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21.3.1 矩形
21.3.1 矩形
课时1 矩形的性质
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
思考 如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即 ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
矩形也是常见的几何图形.门窗框、书桌面、地砖等都有矩形的形象. 你还能举出一些例子吗？
探究1 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢
四边形 平行四边形 矩形
边
角
对角线
对边平行且相等
对边平行且相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
你能证明这些猜想吗？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°.
求证：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等).
∵ AB∥CD(矩形的对边平行)，
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°，
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
B
C
D
A
猜想2：矩形的对角线相等.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与BD相交于点O.
求证：AC=DB..
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB,
∴△ABC△DCB（SAS）.
∴AC=DB.
B
C
D
A
O
矩形的四个角都是直角.
矩形的特有性质1：
数学语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD.
矩形的对角线相等.
矩形的特有性质2：
思考 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
A
B
D
C
矩形是轴对称图形.
它有两条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4. 求矩形ABCD的对角线的长.
探究2 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半. 在Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？你能证明你发现的结论吗？
BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线，根据矩形的性质，可得BD=AC，所以
猜想：BO = AC
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线.
求证：BO = AC.
A
B
C
O
D
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA = OC，OD = OB，
∴四边形 ABCD 为平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，
∴BO= BD= AC.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质：
符号语言：
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴BO=AC.
如图，△ABC中，AB=AC=10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（ ）
A．5 B．5
C．8 D．5
A
矩形及其性质 定义 的平行四边形叫作矩形.
性质 边 矩形的 ；
角 矩形的 ；
对角线 矩形的 .
相关性质 直角三角形斜边上的中线等于 .
有一个角是直角
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
斜边的一半
1.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（ 　）
A．1 B．5 C．2 D．
D
2.如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(0，2)， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A．(3+，1)
B．(3+，)
C．(5，1)
D．(3+，)
A
3.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=（ ）
A．95° B．100°
C．110° D．145°
C
证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC，
∴ ∠ABE=∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴ △ABE△DCF(SAS)；
4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：(1)△ABE△DCF；
证明:∵ △ABE△DCF，
∴ ∠BAE=∠CDF，
又∵ ∠CDA=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA，
∴ ∠EAD=∠FDA．
4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：(2)∠EAD=∠FDA．
21.3.1 矩形
课时2 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.
2.能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.
回顾矩形的概念和性质：
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形性质
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
判定
与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.
除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
如何证明这个猜想呢？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵AB=DC，BC=CB，AC=BD，
∴△ABC△DCB，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
已知：在 ABCD中，AC=BD，
求证：四边形ABCD是矩形.
你还有其他证明方法吗？
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
证明二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=BD，
∵AC=BD，∴OA=OB=OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
已知：在 ABCD中，AC=BD，
求证：四边形ABCD是矩形.
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理1：
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
思考：对角线相等的四边形一定是矩形吗？
不一定，等腰梯形的对角线也相等.
A
B
C
D
矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
应用 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？
四边形
平行四边形
矩形
两组对边分别相等
对角线相等
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？
成立.
C
B
A
D
思考：至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
（有一个角是直角）
A
B
D
C
（有二个角是直角）
A
B
D
C
（有三个角是直角）
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
C
B
A
D
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴ AD//BC， AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理2：
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
C
B
A
D
例2 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
例2 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∴∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°.
∴ ∠F=90°.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
矩形的判定方法 定义 的平行四边形叫作矩形.
判定定理1 的四边形是矩形.
的平行四边形是矩形.
判定定理2 有三个角是直角
对角线相等
有一个角是直角
1.如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD=BO，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=BC B．∠ABC=90°
C．∠ABD=∠ACD D．OB=OC
A
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是 .
证明：∵点O为AB的中点，∴OA=OB，
∵AE∥BC，∴∠EAO=∠OBD，∠AEO=∠BDO，
∴△AEO△BDO(AAS)，∴AE=BD，
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形.
∵ AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴ AD⊥BC即∠ADB=90°，
∴ 四边形AEBD是矩形.
3.如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．

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