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湖南省永州市第十六中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·冷水滩期中）计算 的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算即可．
2．（2025九下·冷水滩期中）在数，0，，，π，， 中，属于无理数的个数是（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意知，，∴，π是无理数，故符合要求；
故选：A．
【分析】本题主要考查无理数的概念。无理数是指无限不循环小数，解题时需要根据这个定义进行判断。根据数学定义，无限不循环小数属于无理数范畴，因此解答本题时需要依据这一关键特征进行判断分析。
3．（2025九下·冷水滩期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为，，，
故答案为：C.
【分析】将原方程移项并按降幂排列可得2x2-4x+7=0，则a、b、c的值可求解.
4．（2025九下·冷水滩期中）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】由题可知：，所以该函数是递减的。
因为：，
所以：、、。
根据递减性质，纵坐标越大对应的横坐标越小，
可得：
故选：
【分析】结合一次函数的性质：当斜率时，函数值y随着自变量x的增大而减小。利用这一性质即可比较各点横坐标的大小关系。
5．（2025九下·冷水滩期中）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：将 变形，得 ，
设 ，
将 代入 ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件设a=3k，b=4k，然后代入代数式求值.
6．（2025九下·冷水滩期中）关于字母a所表示的数，下列说法正确的是（　　）
A．a一定是正数 B．a的相反数是
C．a的倒数是 D．a的绝对值等于a
【答案】B
【知识点】用字母表示数；代数式的概念；判断两个数互为相反数；绝对值的概念与意义；实数的倒数
【解析】【解答】A. a可以表示正数、负数和0，A选项错误；
B. a的相反数是，B选项正确；
C. 0没有倒数，C选项错误；
D. 当a＜0时，a的绝对值等于-a，D选项错误。
故选：B．
【分析】根据代数式的定义、相反数的性质，绝对值的性质以及倒数的性质逐一判断即可得出正确答案。
7．（2025九下·冷水滩期中）下列各数中，不一定有平方根的是(　　)
A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1
【答案】D
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、>0，∴该数有平方根；
D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【分析】本题主要考查平方根的性质特点：正数存在两个平方根，零的平方根是其本身（0），而负数在实数范围内没有平方根。解题时需要准确判断给定实数的正负性，这是正确求解的基础。根据平方根的基本性质进行解答。
8．（2025九下·冷水滩期中）如图，绕点顺时针方向转动得，点恰好在边上，则度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针方向转动得，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】由旋转性质得出：，，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数．
9．（2025九下·冷水滩期中）已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①抛物线开口向下
∵
∴a，b异号
抛物线与轴的交点在轴的正半轴
，故①错误
②观察函数图象
当时，
，故②错误
③抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的交点为（3，0）
当时，
，故③正确
④抛物线与轴有2个交点
△，故④正确
故选：B．
【分析】
①根据开口方向判定a的符合，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口，左同右异，再判定b的符合，②由图可知：当x=-1时，y=a-b+c<0 ③当x=2时，y=4a+2b+c，点C（2，4a+2b+c）在x轴下方，因此4a+2b+c<0，④根据抛物线与x轴交点的个数，判定的符合，当抛物线与x轴有2个交点时，>0，当抛物线与x轴有1个交点时，=0，当抛物线与x轴无交点时，<0.
