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四川省成都市邛崃市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·邛崃期中）下列图形中，不是中心对称图形的选项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、不是中心对称图形，该选项符合题意；
故答案为：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判定即可求解．
2．（2025八下·邛崃期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是，即，
故答案为：B．
【分析】直角坐标系中点坐标的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此进行解答即可.
3．（2025八下·邛崃期中）若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，原变式不成立，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，原变式不成立，故选项B不符合题意；
C、∵，∴x=0时，；x≠0时， ；原变式不一定成立，故选项C不符合题意；
D、∵，∴，原变式一定成立，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此进行判断作答即可．
4．（2025八下·邛崃期中）如图，在中，，，且，．则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴.
∵
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
5．（2025八下·邛崃期中）实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴的定义可知，，
∴，故A正确，B错误；
∴，故C错误；
∴，故D错误．
故答案为：A．
【分析】观察数轴可知：，|a|＜|b|，利用有理数的加减法法则，可对A、B、D作出判断；利用有理数的乘法法则，可对C作出判断.
6．（2025八下·邛崃期中）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（　　）
A．都大于 B．都小于
C．没有一个小于 D．没有一个大于
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：已知五个正数的和等于1，
用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，
先要假设这五个正数都小于，
故答案为：B．
【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，再找出至少有一个大于或等于的反面，即可求解.
7．（2025八下·邛崃期中）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线交直线于点，
所以，不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的上方，由此得到不等式的解集．
8．（2025八下·邛崃期中）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（　　）
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，，
当时，，故A正确，不符合题意；
方程的解是，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
不等式的解集是，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察函数图象，可得到x＞0和x＜0时y的取值范围，可对A、C作出判断；利用点A的坐标，可得到方程的解，可对B作出判断；同时可得到y＞0时x的取值范围，可对D作出判断.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·邛崃期中）点（3，﹣2）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，所得的点关于以y轴为对称点的坐标为　 　．
【答案】（﹣5，2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：已知点坐标为（3，﹣2），根据平移时点的变化规律，
平移后，所得点的坐标为（3+2，﹣2+4）即为（5，2），
所得点（5，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣5，2）．
故答案为：（﹣5，2）．
【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到平移后的点的坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得答案.
10．（2025八下·邛崃期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】直线y=kx+b（k≠0），当k＞0时，图象必过第一、三象限，k＜0时，图象必过第二、四象限；b＞0时，图象必过第一、二象限，b＜0 时，图象必过第三、四象限，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
11．（2025八下·邛崃期中）如图，，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】先根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和即可求出.
12．（2025八下·邛崃期中）如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，，，则的周长为　 　cm．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由作图可得，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出BC的长，利用作图和线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，据此可证得△ACD的周长就是AC+BC的长，即可求解.
13．（2025八下·邛崃期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，作线段与的线段垂直平分线交于一点E，
∴点E为旋转中心，
∴旋转中心E的坐标为．
故答案为：．
【分析】利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质可作线段与的线段垂直平分线，再求出点E为旋转中心，最后求点的坐标即可.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八下·邛崃期中）（1）解不等式：，并求出最小整数解．
（2）解不等式组：并在数轴上表示出它的解集．
【答案】解：（1）
，
，
∴，
∴的最小整数解为8；
（2），
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示解集如图：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可；
（2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可。
15．（2025八下·邛崃期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），请完成以下画图并填空．
（1）将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的；
（2）画出关于原点O成中心对称的；
（3）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的，则的坐标为________．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）作图见解析；
的坐标为
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知
的坐标为，
故答案为：．
【分析】（1）利用点的坐标平移规律，将三个顶点向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点A1、B1、C1，然后画出△A1B1C1即可.
（2）作出点A、B、C关于原点对称的的对应点、、，然后画出△A2B2C2即可.
（3）利用旋转的性质，将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，然后画出△A3B3C3即可，据此可得到点B3的坐标.
