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2025-2026学年广东省深圳市龙岗区龙岭中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.龙岭学校综合组老师们开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取1个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段BC的长是( )
A. B. C. 2 D. 3
4.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，身高的小利站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为，则路灯的高度AB为( )
A. B.
C. D. 4m
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若，则BD的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7.下列命题中，假命题是( )
A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直
C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等
8.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作，垂足为点G，若，，则BE的长为( )
A. B. 2
C. D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若，则的值为 .
10.如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积的为
11.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到的距离为
12.已知一元二次方程为常数的一个根是，则此方程的另外一个根的值为 .
13.如图，已知平行四边形ABCD，，，，M、N分别是AD、BC上的点，将四边形沿MN对折，使B点和D点重合，则折痕 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题6分
解方程：
；
15.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
画出与关于y轴对称的；
以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为2：1；
求的面积.
16.本小题8分
某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同.
甲选择“食品安全”主题的概率为______；
若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有______人；
请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率主题可用A、B、C、D表示
17.本小题8分
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，数学老师过点B作，且让，连接
有同学发现四边形BECO是矩形，请你完成证明过程；
连接ED交AC于点F，连接BF，若，，求BF的长.
18.本小题9分
深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”.某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同求该品牌头盔销售量的月增长率；
经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
布吉街道计划将布吉站附近一个长为30m，宽为20m的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？
19.本小题11分
【问题发现】
数学九年级上册课本第39页读一读是关于一元二次方程的几何解法的内容.介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如，可变形为
第1步：如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；
第2步：如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形.
第3步：大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：，易得这个方程的正数解为
注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
【初步尝试】
利用上述一元二次方程的几何解法，求出方程的一个正根，并画图；
尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为，即______；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；在画图区画出示意图，标明各边长
第三步：根据大正方形的面积可得新的程：______；
解得原方程的一个根为______；
【思维拓展】
参照以上方法，直接写出关于x的一元二次方程、b、c都是正数的正数解用含a、b、c的代数式表示
20.本小题11分
根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用.
定义 在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形.
例：如图中，则为倍角三角形.
任务1 概念明晰：
以下几个特殊三角形是倍角三角形的有______.
①等边三角形；②等腰直角三角形；③含的直角三角形；④顶角为的等腰三角形；⑤底角为的等腰三角形.
性质 性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积.
如图：若，则
任务2 性质证明：
如图，在倍角三角形ABC中，，求证：
思路：二倍角问题的解题策略很多，主要方法是化倍角为等角.
请从以下两种方法中选一个方法进行证明.
方法一：平分，则
方法二：延长AC至点D，使，则
任务3 性质应用：
如图，在中，，，，则______.
任务4 拓展应用：
如图，在中，，，，则______.
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.D
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
二、填空题
9.4
11.20
12.3
13.
三、解答题
14.解：，
因式分解得：，
解得：，；
，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，
15.解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
的面积为
16.解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择“食品安全”主题的结果有1种，
甲选择“食品安全”主题的概率为
故答案为：
选择交通安全的同学约有人
故答案为：
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
甲和乙选择不同主题的概率为
17.证明：四边形ABCD为菱形，
，，，
，
，
，
又，
四边形BECO是平行四边形，
又，
平行四边形BECO是矩形；
解：，，
，
，
，
是直角三角形，
由勾股定理得：，
，
，
是的中位线，
，
在中，由勾股定理得：
的长为
18.设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
设该品牌头盔每个应涨价为y元，依题意得：
解得，，
因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去．
所以
答：该品牌头盔每个售价应定为5元；
根据题意得，，
解得，不合题意舍去，
答：道路宽x应为1米．
19.将改为，
故，
解得：，
故的一个正根为3，
如图，
；
将原方程变为，变形得：；
利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图：
，
根据大正方形的面积可得新的方程：，
解得原方程的一个根为
故答案为：；，；
方程变形为：，
根据赵爽的解法可造方程为：，
，，
舍去负值，
，
原方程的一个正数解为：
20.解：任务一：①等边三角形的三个角为，无2倍关系，
等边三角形不是倍角三角形；
②等腰直角三角形顶角为，底角为，则，
等腰直角三角形是倍角三角形；
③含的直角三角形中，三个内角分别为，，，则，
含的直角三角形是倍角三角形；
④顶角为的等腰三角形三个内角分别为，，，则，
顶角为的等腰三角形是倍角三角形；
⑤底角为的等腰三角形的三个内角分别为，，，无2倍关系，
底角为的等腰三角形不是倍角三角形；
故答案为：②③④；
任务二：方法一：平分，则
则
，
，
∽，
，
①，②，
，
，代入②式得，，
，
将①式代入得，
方法二：延长AC至点D，使，
则，
∽，
，
，，
，即，
任务三：由题干结论可知可知：，
，
，
解得或舍
故答案为：4；
任务四：如图，作，交AC于点D，
则，
是2倍角三角形．
，
是的外角，
，
，
又，
∽，
，
，
，
设，则，
，
或不合题意舍去，
；
故答案为：

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