10．（2025九下·冷水滩期中）如图，平面直角坐标系中，以为直径的与x轴交于点C，连接交y轴交于点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AC，过点B作轴于点E，
，
∴OD=1，
在中，AB是直径，
，
，
又 OA=OC，
是等边三角形，
，
在中，DC=2OD=2，
，
，
，
在中，，
，，
点B的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点B，
，
故选：A．
【分析】本题综合考查了反比例函数与圆的几何性质。连接线段AC，过点B作垂直于x轴的直线BE，E为垂足。根据圆的几何性质，直径所对的圆周角为直角，因此∠ACB=90°。题目中给出∠A=60°。在直角三角形OCD中，可以求出OC的长度为√3。由于三角形OAC满足三边相等条件，可判定为等边三角形。进一步计算可得到OA、OC、OB的长度。在直角三角形OBE中，利用勾股定理求出EB和OE的长度，从而确定点E的坐标，最终求出k值。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·冷水滩期中）已知10个数据：0，-1，2，6，2，1，-2，3，2，3，其中2出现的频数为　 　．
【答案】3
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：10个数据：0，-1，2，6，2，1，-2，3，2，3，其中2出现的频数为：3．
故答案为：3．
【分析】本题通过考查频数的基本概念来解答问题。频数指的是某个特定数值或区间在数据集中出现的次数。掌握频数的准确定义是解决此类问题的关键。频数作为统计学中的基础概念，反映了数据分布的集中程度。
12．（2025九下·冷水滩期中）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是　 　图形．（填“轴对称”或“中心对称”）
【答案】中心对称
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形，故答案为：中心对称．
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念。中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形完全重合的图形。解题的关键在于理解并掌握中心对称图形的定义及其特性。
13．（2025九下·冷水滩期中）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别写有汉字“中考”、“加油”，转盘中写有“加油”的扇形的圆心角的度数是．分别转动转盘、，当转盘停止转动时，事件、指针都落在写有汉字“加油”的扇形区域内的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由图可得，转盘A中指针落在“加油”的概率为，转盘B中指针落在“加油”的概率为，
∴两个转盘同时落在“加油”的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查了几何概率的计算方法，解题的关键是通过图形分析准确求出各个转盘落在指定区域的概率。计算转盘A和转盘B各自落在"加油"区域的概率，将这两个概率相乘得到两个转盘同时落在"加油"区域的概率。
14．（2025九下·冷水滩期中）关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有一个根为，∴，
解得，，则方程为，
∵，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系。解题的关键在于正确运用根与系数的关系。首先将已知根代入方程，求出参数的值，然后利用根与系数的关系进行求解。
15．（2025九下·冷水滩期中）新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为 ，将 用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000102=1.02×10-7，
故答案为：1.02×10-7．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.
16．（2025九下·冷水滩期中）如图，直线，相交于点，．若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例关系式并进行计算求解。本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键在于灵活运用定理并正确对应线段关系。
17．（2025九下·冷水滩期中）如图是一个以AB为直径的半⊙O，以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E，则∠CED＝　 　．
【答案】135°
【知识点】等腰三角形的性质；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E，∴∠BOD=∠EOD=∠BOE，∠AOC=∠COE=∠AOE，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=(∠BOE+∠AOE)=
∵OC=OD=OE
∴∠OCE=∠OEC，∠ODE=∠OED
∴∠CED=∠CEO+∠DEO
=
=
=
=
=135°
故答案为：135°．
【分析】题目描述将半圆沿OC和OD折叠，使得点A与点B重合于同一点E。根据几何性质可知：1. 折叠后形成的角∠COD为90度
2. △COE和△DOE均为等腰三角形
3. 运用三角形内角和定理即可求解相关角度
18．（2025九下·冷水滩期中）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论是　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：因为函数的特征数为；
①当时，，顶点坐标是；此结论正确；
②当时，令，有，解得：，，
，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小．因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④，令，解得：或，分别代入表达式，得或，则当时，函数必经过或两个定点，此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的；
故答案为：①②④．
【分析】由m=-3，可得到a、b、c的值，即可得到函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到函数图象的顶点坐标，可对①作出判断；当时，由y=0可得到关于x的一元二次方程，解方程求出方程的两个根，即可得到抛物线与x轴的交点坐标，可求出|x2-x1|的值，利用m的取值范围据此可对②作出判断；当时，可求出抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可对③作出判断；将函数解析式转化为，设，可求出方程的解，分别代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到当时函数必经过或两个定点，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19．（2025九下·冷水滩期中）计算：．
【答案】原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后合并计算解题．
20．（2025九下·冷水滩期中）先化简，再求值： ，其中 满足 .
【答案】解：原式= ÷
= ×
= ×
=3x2+9x，
∵x2+3x－1=0，
∴x2+3x=1，
∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先计算括号内的减法，然后将除法转化为乘法，接下来，再进行约分，然后，由已知条件求得x2+3x=1，最后，将x2+3x=1整体代入即可.
