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(共24张PPT)
人教八上数学情境课堂教学课件
第二十一章 四边形
数学活动
1. 理解黄金矩形的概念.
2. 能根据折纸步骤制作黄金矩形，并利用勾股定理和比例关系验证其
宽长比符合黄金比.
3. 理解“出入相补原理”(面积守恒)的基本思想.
4. 能描述利用两个正方形纸片通过剪拼形成一个大正方形的方法，并理解其与勾股定理证明(青朱出入图)的联系.
这些建筑、logo、艺术品为什么看起来这么协调？它们的形状有什么共同点吗？
宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫作黄金矩形. 黄金矩形给我们以协调、匀称的美感. 世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形.
活动1 黄金矩形
如何用矩形纸片，折出黄金矩形？
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用下图的方法折出一个正方形
MNAB，然后把纸片展平；
M
N
B
A
第二步：如下图，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平；
M
N
B
A
C
D
第三步：折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD 折到下图中所示的ED 处；
B
A
C
D
M
N
E
观察与思考
下图中，有哪些结论？
线段：MN=NA=AB、AD= 、 DB=DE.
角：∠BDG=∠GDE、∠BGD=∠EGD、∠P=∠M=∠H=90°、
∠BDE=∠BGE、∠DBG=∠DEG.
特殊图形：四边形MNAB为正方形、四边形DBGE为菱形.
B
A
C
D
M
N
E
G
H
P
第四步：展平纸片，如下图，按照所得的点E 折出EF，矩形BAEF
就是黄金矩形．
M
N
B
A
E
F
(提示：设MN的长为2)
你能说明为什么矩形BAEF是黄金矩形吗？
MN=2
证明：通过折叠可得，四边形MNAB为正方形，
∴MN=NA=AB=2，
∴由第二次折叠可知DA= =1，
∴
∴在Rt△DBA中，DB=
∴AE=DE－DA=
∵由第三次折叠可知DE=DB=
∴矩形BAEF是黄金矩形.
，即矩形BAEF的宽与长的比为
如下图，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们
拼接成一个大正方形吗？
活动2 剪拼正方形
动手试一试，
说说你是如何做的？
下图给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程，你还有其他方法吗
事实上，左图就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”(右图)，利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想.
朱出
c
朱方a
青入
青入
朱入
青出
青出
青方b
1.“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝10，AE＝4，则S△GFI＝(　 　)
A. B. 14
C. 6 D. 3
A
2.(2025广州节选)宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD= +1.如图，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF.然后将纸片展开.
(1)求AB的长；
(1)解：∵AD= +1，矩形ABCD是黄金矩形，
∴ = ，
∴AB= ×( +1)=2；
(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形；
(2)证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，∴AB=AE，∠B=∠AEF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=CD，AD=BC= +1，
∴∠BAE=∠B=∠AEF=90°,
∴四边形ABFE是矩形，
∵AB=AE，
∴四边形ABFE是正方形，
∴AB=BF=EF=AE，
(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形；
由(1)可知，AB=2，
∴AB=BF=EF=AE=2，
∴DE=CF= +1-2= -1，
∵∠C=∠D=∠DEF=90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴EF=CD=2，
∴ ，
∴四边形CDEF是黄金矩形.
3.(阅读理解题)中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，延长FD至点M，使DM＝DF，连接MB，延长FE至点N，使EN＝EF，连接CN，则易证四边形BCNM的面积等于△ABC的面积，进一步可证三角形面积公式．
(1) 求证：四边形BCNM为矩形；
(2) 若DE＝4，AF＝3，求四边形BCNM的面积．
(1)求证：四边形BCNM为矩形；
(1)证明：∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵点D，E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝BD．
在△ADF和△BDM中，
∴△ADF≌△BDM(SAS).
DM = DF
∠ADF = ∠BDM
AD = BD
(1)求证：四边形BCNM为矩形；
∴AF＝BM，∠M＝∠AFD＝90°．
同理可得：CN＝AF，∠AFE＝∠N＝90°，
∴BM＝CN，BM∥CN，
∴四边形BCNM为平行四边形，
∵∠N＝90°，
∴四边形BCNM为矩形．
(2) 若DE＝4，AF＝3，求四边形BCNM的面积．
(2) 解：∵点D，E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8，
由(1)可知，BM＝AF＝3，
∴S矩形BCNM＝BC×BM＝8×3＝24．
黄金矩形
数学活动
原理：面积守恒——图形分割、平移、旋转后再拼接，总面积不变.
剪拼正方形
定义：宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.
验证：通过折纸操作构造，并运用勾股定理和比例关系证明其宽长比符合黄金比.
Thanks!
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