16．（2025八下·邛崃期中）如图，中，，作，，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证：，
，
中，
，
，
，
，
．
（2）解：设长为，则，
，
中有，
，
解得，
．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理及角之间的关系即可求出答案.
（2）设长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2025八下·邛崃期中）已知函数与的图像如图所示，观察图像并解决下列问题：
（1）x取何值时，？
（2）x取何值时，？
（3）当，求的取值范围；
（4）当，求x的取值范围．
【答案】（1）解：当时，得到，解得，
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得
（2）解：当时，得到，解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得
（3）当时，得到，当时，得到
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得
（4）解：当时，得到，解得，
当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）将y=0代入y1=2x-4可求出对应的x的值，再利用一次函数的增减性，可得到不等式的解集.
（2）将y=0代入y2=-2x+8可求出对应的x的值，再利用一次函数的增减性，可得到不等式的解集.
（3）分别将，代入y1=2x-4，分别求出对应的y1值，再利用一次函数的增减性，可得到y1的取值范围.
（4）分别将，代入y2=-2x+8分别求出对应的x的值，再利用一次函数的性质可得到此时x的取值范围.
（1）解：当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得．
（2）解：当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得．
（3）当时，得到，
当时，得到
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得．
（4）解：当时，得到，
解得，
当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得．
四、（2021·青羊）
18．（2025八下·邛崃期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC点于F，连接EF．
（1）如图1，EF与CD相交于点G：
①来证：AE＝CF；
②当AD＝CE，AC＝6时，求DG；
（2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长．
【答案】证明：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴AD=CD，△ACD、△BCD、△ABC都是等腰直角三角形
∴∠DAC=∠DCB
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°
∴∠CDF=∠ADE
∴△CDF≌△ADE
∴AE＝CF；
②过点D作DH⊥AC，交EF于M点
∵AC＝6=BC
∴AB=
∵D是AB中点
∴CD=AD=BD=
∵DH⊥AC
∴CH=DH=AH=
∵AD＝CE，
∴CE=AD=
∴EH=-3
故AE=AH-EH=6-
∴CF=AE=6-
∵FCHM
∴△FCE∽△MHE
∴，即
解得MH=
∴DM=DH-HM=
∵FCHD
∴△FCG∽△MDG
∴，即
解得DG=
∴DG=；
（2）∵AE＝2，CE＝5
∴AC=7=BC
∴AB=
如图，取AD中点H，作HI⊥AD交DE于I点，过E点作EG⊥AD
∵点D为AB的中点，
∴AH=DH=
∵∠CAD=45°
∴△AGE是等腰直角三角形
∴EG=AG，AG2+EG2=AE2=4
∴AG==EG
∴HG=AH-AG=
∴DG=DH+HG=
∵HI⊥AD，H是AD中点
∴△ADI是等腰三角形
∴AI=DI
∵HI⊥AD，EG⊥AD
∴HIEG
∴△DHI∽△DGE
∴
∴HI=
∴ID=
作AJ⊥DE延长线于J点
∴∠DHI=∠DJA=90°
又∠HDI=∠JDA
∴△DHI∽△DJA
∴，代入可得AJ=
∴DJ=
∴IJ=DJ-ID=
∵DI=AI
∴∠IDA=∠IAD，∠AIJ=∠IDA+∠IAD=2∠ADE
∵∠CME＝2∠ADE，
∴∠JIA=∠CME
又∠AJI=∠ECM
∴△AJI∽△ECM
∴
∴代入得CM=
∴EM=
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可证得AD=CD，同时可证得△ACD、△BCD、△ABC都是等腰直角三角形，可证得∠DAC=∠DCB，再利用余角的性质可证得∠CDF=∠ADE，利用ASA证明△CDF≌△ADE，利用全等三角形的性质可证得结论.
②过点D作DH⊥AC，交EF于M点，分别求出CE，HE，CF，再由FC∥HM证明△FCE∽△MHE，利用相似三角形的性质可求出HM，DM的长；再证明△FCG∽△MDG，利用相似三角形的性质可求出DG的长.