21．（2025九下·冷水滩期中）受疫情影响，某地无法按原计划正常开学．在延迟开学期间该地区组织了在线教学活动．开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙、丙三个班中推荐一个作为在线教学先进班级，右表是这三个班的五项指标的考评得分表（单位：分）根据统计表中的信息解答下列问题：
班级 课程设置 课程质量 在线答疑 作业情况 学生满意度
甲班
乙班
丙班
请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的的值；
班级 平均分 众数 中位数
甲班
乙班
丙班
若学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？
【答案】解：甲班的五项指标得分由小到大重新排列为∴甲班的中位数为分
乙班的五项指标得分为而分出现次数最多，
∴乙班的众数是：分
（分)，
丙班的平均分是分；
；
甲：（分)
乙：（分）
丙：（分）
推荐丙班级为网上教学先进班级
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】本题重点考查数据集中趋势的统计指标分析，需要准确理解各统计量的定义并正确计算其数值。掌握这些统计量的计算方法是解题的核心。
（1）题目要求计算平均数、中位数和众数三个统计量：平均数(a)表示数据的集中趋势；中位数(b)反映数据的中间位置；众数(c)代表出现频率最高的数值。
（2）通过加权平均法计算各班最终成绩：
分别计算甲、乙、丙三个班级的综合得分；比较三个班级的最终成绩得出结果。
22．（2025九下·冷水滩期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，．
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，∴
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质。解题关键在于熟练掌握相关判定方法和性质定理，并能灵活运用辅助未知数进行求解。
（1）由正方形的性质得，，由即可得；由平行线的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证：
（2）由得，由三角形相似的性质得，设，则，，由相似三角形的性质得，即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2025九下·冷水滩期中）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格 A款纪念品 B款纪念品
进货价（元/件） 20 15
销售价（元/件） 35 27
（1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元二次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；
（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；
（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.
24．（2025九下·冷水滩期中）如图为一款婴儿车车架的示意图，推杆长为，推杆底部点B到后车轮顶部点C的距离为，推杆与的夹角为，与水平面的夹角为，若后车轮顶部点C距地面的高度为，估计推杆顶部点A到地面的距离．（结果精确到；）
【答案】解：过点作于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，
则
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵后车轮顶部点C距地面的高度为，
∴推杆顶部点A到地面的距离为．
答：推杆顶部点A到地面的距离
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，易证四边形是矩形，利用解直角三角形求出EF的长，同时可求出∠ABF的度数，利用解直角三角形可求出AF的长，根据AE=AF+EF，代入计算求出AE的长，利用已知条件可求出推杆顶部点A到地面的距离.
25．（2025九下·冷水滩期中）如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴是直径，点是的中点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵经过的外端点，
∴是的切线
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设的半径为，
则，，
∴，
∴，
∴的半径为．

【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题是一道关于圆的综合题型，主要考查切线判定、三角形相似等知识点。掌握切线判定方法和相似三角形的性质是解题关键。
（1）首先连接。根据垂直定义可得，由角平分线性质得。根据等腰三角形性质得到，再利用平行线性质推导出，最终通过切线判定定理得出结论。
（2）通过平行线性质得到，结合勾股定理和相似三角形性质即可完成证明。
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴是直径，点是的中点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵经过的外端点，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设的半径为，
则，，
∴，
∴，
∴的半径为．
26．（2025九下·冷水滩期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标；
（3）将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】（1）解：由题可知：，解得：，
所以该抛物线的表达式为：
（2）解：设直线AB的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为：
设点则点
∴，
解得：
∴点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位再向上平移个单位，可得，
∴点的对应点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，即点或；
综上，或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题核心在于运用待定系数法求解函数解析式。
（1）使用待定系数法直接求解函数解析式；
（2）先确定直线AB的解析式，设点C坐标为，点D坐标为，通过距离公式可得，进而求解；
（3）分三种情况讨论：当BE为对角线时，根据中点坐标公式得；当EF或EG为对角线时，通过建立方程求解m值。
（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为，
则，解得，
∴直线的表达式为：
设则点
∴，
解得：
则点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则，
