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北京市第四中学2025-2026学年九年级下学期3月学情自测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如果一个多边形的每个内角都相等, 且内角和为, 那么这个多边形的一个外角的度数为( )
A. B. C. D.
4.泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（）
A. B. C. D.
5.若关于x的方程kx2-x+4=0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（　　）
A. 16 B. C. D.
6.2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风-31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风-31AG”导弹的平均速度为（ ）
A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒
7.如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（）
A. 5 B. C. 4 D.
8.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边 AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【 】
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共9小题，共36分。
9.若式子有意义，则 x的取值范围为 ．
10.分解因式： ．
11.分式方程的解为 .
12.学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）.最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成.已知小兰、小竹两位选手的评分如下：
唱功 舞台表现 音色 创意
小兰 90 k 88 85
小竹 92 86 90 89
若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 .
13.若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是 ．
14.如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为
15.如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为 ．
16.小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功．
(1) 若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 盏，挑战成功．
(2) 小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么 ．
17.某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息．
a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分
c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章．
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则 ，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则 （填“>”“<”或“=”）；
(2) 某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
①该频数分布直方图反映的是 （填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第 组；
(3) 该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
18.计算：．
19.解不等式组：．
四、解答题：本题共9小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题3分)
已知，求代数式的值．
21.(本小题4分)
如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，求的长．
22.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．
(1) 求k，b的值；
(2) 当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围．
23.(本小题4分)
小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗 小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题：
(1) 奉节到宜昌的水上距离是多少？
(2) 李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．
24.(本小题4分)
如图，是的直径，点为一点，过点作的切线交的延长线于点D．连接，过点作的垂线，交于点，交于另一点．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长．
25.(本小题4分)
某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．
在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120
保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4
(1) 以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接．
(2) ①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过 天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）．②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为 元．
(3) ①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省 的添加剂（保留整数）．②当浓度在 范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）．
26.(本小题3分)
在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点．
(1) 用含a的式子表示b，并求c的值；
(2) 已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）．
①若，，求H点坐标；
②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围．
27.(本小题4分)
如图，在中，，，点D在射线上，将射线绕点D逆时针旋转，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接．
(1) 如图1，若，求证：．
(2) 如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数．
(1) 如图1，点，在，，中，点 是点C的“垂切点”，垂切系数 ．
(2) 点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为 ．
(3) 已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】x=-3
12.【答案】93
13.【答案】-1
14.【答案】2
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
5
【小题2】
15

17.【答案】【小题1】
<
>
【小题2】
八
4
【小题3】

18.【答案】解：
．

19.【答案】解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
20.【答案】解：∵
∴
∴
．

21.【答案】【小题1】
∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小题2】
∵菱形，
∴．
∵矩形，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：把和代入到中得，
解得；
【小题2】
解：由（1）得函数的解析式为
∵在中，，
∴在中，y随x增大而减小，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于，
∴当时，，
∴；
当时，解得，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值，
∴，
∴，
综上所述，．

23.【答案】【小题1】
设奉节到宜昌的水上距离是．
根据题意得：，解得．
答：奉节到宜昌的水上距离为．
【小题2】
∵，
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．

24.【答案】【小题1】
证明：∵是切线，是直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：描点并连线为：
【小题2】

18
【小题3】
60
20
80

26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
∴；
【小题2】
解：①∵，，
∴，，，
当时，，，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴；
②由（1）得，
∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，
∴，，
∵点H为线段的中点，
∴，，
∴，
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
当时，在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当，即时，在范围内随的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时无解；
当时，
∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，
∴当时，恒成立，
∵，
∴，
∴在范围内随的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值，
∵，，
∴要使恒成立，必须满足，即，
∴此时；
综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】
证明：根据题意，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点是线段的中点，
又∵F为的中点，
∴是的中位线，即，
∴，
∴；
【小题2】
解：①补全图形如下：在图2中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
②，证明如下：
在的延长线上取一点，使，连接，，，令交于点Q，
，，
垂直平分，
，
，
由旋转得，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
∴，
在中，，
，
，
∵，，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
在和中，
，
，
，
，为的中点，
是的中位线，
，
，
．

28.【答案】【小题1】

4
【小题2】
或
【小题3】
解：由题意知，点P关于点C的垂切系数a满足，
如图，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴当在以O为圆心，4为半径的上运动时，始终保持点P关于点C的垂切系数a满足，
∴的取值范围是，
∵，，
∴点M在直线上，为一条水平长度为4的线段，
如图，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可，
当与半径为的相切时，即，解得，
当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去），
当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去），
当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去），
综上所述，t的取值范围是或．

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