（2）取AD中点H，作HI⊥AD交DE于I点，过E点作EG⊥AD，先求出AH，DG，通过证明△DHI∽△DGE，得到，求出HI，进而求出ID，作AJ⊥DE延长线于J点，证明△DHI∽△DJA，得到，求出AJ、DJ，再求出IJ，利用角度的关系证明△AJI∽△ECM，可得，求出CM，再利用勾股定理即可求解．
五、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八下·邛崃期中）如果不等式组无解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
【分析】利用不等式组无解可求出k的取值范围.
20．（2025八下·邛崃期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为　 　．
【答案】48
【知识点】三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：48.
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，根据平移的性质，求出、，得到，得到，得到，结合梯形的面积公式，即可求解.
21．（2025八下·邛崃期中）我们用表示不小于a的最小整数，例如：，，．若，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵表示不小于a的最小整数，
∴时，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用新定义可得到关于x的不等式，，然后求出不等式组的解集，可得到x的取值范围.
22．（2025八下·邛崃期中）若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中a，b都是正整数，且），那么我们称为正整数k的“欢喜数对”．如：，那么正整数9的“欢喜数对”为．今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为　 　（请写出所有满足条件的“欢喜数对”）．
【答案】或
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，解得：，
∴正整数2024的“欢喜数对”为；
∵，
∴，解得：，
∴正整数2024的“欢喜数对”为；
∴2024的“欢喜数对”为或
故答案为：或．
【分析】先将2024分解因数为2×2012，然后再根据平方差公式和“欢喜数对”的定义，可得到关于a、b的方程组，解方程求出a、b的值，据此可得到正整数2024的“欢喜数对”，同理将2024分解因数为4×506，同理可求出a、b的值，综上所述可得到2024的“欢喜数对”.
23．（2025八下·邛崃期中）在等腰直角中，，，将直角边绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．若为等腰三角形，则此时线段的长为　 　．
【答案】2或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在等腰直角中，，，
∴，
当时，如图，，
；
当时，如图，过P作于E，过C作于F，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
当时，如图，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴菱形是正方形，
∴，
∴，
综上，的长为2或或，
故答案为：2或或．
【分析】利用等腰直角三角形的定义可求出BC的长，分三种情况讨论：当时；当时，过P作于E，过C作于F，根据三线合一的性质求出CE的长，利用旋转的性质可证得AC=AP，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理表示出∠ACP和∠APC的度数，即可得到∠PCE的度数，可推出，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可得到FC的长，再利用勾股定理求出AF的长，可得到PF的长，然后利用勾股定理求出CP的长；当时，易证四边形是正方形，利用正方形的性质可证得∠CBP=90°，利用勾股定理求出CP的长；综上所述可得到符合题意的CP的长.
六、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025八下·邛崃期中）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】解：（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有：，
解得：．
答：一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元．
（2）设A型口罩x个，依题意有：
，
解得35≤x≤37.5，
∵x为整数，
∴x=35，36，37．
方案如下：
方案 A型口罩 B型口罩
一 35 15
二 36 14
三 37 13
设购买口罩需要y元，则y=5x+7（50﹣x）=﹣2x+350，
∵k=﹣2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴x=37时，y的值最小．
答：有3种购买方案，其中方案三最省钱
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据：“1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元”可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解.
（2）设A型口罩x个，根据“A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍”可得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围，可得到整数x的值，可得到具体的方案，利用一次函数的性质可求出最省钱的方案.
25．（2025八下·邛崃期中）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）求两直线交点的坐标；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
【答案】（1）解：设的表达式为，
将、代入得，
，
解得，
所以的表达式为
（2）解：将代入得，，
所以直线的表达式为.
由方程组得，
解得，
故D点坐标为
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】（3）由图象可知，在点左侧时，，即时，．
【分析】（1）设的表达式为，将点B、C的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，据此可得到函数解析式.