∴点对应的点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
1 / 1湖南省永州市第十六中学2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·冷水滩期中）计算 的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·冷水滩期中）在数，0，，，π，， 中，属于无理数的个数是（　　）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．（2025九下·冷水滩期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2025九下·冷水滩期中）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·冷水滩期中）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·冷水滩期中）关于字母a所表示的数，下列说法正确的是（　　）
A．a一定是正数 B．a的相反数是
C．a的倒数是 D．a的绝对值等于a
7．（2025九下·冷水滩期中）下列各数中，不一定有平方根的是(　　)
A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1
8．（2025九下·冷水滩期中）如图，绕点顺时针方向转动得，点恰好在边上，则度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·冷水滩期中）已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025九下·冷水滩期中）如图，平面直角坐标系中，以为直径的与x轴交于点C，连接交y轴交于点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025九下·冷水滩期中）已知10个数据：0，-1，2，6，2，1，-2，3，2，3，其中2出现的频数为　 　．
12．（2025九下·冷水滩期中）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是　 　图形．（填“轴对称”或“中心对称”）
13．（2025九下·冷水滩期中）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别写有汉字“中考”、“加油”，转盘中写有“加油”的扇形的圆心角的度数是．分别转动转盘、，当转盘停止转动时，事件、指针都落在写有汉字“加油”的扇形区域内的概率是　 　．
14．（2025九下·冷水滩期中）关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根　 　．
15．（2025九下·冷水滩期中）新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为 ，将 用科学记数法表示为　 　．
16．（2025九下·冷水滩期中）如图，直线，相交于点，．若，，，则　 　．
17．（2025九下·冷水滩期中）如图是一个以AB为直径的半⊙O，以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E，则∠CED＝　 　．
18．（2025九下·冷水滩期中）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论是　 　．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19．（2025九下·冷水滩期中）计算：．
20．（2025九下·冷水滩期中）先化简，再求值： ，其中 满足 .
21．（2025九下·冷水滩期中）受疫情影响，某地无法按原计划正常开学．在延迟开学期间该地区组织了在线教学活动．开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙、丙三个班中推荐一个作为在线教学先进班级，右表是这三个班的五项指标的考评得分表（单位：分）根据统计表中的信息解答下列问题：
班级 课程设置 课程质量 在线答疑 作业情况 学生满意度
甲班
乙班
丙班
请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的的值；
班级 平均分 众数 中位数
甲班
乙班
丙班
若学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？
22．（2025九下·冷水滩期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）已知，求的值．
23．（2025九下·冷水滩期中）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格 A款纪念品 B款纪念品
进货价（元/件） 20 15
销售价（元/件） 35 27
（1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
24．（2025九下·冷水滩期中）如图为一款婴儿车车架的示意图，推杆长为，推杆底部点B到后车轮顶部点C的距离为，推杆与的夹角为，与水平面的夹角为，若后车轮顶部点C距地面的高度为，估计推杆顶部点A到地面的距离．（结果精确到；）
25．（2025九下·冷水滩期中）如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
26．（2025九下·冷水滩期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标；
（3）将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算即可．
2．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意知，，∴，π是无理数，故符合要求；
故选：A．
【分析】本题主要考查无理数的概念。无理数是指无限不循环小数，解题时需要根据这个定义进行判断。根据数学定义，无限不循环小数属于无理数范畴，因此解答本题时需要依据这一关键特征进行判断分析。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为，，，
故答案为：C.
【分析】将原方程移项并按降幂排列可得2x2-4x+7=0，则a、b、c的值可求解.
4．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】由题可知：，所以该函数是递减的。
因为：，
所以：、、。
根据递减性质，纵坐标越大对应的横坐标越小，
可得：
故选：
【分析】结合一次函数的性质：当斜率时，函数值y随着自变量x的增大而减小。利用这一性质即可比较各点横坐标的大小关系。
5．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：将 变形，得 ，
设 ，
将 代入 ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件设a=3k，b=4k，然后代入代数式求值.
