等得到，利用三角形内角和定理求出∠AEB的度数，即可求出∠AEC的度数解题即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，
，
四边形是矩形，
，
矩形中，，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】
分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，即可得到，利用相似三角形的对应边相等得到为定值，然后推理得到，在中，运用勾股定理得到，解题即可．
19．【答案】解：，
①+②得：5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①得：3+y=4，
解得：y=1，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可．
20．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分运算括号内的分式，再把除法化乘法，然后因式分解约分化简，再把x的值代入解题即可．
21．【答案】（1）解：该校此次调查共抽取的学生人数为：（名），
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
“”组八年级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：根据题意：（人），
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
（3）解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由“A组”的学生人数除以占比求出抽取学生总数数，再用“”组的学生人数占比乘以求出“”组扇形圆心角的度数，再利用总人数减去其它组七、八年级的学生人数求出C组七年级人数，补全条形统计图即可；
（2）用八年级全体学生数乘以八年级锻炼时间达到6小时及以上的学生占比解题，
（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解题即可．
（1）解：该校此次调查共抽取的学生人数为：（名），
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
“”组八年级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：根据题意：（人），
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
（3）解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，
树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为．
22．【答案】（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知可求出的长，再证明△ABC是等腰直角三角形，据此可求出BC的长.
（2）延长交的延长线于点，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可求出EF的长，设，用含的代数式表示出、，再利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
23．【答案】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
（2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，
根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，根据“两组合作完成，需12天可完成此项任务”列分式方程解答即可；
（2）设组至少增加m人，根据“两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天”列不等式求出m的最小整数解即可．
（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
（2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
24．【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
所以的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理可以得到，利用角平分线的定义即可得到再根据切线的性质得到解题即可；
（2）先根据三线合一得到，利用勾股定理求出BF长，然后利用两角对应相等得到，利用对应边成比例解题即可．
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
所以的半径为．
25．【答案】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：延长交于点，如图：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，延长交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，由（2）可知：，
∴，
∴，
综上：或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合
【解析】【分析】（1）延长交于点，利用AAS得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，进而求出，根据等腰直角三角形的性质解题即可；
（2）延长交的延长线于点，得到，即可得到，燃魂推理证明，可以得到和为等腰直角三角形然后利用勾股定理解题即可；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上，根据勾股定理和线段的和差解题即可．
26．【答案】（1）
（2）解：抛物线的表达式为，
∴．
设直线的表达式为，
将点，C的坐标代入，
得，
解得
，
∴．直线的表达式为．
设，则，
∴
∵
∴
解得或（舍去），
∴当时，，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D，∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
综上可知，当时，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵“友好值”为2，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：；
【分析】
（1）把点A的坐标代入求出的解析式，利用“友好值”的定义得到抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线的解析式，设，则，表示PQ和PM值，再根据列方程解题即可；
（3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况，把非特殊件转化为特殊角，求出直线解析式，利用联立函数关系式求交点坐标解题即可．
（1）解：把代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵“友好值”为2，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：；
（2）解：抛物线的表达式为，
∴．
设直线的表达式为，
将点，C的坐标代入，
得，
解得
，
∴．直线的表达式为．
设，则，
∴
∵
∴
解得或（舍去），
∴当时，，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
综上可知，当时，点的坐标为或
1 / 1湖南省娄底市涟源市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025九下·涟源期中）2024的倒数是（　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2024的倒数是，
故答案为：C.
【分析】利用倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）分析求解即可.