（2）将点A的坐标代入直线l1，可求出m的值，再将两函数解析式联立方程组，解方程组可求出点D的坐标.
（3）利用两函数交点的横坐标，观察图象，可得到 时自变量的取值范围.
（1）设的表达式为，
将、代入得，
，
解得，
所以的表达式为；
（2）将代入得，，
所以直线的表达式为.
由方程组得，
解得，
故D点坐标为；
（3）由图象可知，在点左侧时，，即时，．
26．（2025八下·邛崃期中）在中，．
（1），，．
①如图1，若点P是内一点，且，求的度数；
②如图2，若点P是外一点，且，求的长；
（2）如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值．
【答案】（1）解：①在中，，∴是等边三角形．
将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转的性质得．
∵，
∴是直角三角形，，
∴；
②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴
（2）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H，
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长．
在中，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
根据勾股定理，得．
的最小值是．
【分析】（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得是等边三角形，将绕点B顺时针旋转得到，连接，易证是等边三角形，即可得；再根据旋转的性质及勾股定理的逆定理可推出是直角三角形，可证得，然后根据，可求出∠BPC的度数；②以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，先证明，可得，接下来说明，再求出，进而求出，然后根据勾股定理求出BE的长，可得到PC的长.
（2）将绕点B逆时针旋转得到，作，先说明，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得PB=PF，，由此可证得，再根据两点之间线段最短可知的值最小值为的长，然后分别求出，进而得，最后根据勾股定理求出即可．
（1）解：①在中，，
∴是等边三角形．
将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转的性质得．
∵，
∴是直角三角形，，
∴；
②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H，
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长．
在中，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
根据勾股定理，得．
的最小值是．
1 / 1四川省成都市邛崃市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·邛崃期中）下列图形中，不是中心对称图形的选项是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·邛崃期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·邛崃期中）若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·邛崃期中）如图，在中，，，且，．则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025八下·邛崃期中）实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·邛崃期中）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（　　）
A．都大于 B．都小于
C．没有一个小于 D．没有一个大于
7．（2025八下·邛崃期中）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
8．（2025八下·邛崃期中）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（　　）
A．当时， B．方程的解是
C．当时， D．不等式的解集是
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·邛崃期中）点（3，﹣2）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，所得的点关于以y轴为对称点的坐标为　 　．
10．（2025八下·邛崃期中）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是　 　．
11．（2025八下·邛崃期中）如图，，若，，则的度数为　 　．
12．（2025八下·邛崃期中）如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点D，连接，，，则的周长为　 　cm．
13．（2025八下·邛崃期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八下·邛崃期中）（1）解不等式：，并求出最小整数解．
（2）解不等式组：并在数轴上表示出它的解集．
15．（2025八下·邛崃期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），请完成以下画图并填空．
（1）将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的；
（2）画出关于原点O成中心对称的；
（3）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的，则的坐标为________．
16．（2025八下·邛崃期中）如图，中，，作，，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
17．（2025八下·邛崃期中）已知函数与的图像如图所示，观察图像并解决下列问题：
（1）x取何值时，？
（2）x取何值时，？
（3）当，求的取值范围；
（4）当，求x的取值范围．
四、（2021·青羊）
18．（2025八下·邛崃期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC点于F，连接EF．
（1）如图1，EF与CD相交于点G：
①来证：AE＝CF；
②当AD＝CE，AC＝6时，求DG；
（2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的长．
五、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（2025八下·邛崃期中）如果不等式组无解，则的取值范围是　 　．
20．（2025八下·邛崃期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为　 　．
21．（2025八下·邛崃期中）我们用表示不小于a的最小整数，例如：，，．若，则x的取值范围是　 　．
22．（2025八下·邛崃期中）若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中a，b都是正整数，且），那么我们称为正整数k的“欢喜数对”．如：，那么正整数9的“欢喜数对”为．今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为　 　（请写出所有满足条件的“欢喜数对”）．
23．（2025八下·邛崃期中）在等腰直角中，，，将直角边绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．若为等腰三角形，则此时线段的长为　 　．
六、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（2025八下·邛崃期中）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
25．（2025八下·邛崃期中）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）求两直线交点的坐标；
（3）根据图象直接写出时自变量的取值范围．
26．（2025八下·邛崃期中）在中，．
（1），，．
①如图1，若点P是内一点，且，求的度数；
②如图2，若点P是外一点，且，求的长；
（2）如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，该选项不合题意；
、不是中心对称图形，该选项符合题意；
故答案为：．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判定即可求解．
2．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是，即，
故答案为：B．
【分析】直角坐标系中点坐标的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此进行解答即可.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，原变式不成立，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，原变式不成立，故选项B不符合题意；
C、∵，∴x=0时，；x≠0时， ；原变式不一定成立，故选项C不符合题意；
D、∵，∴，原变式一定成立，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此进行判断作答即可．
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴.