6．【答案】B
【知识点】用字母表示数；代数式的概念；判断两个数互为相反数；绝对值的概念与意义；实数的倒数
【解析】【解答】A. a可以表示正数、负数和0，A选项错误；
B. a的相反数是，B选项正确；
C. 0没有倒数，C选项错误；
D. 当a＜0时，a的绝对值等于-a，D选项错误。
故选：B．
【分析】根据代数式的定义、相反数的性质，绝对值的性质以及倒数的性质逐一判断即可得出正确答案。
7．【答案】D
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、>0，∴该数有平方根；
D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【分析】本题主要考查平方根的性质特点：正数存在两个平方根，零的平方根是其本身（0），而负数在实数范围内没有平方根。解题时需要准确判断给定实数的正负性，这是正确求解的基础。根据平方根的基本性质进行解答。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针方向转动得，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】由旋转性质得出：，，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①抛物线开口向下
∵
∴a，b异号
抛物线与轴的交点在轴的正半轴
，故①错误
②观察函数图象
当时，
，故②错误
③抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的交点为（3，0）
当时，
，故③正确
④抛物线与轴有2个交点
△，故④正确
故选：B．
【分析】
①根据开口方向判定a的符合，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口，左同右异，再判定b的符合，②由图可知：当x=-1时，y=a-b+c<0 ③当x=2时，y=4a+2b+c，点C（2，4a+2b+c）在x轴下方，因此4a+2b+c<0，④根据抛物线与x轴交点的个数，判定的符合，当抛物线与x轴有2个交点时，>0，当抛物线与x轴有1个交点时，=0，当抛物线与x轴无交点时，<0.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AC，过点B作轴于点E，
，
∴OD=1，
在中，AB是直径，
，
，
又 OA=OC，
是等边三角形，
，
在中，DC=2OD=2，
，
，
，
在中，，
，，
点B的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点B，
，
故选：A．
【分析】本题综合考查了反比例函数与圆的几何性质。连接线段AC，过点B作垂直于x轴的直线BE，E为垂足。根据圆的几何性质，直径所对的圆周角为直角，因此∠ACB=90°。题目中给出∠A=60°。在直角三角形OCD中，可以求出OC的长度为√3。由于三角形OAC满足三边相等条件，可判定为等边三角形。进一步计算可得到OA、OC、OB的长度。在直角三角形OBE中，利用勾股定理求出EB和OE的长度，从而确定点E的坐标，最终求出k值。
11．【答案】3
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：10个数据：0，-1，2，6，2，1，-2，3，2，3，其中2出现的频数为：3．
故答案为：3．
【分析】本题通过考查频数的基本概念来解答问题。频数指的是某个特定数值或区间在数据集中出现的次数。掌握频数的准确定义是解决此类问题的关键。频数作为统计学中的基础概念，反映了数据分布的集中程度。
12．【答案】中心对称
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形，故答案为：中心对称．
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念。中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形完全重合的图形。解题的关键在于理解并掌握中心对称图形的定义及其特性。
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由图可得，转盘A中指针落在“加油”的概率为，转盘B中指针落在“加油”的概率为，
∴两个转盘同时落在“加油”的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查了几何概率的计算方法，解题的关键是通过图形分析准确求出各个转盘落在指定区域的概率。计算转盘A和转盘B各自落在"加油"区域的概率，将这两个概率相乘得到两个转盘同时落在"加油"区域的概率。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有一个根为，∴，
解得，，则方程为，
∵，
∴，
故答案为： ．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系。解题的关键在于正确运用根与系数的关系。首先将已知根代入方程，求出参数的值，然后利用根与系数的关系进行求解。
15．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000102=1.02×10-7，
故答案为：1.02×10-7．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.