2．（2025九下·涟源期中）据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达61360000000斤，将数据61360000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
3．（2025九下·涟源期中）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故答案为：A．
【分析】根据从前面，左面和上面看得到的几何图形判断解题即可．
4．（2025九下·涟源期中）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由不等式①得，，
由不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
，
故答案为：C．
【分析】求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，再在数轴上表示出来即可．
5．（2025九下·涟源期中）某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计：
节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
家庭数（户） 2 4 1 2 1
则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中0.3出现4次，次数最多，
则这组数据的众数为0.3，
将这组数据按节水量从小到大排列，中位数位于第5和第6的平均值，
则这组数据的中位数为，
故答案为：A．
【分析】根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，居于中间一个数或者两个数的平均数是中位数”解题即可．
6．（2025九下·涟源期中）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】 设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，根据题意列方程即可 ．
7．（2025九下·涟源期中）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为18，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
，
平行四边形的周长．
，
，
故答案为：C．
【分析】
利用平行四边的性质和角平分线的定义可得，，即可得到，，再根据平行四边形的周长解题即可．
8．（2025九下·涟源期中）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据题意得：，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据弧长公式计算解题．
9．（2025九下·涟源期中）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（　　）
A． B． C．6 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设点的坐标为，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵的面积为12，轴，
∴，即，
又∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，
故答案为：B．
【分析】设点的坐标为，利用中位线得到，即可得到，再再根据三角形的面积公式解题即可．
10．（2025九下·涟源期中）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
则开口向上，
则当时，随的增大而增大；
故①是正确的；
∵，
∴，
当时，，
∴抛物线经过坐标原点；
故②是正确的；
∵的对称轴为直线，
∴把代入，
得，
∵，开口向上，在取到最小值，且为，
不论为何值，；
故③是错误的；
∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根，
∴，
∴，
∴，
故④是错误的；
故答案为：A．
【分析】先求出对称轴为直线，根据开口向上，得到增减性判断①；把代入可得解析式，然后代入原点坐标检验即可判断②；根据开口向上得到抛物线在取到最小值判断③；根据增减性把和代入解析式求出t的取值范围判断④解题．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·涟源期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】先运算零指数幂和绝对值，然后运算减法解题即可．
12．（2025九下·涟源期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：|m|　 　n（填“”“”或“”）
【答案】＞
【知识点】化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
则，
故答案为：．
【分析】根据数轴上点的位置可得，然后利用绝对值的意义解题即可．
13．（2025九下·涟源期中）如图，点的坐标是，点的坐标是，将沿轴向右平移得到，若，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】先求出，即可得到BE长，然后根据平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”解题即可．
14．（2025九下·涟源期中）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表：
品种 甲 乙 丙 丁
速率平均数 24 25 23 25
方差 7.6 15.6 6.8 4
则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是　 　．
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由表格数据可知：丁品种方差小于乙品种方差（15.6），说明丁品种数据更集中稳定。
综上，丁品种同时具备较高光合作用速率和较好稳定性。
故答案为：丁．
【分析】本题考查平均数和方差的概念及应用。解题关键在于理解平均数反映数据的集中趋势，方差衡量数据的离散程度。根据题目提供的表格数据，通过比较分析即可得出答案。
15．（2025九下·涟源期中）已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是　 　（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加，理由如下：
∵四边形的对角线垂直平分对角线于点，
，
，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用菱形的判定定理解题即可．
16．（2025九下·涟源期中）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为　 　．
【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，，
∴，即，
解得：，
故答案为：或3．
【分析】利用新定义的运算法则，列一元二次方程方程求出x值解题．
17．（2025九下·涟源期中）如图，在中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意可得平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据作图得到平分，再利用，根据等角的余角相等得到，利用三角形内角和定理求出∠AEB的度数，即可求出∠AEC的度数解题即可．
18．（2025九下·涟源期中）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，
，
四边形是矩形，
，
矩形中，，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】
分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，即可得到，利用相似三角形的对应边相等得到为定值，然后推理得到，在中，运用勾股定理得到，解题即可．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~20题每题6分．第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2025九下·涟源期中）解方程组：．
【答案】解：，
①+②得：5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①得：3+y=4，
解得：y=1，
∴方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可．
20．（2025九下·涟源期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分运算括号内的分式，再把除法化乘法，然后因式分解约分化简，再把x的值代入解题即可．
21．（2025九下·涟源期中）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
（3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
【答案】（1）解：该校此次调查共抽取的学生人数为：（名），
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
“”组八年级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：根据题意：（人），
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
（3）解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由“A组”的学生人数除以占比求出抽取学生总数数，再用“”组的学生人数占比乘以求出“”组扇形圆心角的度数，再利用总人数减去其它组七、八年级的学生人数求出C组七年级人数，补全条形统计图即可；
（2）用八年级全体学生数乘以八年级锻炼时间达到6小时及以上的学生占比解题，
（3）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解题即可．
（1）解：该校此次调查共抽取的学生人数为：（名），
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
“”组八年级的学生人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：根据题意：（人），
答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为105人；
（3）解：设七年级和八年级的2名同学分别用字甲，乙，丙，丁表示，
树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙，
∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为．
22．（2025九下·涟源期中）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．
说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：）
（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；
（2）求四门塔的高度．
【答案】（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知可求出的长，再证明△ABC是等腰直角三角形，据此可求出BC的长.