∵
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
5．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴的定义可知，，
∴，故A正确，B错误；
∴，故C错误；
∴，故D错误．
故答案为：A．
【分析】观察数轴可知：，|a|＜|b|，利用有理数的加减法法则，可对A、B、D作出判断；利用有理数的乘法法则，可对C作出判断.
6．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：已知五个正数的和等于1，
用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，
先要假设这五个正数都小于，
故答案为：B．
【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，再找出至少有一个大于或等于的反面，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线交直线于点，
所以，不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的上方，由此得到不等式的解集．
8．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，，
当时，，故A正确，不符合题意；
方程的解是，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
不等式的解集是，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】观察函数图象，可得到x＞0和x＜0时y的取值范围，可对A、C作出判断；利用点A的坐标，可得到方程的解，可对B作出判断；同时可得到y＞0时x的取值范围，可对D作出判断.
9．【答案】（﹣5，2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：已知点坐标为（3，﹣2），根据平移时点的变化规律，
平移后，所得点的坐标为（3+2，﹣2+4）即为（5，2），
所得点（5，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣5，2）．
故答案为：（﹣5，2）．
【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到平移后的点的坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得答案.
10．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】直线y=kx+b（k≠0），当k＞0时，图象必过第一、三象限，k＜0时，图象必过第二、四象限；b＞0时，图象必过第一、二象限，b＜0 时，图象必过第三、四象限，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】先根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和即可求出.
12．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由作图可得，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出BC的长，利用作图和线段垂直平分线的性质可证得AD=BD，据此可证得△ACD的周长就是AC+BC的长，即可求解.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，作线段与的线段垂直平分线交于一点E，
∴点E为旋转中心，
∴旋转中心E的坐标为．
故答案为：．
【分析】利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质可作线段与的线段垂直平分线，再求出点E为旋转中心，最后求点的坐标即可.
14．【答案】解：（1）
，
，
∴，
∴的最小整数解为8；
（2），
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示解集如图：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可；
（2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可。
15．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）作图见解析；
的坐标为
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知
的坐标为，
故答案为：．
【分析】（1）利用点的坐标平移规律，将三个顶点向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点A1、B1、C1，然后画出△A1B1C1即可.
（2）作出点A、B、C关于原点对称的的对应点、、，然后画出△A2B2C2即可.
（3）利用旋转的性质，将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，然后画出△A3B3C3即可，据此可得到点B3的坐标.
16．【答案】（1）证：，
，
中，
，
，
，
，
．
（2）解：设长为，则，
，
中有，
，
解得，
．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理及角之间的关系即可求出答案.
（2）设长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：当时，得到，解得，
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得
（2）解：当时，得到，解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得
（3）当时，得到，当时，得到
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得
（4）解：当时，得到，解得，
当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）将y=0代入y1=2x-4可求出对应的x的值，再利用一次函数的增减性，可得到不等式的解集.
（2）将y=0代入y2=-2x+8可求出对应的x的值，再利用一次函数的增减性，可得到不等式的解集.