16．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例关系式并进行计算求解。本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键在于灵活运用定理并正确对应线段关系。
17．【答案】135°
【知识点】等腰三角形的性质；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵以OC，OD折叠半圆使得点A与点B落在同一点E，∴∠BOD=∠EOD=∠BOE，∠AOC=∠COE=∠AOE，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=(∠BOE+∠AOE)=
∵OC=OD=OE
∴∠OCE=∠OEC，∠ODE=∠OED
∴∠CED=∠CEO+∠DEO
=
=
=
=
=135°
故答案为：135°．
【分析】题目描述将半圆沿OC和OD折叠，使得点A与点B重合于同一点E。根据几何性质可知：1. 折叠后形成的角∠COD为90度
2. △COE和△DOE均为等腰三角形
3. 运用三角形内角和定理即可求解相关角度
18．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：因为函数的特征数为；
①当时，，顶点坐标是；此结论正确；
②当时，令，有，解得：，，
，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小．因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④，令，解得：或，分别代入表达式，得或，则当时，函数必经过或两个定点，此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的；
故答案为：①②④．
【分析】由m=-3，可得到a、b、c的值，即可得到函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到函数图象的顶点坐标，可对①作出判断；当时，由y=0可得到关于x的一元二次方程，解方程求出方程的两个根，即可得到抛物线与x轴的交点坐标，可求出|x2-x1|的值，利用m的取值范围据此可对②作出判断；当时，可求出抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性，可对③作出判断；将函数解析式转化为，设，可求出方程的解，分别代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到当时函数必经过或两个定点，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
19．【答案】原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，然后合并计算解题．
20．【答案】解：原式= ÷
= ×
= ×
=3x2+9x，
∵x2+3x－1=0，
∴x2+3x=1，
∴原式=3x2+9x=3（x2+3x）=3×1=3
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先计算括号内的减法，然后将除法转化为乘法，接下来，再进行约分，然后，由已知条件求得x2+3x=1，最后，将x2+3x=1整体代入即可.
21．【答案】解：甲班的五项指标得分由小到大重新排列为∴甲班的中位数为分
乙班的五项指标得分为而分出现次数最多，
∴乙班的众数是：分
（分)，
丙班的平均分是分；
；
甲：（分)
乙：（分）
丙：（分）
推荐丙班级为网上教学先进班级
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】本题重点考查数据集中趋势的统计指标分析，需要准确理解各统计量的定义并正确计算其数值。掌握这些统计量的计算方法是解题的核心。
（1）题目要求计算平均数、中位数和众数三个统计量：平均数(a)表示数据的集中趋势；中位数(b)反映数据的中间位置；众数(c)代表出现频率最高的数值。
（2）通过加权平均法计算各班最终成绩：
分别计算甲、乙、丙三个班级的综合得分；比较三个班级的最终成绩得出结果。
22．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，．
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，∴
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质。解题关键在于熟练掌握相关判定方法和性质定理，并能灵活运用辅助未知数进行求解。
（1）由正方形的性质得，，由即可得；由平行线的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证：
（2）由得，由三角形相似的性质得，设，则，，由相似三角形的性质得，即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元二次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；
（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；
（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.
24．【答案】解：过点作于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，
则
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵后车轮顶部点C距地面的高度为，
∴推杆顶部点A到地面的距离为．
答：推杆顶部点A到地面的距离
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，易证四边形是矩形，利用解直角三角形求出EF的长，同时可求出∠ABF的度数，利用解直角三角形可求出AF的长，根据AE=AF+EF，代入计算求出AE的长，利用已知条件可求出推杆顶部点A到地面的距离.
25．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴是直径，点是的中点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵经过的外端点，
∴是的切线
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设的半径为，
则，，
∴，
∴，
∴的半径为．

【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题是一道关于圆的综合题型，主要考查切线判定、三角形相似等知识点。掌握切线判定方法和相似三角形的性质是解题关键。
（1）首先连接。根据垂直定义可得，由角平分线性质得。根据等腰三角形性质得到，再利用平行线性质推导出，最终通过切线判定定理得出结论。
（2）通过平行线性质得到，结合勾股定理和相似三角形性质即可完成证明。
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴是直径，点是的中点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵经过的外端点，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设的半径为，
则，，
∴，
∴，
∴的半径为．
26．【答案】（1）解：由题可知：，解得：，
所以该抛物线的表达式为：
（2）解：设直线AB的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为：
设点则点
∴，
解得：
∴点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位再向上平移个单位，可得，
∴点的对应点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，即点或；
综上，或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题核心在于运用待定系数法求解函数解析式。
（1）使用待定系数法直接求解函数解析式；
（2）先确定直线AB的解析式，设点C坐标为，点D坐标为，通过距离公式可得，进而求解；
（3）分三种情况讨论：当BE为对角线时，根据中点坐标公式得；当EF或EG为对角线时，通过建立方程求解m值。
（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为，
则，解得，
∴直线的表达式为：
设则点
∴，
解得：
则点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则，
∴点对应的点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．
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