（2）延长交的延长线于点，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质可求出EF的长，设，用含的代数式表示出、，再利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（1）解：由题意可知：，
在中，，
则，
答：无人机从点B到点C处的飞行距离问；
（2）解：如图，延长交的延长线于点，
则四边形为矩形，
，
设，
则，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，即，
解得：，
答：四门塔的高度约为．
23．（2025九下·涟源期中）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务．
（1）求两组员单单独完成此项任务各需多少天；
（2）根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？
【答案】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
（2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，
根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，根据“两组合作完成，需12天可完成此项任务”列分式方程解答即可；
（2）设组至少增加m人，根据“两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天”列不等式求出m的最小整数解即可．
（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得：
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则（天）
答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天；
（2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得：
，即，
解得：，
是正整数，
m最小可取17，
答：组至少增加17人．
24．（2025九下·涟源期中）如图，为的直径，点为圆上一点，连接，过点作的切线，连接交于点，交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
所以的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理可以得到，利用角平分线的定义即可得到再根据切线的性质得到解题即可；
（2）先根据三线合一得到，利用勾股定理求出BF长，然后利用两角对应相等得到，利用对应边成比例解题即可．
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
所以的半径为．
25．（2025九下·涟源期中）【问题背景】
已知，在正方形中，为正方形的对角线，为的中点，点为射线上一个动点（不与点重合），分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，连接．
【猜想感知】
（1）如图①，当点在线段上时，判断的形状，并说明理由；
【类比探讨】
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，试探究线段之间的数量关系；
【问题解决】
（3）若，求线段的长．
【答案】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：延长交于点，如图：
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图2，延长交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段上时，由（1）可知：，是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，由（2）可知：，
∴，
∴，
综上：或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合
【解析】【分析】（1）延长交于点，利用AAS得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，进而求出，根据等腰直角三角形的性质解题即可；
（2）延长交的延长线于点，得到，即可得到，燃魂推理证明，可以得到和为等腰直角三角形然后利用勾股定理解题即可；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上，根据勾股定理和线段的和差解题即可．
26．（2025九下·涟源期中）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．
（1）抛物线的表达式为_________；
（2）若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；
（3）是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：抛物线的表达式为，
∴．
设直线的表达式为，
将点，C的坐标代入，
得，
解得
，
∴．直线的表达式为．
设，则，
∴
∵
∴
解得或（舍去），
∴当时，，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D，∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
综上可知，当时，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：把代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵“友好值”为2，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：；
【分析】
（1）把点A的坐标代入求出的解析式，利用“友好值”的定义得到抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线的解析式，设，则，表示PQ和PM值，再根据列方程解题即可；
（3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况，把非特殊件转化为特殊角，求出直线解析式，利用联立函数关系式求交点坐标解题即可．
（1）解：把代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵“友好值”为2，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：；
（2）解：抛物线的表达式为，
∴．
设直线的表达式为，
将点，C的坐标代入，
得，
解得
，
∴．直线的表达式为．
设，则，
∴
∵
∴
解得或（舍去），
∴当时，，
∴点M的坐标为，
∴；
（3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，可得，
∴直线的解析式为，
令，
解得（舍去），，
当时，，
∴；
综上可知，当时，点的坐标为或
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