（3）分别将，代入y1=2x-4，分别求出对应的y1值，再利用一次函数的增减性，可得到y1的取值范围.
（4）分别将，代入y2=-2x+8分别求出对应的x的值，再利用一次函数的性质可得到此时x的取值范围.
（1）解：当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得．
（2）解：当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得．
（3）当时，得到，
当时，得到
∵中，
∴y随x的增大而增大，
∴时，得．
（4）解：当时，得到，
解得，
当时，得到，
解得，
∵中，
∴y随x的增大而减小，
∴时，得．
18．【答案】证明：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴AD=CD，△ACD、△BCD、△ABC都是等腰直角三角形
∴∠DAC=∠DCB
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°
∴∠CDF=∠ADE
∴△CDF≌△ADE
∴AE＝CF；
②过点D作DH⊥AC，交EF于M点
∵AC＝6=BC
∴AB=
∵D是AB中点
∴CD=AD=BD=
∵DH⊥AC
∴CH=DH=AH=
∵AD＝CE，
∴CE=AD=
∴EH=-3
故AE=AH-EH=6-
∴CF=AE=6-
∵FCHM
∴△FCE∽△MHE
∴，即
解得MH=
∴DM=DH-HM=
∵FCHD
∴△FCG∽△MDG
∴，即
解得DG=
∴DG=；
（2）∵AE＝2，CE＝5
∴AC=7=BC
∴AB=
如图，取AD中点H，作HI⊥AD交DE于I点，过E点作EG⊥AD
∵点D为AB的中点，
∴AH=DH=
∵∠CAD=45°
∴△AGE是等腰直角三角形
∴EG=AG，AG2+EG2=AE2=4
∴AG==EG
∴HG=AH-AG=
∴DG=DH+HG=
∵HI⊥AD，H是AD中点
∴△ADI是等腰三角形
∴AI=DI
∵HI⊥AD，EG⊥AD
∴HIEG
∴△DHI∽△DGE
∴
∴HI=
∴ID=
作AJ⊥DE延长线于J点
∴∠DHI=∠DJA=90°
又∠HDI=∠JDA
∴△DHI∽△DJA
∴，代入可得AJ=
∴DJ=
∴IJ=DJ-ID=
∵DI=AI
∴∠IDA=∠IAD，∠AIJ=∠IDA+∠IAD=2∠ADE
∵∠CME＝2∠ADE，
∴∠JIA=∠CME
又∠AJI=∠ECM
∴△AJI∽△ECM
∴
∴代入得CM=
∴EM=
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可证得AD=CD，同时可证得△ACD、△BCD、△ABC都是等腰直角三角形，可证得∠DAC=∠DCB，再利用余角的性质可证得∠CDF=∠ADE，利用ASA证明△CDF≌△ADE，利用全等三角形的性质可证得结论.
②过点D作DH⊥AC，交EF于M点，分别求出CE，HE，CF，再由FC∥HM证明△FCE∽△MHE，利用相似三角形的性质可求出HM，DM的长；再证明△FCG∽△MDG，利用相似三角形的性质可求出DG的长.
（2）取AD中点H，作HI⊥AD交DE于I点，过E点作EG⊥AD，先求出AH，DG，通过证明△DHI∽△DGE，得到，求出HI，进而求出ID，作AJ⊥DE延长线于J点，证明△DHI∽△DJA，得到，求出AJ、DJ，再求出IJ，利用角度的关系证明△AJI∽△ECM，可得，求出CM，再利用勾股定理即可求解．
19．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
【分析】利用不等式组无解可求出k的取值范围.
20．【答案】48
【知识点】三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：48.
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，根据平移的性质，求出、，得到，得到，得到，结合梯形的面积公式，即可求解.
21．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵表示不小于a的最小整数，
∴时，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用新定义可得到关于x的不等式，，然后求出不等式组的解集，可得到x的取值范围.
22．【答案】或
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，解得：，
∴正整数2024的“欢喜数对”为；
∵，
∴，解得：，
∴正整数2024的“欢喜数对”为；
∴2024的“欢喜数对”为或
故答案为：或．
【分析】先将2024分解因数为2×2012，然后再根据平方差公式和“欢喜数对”的定义，可得到关于a、b的方程组，解方程求出a、b的值，据此可得到正整数2024的“欢喜数对”，同理将2024分解因数为4×506，同理可求出a、b的值，综上所述可得到2024的“欢喜数对”.
23．【答案】2或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在等腰直角中，，，
∴，
当时，如图，，
；
当时，如图，过P作于E，过C作于F，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
当时，如图，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴菱形是正方形，
∴，
∴，
综上，的长为2或或，
故答案为：2或或．
【分析】利用等腰直角三角形的定义可求出BC的长，分三种情况讨论：当时；当时，过P作于E，过C作于F，根据三线合一的性质求出CE的长，利用旋转的性质可证得AC=AP，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理表示出∠ACP和∠APC的度数，即可得到∠PCE的度数，可推出，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可得到FC的长，再利用勾股定理求出AF的长，可得到PF的长，然后利用勾股定理求出CP的长；当时，易证四边形是正方形，利用正方形的性质可证得∠CBP=90°，利用勾股定理求出CP的长；综上所述可得到符合题意的CP的长.
24．【答案】解：（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有：，
解得：．
答：一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元．
（2）设A型口罩x个，依题意有：
，
解得35≤x≤37.5，
∵x为整数，
∴x=35，36，37．
方案如下：
方案 A型口罩 B型口罩
一 35 15
二 36 14
三 37 13
设购买口罩需要y元，则y=5x+7（50﹣x）=﹣2x+350，
∵k=﹣2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴x=37时，y的值最小．
答：有3种购买方案，其中方案三最省钱
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据：“1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元”可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解.
（2）设A型口罩x个，根据“A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍”可得到关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围，可得到整数x的值，可得到具体的方案，利用一次函数的性质可求出最省钱的方案.
25．【答案】（1）解：设的表达式为，
将、代入得，
，
解得，
所以的表达式为
（2）解：将代入得，，
所以直线的表达式为.
由方程组得，
解得，
故D点坐标为
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】（3）由图象可知，在点左侧时，，即时，．
【分析】（1）设的表达式为，将点B、C的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，据此可得到函数解析式.
（2）将点A的坐标代入直线l1，可求出m的值，再将两函数解析式联立方程组，解方程组可求出点D的坐标.
（3）利用两函数交点的横坐标，观察图象，可得到 时自变量的取值范围.
（1）设的表达式为，
将、代入得，
，
解得，
所以的表达式为；
（2）将代入得，，
所以直线的表达式为.
由方程组得，
解得，
故D点坐标为；
（3）由图象可知，在点左侧时，，即时，．
26．【答案】（1）解：①在中，，∴是等边三角形．
将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转的性质得．
∵，
∴是直角三角形，，
∴；
②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴
（2）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H，
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长．
在中，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
根据勾股定理，得．
的最小值是．
【分析】（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得是等边三角形，将绕点B顺时针旋转得到，连接，易证是等边三角形，即可得；再根据旋转的性质及勾股定理的逆定理可推出是直角三角形，可证得，然后根据，可求出∠BPC的度数；②以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，先证明，可得，接下来说明，再求出，进而求出，然后根据勾股定理求出BE的长，可得到PC的长.
（2）将绕点B逆时针旋转得到，作，先说明，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得PB=PF，，由此可证得，再根据两点之间线段最短可知的值最小值为的长，然后分别求出，进而得，最后根据勾股定理求出即可．
（1）解：①在中，，
∴是等边三角形．
将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转的性质得．
∵，
∴是直角三角形，，
∴；
②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H，
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长．
在中，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
∴，
根据勾股定理，得．
的最小值是．
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