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2025-2026学年山东省济南市九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（　　）
A. -2026 B. 2026 C. D.
2.如图，该几何体的左视图是（　　）
A. B. C. D.
3.某地的耕地面积为422800亩.将数据422800用科学记数法表示为（　　）
A. 4228×102 B. 422.8×103 C. 4.228×105 D. 0.4228×106
4.将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则∠α的度数是（　　）
A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 45°
5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是（　　）
A. 2ab+3ab=5a2b2 B. a2 a3=a5 C. （ab2）3=a3b5 D. a8÷a2=a4
7.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+a-b+c（a≠0）和反比例函数y=-的图象在同一坐标系中大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D在边AC上.连接BD.按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接AP并延长，分别交BD，BC于E，F两点.若AD=3DC，连接DF，则DF：FC的值为（　　）
A. B. C. D. 1
10.已知关于x的函数y=x2-2mx+n,当x≤3时，y随x增大而减小，且对于任意的1≤x1≤m+2和1≤x2≤m+2，x1，x2对应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|＜9.记h=m2-2m,则h的取值范围是（　　）
A. -1≤h＜8 B. 3＜h＜9 C. 3≤h＜8 D. 3≤h＜9
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.分解因式：2x2+4x= ______．
12.如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小贤从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为 .
13.如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 .
14.如图A，B两地相距50km,甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲.
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，，点D、E分别是边BC、AC的中点，点F是线段AD上任意一点，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EP，连接AP，H是直线BC上一个动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△QEH，连接PQ，则线段PQ长度的最大值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.解不等式组，并写出满足条件的正整数解.
四、解答题：本题共9小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：.
18.(本小题9分)
已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且△ECF是等边三角形.求证：AE=DF.
19.(本小题9分)
如图1，墙壁上的点A处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB长度为40cm,且AB与墙壁AE所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆BC长30cm,AB与BC的夹角可调节.吊灯连接杆CD垂直于地面，CD=5cm.
（1）如图2，当∠ABC=90°时，求灯口D与墙壁的距离；
（2）如图3，现有一靠墙放置的学习桌FH，FH与地面平行，其距离地面的高度FG为80cm.为了日常使用方便，当AB与BC夹角调整至∠ABC=120°时，灯口D需距离桌面70cm.求点A距离地面的高度.
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
20.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，点D为弦BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点F.记AE与BC的交点为G.
（1）求证：∠BOE=∠CBF；
（2）若点G为CD的中点，⊙O的半径为3，求BF的长.
21.(本小题9分)
为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座.
【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交.
【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图.
【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查所抽取的学生______ 人，并直接补全条形统计图；
（2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为______ °；
（3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？
【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表.
“校园科技节”主题日活动日程表
地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座）
8：00-9：30 ______ E
10：00-11：30 C ______
13：00-14：30 ______ 设备检修暂停使用
22.(本小题9分)
2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元.
（1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价；
（2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆.
①设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元，求W与a的关系式；
②根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆.该体验中心应购进“晨光”型和“清风”型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？
23.(本小题9分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+b与反比例函数的图象交于A（-4，2）、B两点.
（1）求出反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）取第二象限内反比例函数上一点C（点C在点A右侧、直线AB上方），连接AC、BC，当△ABC的面积为30时，求点C的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点D为第四象限内反比例函数图象上的一个动点.连接AD、CD，其中AD与x轴、y轴分别交于点M、P，CD与x轴、y轴分别交于点N、Q.试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，OA=OC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD，点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E，过点F作FH⊥y轴于点H，点N是x轴上一动点.连接FN，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y′，新抛物线y′的顶点P（4，1），CA延长线交抛物线y′于点Q，点K为抛物线y′上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为∠AQP的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程.
25.(本小题9分)
在△ABC中，以AC，BC为边在△ABC外部作等边三角形ACE和等边三角形BCF，且连接EF.
【初步尝试】
（1）在图1中，连接AF，EB，求证：AF=EB；
【深入探究】
（2）在图2、图3中，∠ACB=90°，延长AC交线段EF于点M.
①如图2，当点M为线段EF的中点时，的值为______；
②如图3，在直线AB上方作等边三角形ABD，当点M在△ABD的边上时，的值为______.
【拓展延伸】
（3）在图4中，点C在直线AB上方，AB=6，且，点M为线段EF的中点，连接BM，则线段BM的最大值为______.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】2x（x+2）
12.【答案】
13.【答案】10.8π
14.【答案】0.5
15.【答案】-1
16.【答案】解：解不等式1-x＜2（x+3），得：x＞-1，
解不等式≥x+，得：x≤2，
∴不等式组的解集为-1＜x≤2，
则不等式组的正整数解为1，2．
17.【答案】4．
18.【答案】证明见解析．
19.【答案】当∠ABC=90°时，灯口D与墙壁的距离约为48.7cm；
点A距离地面的高度约为129.3cm．
20.【答案】∵OE是⊙O的半径，点D为弦BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∴∠BOE+∠DBO=90°．
∵BF切⊙O于点B，且OB为⊙O的半径，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF=∠CBF+∠ABC=90°，
∴∠BOE=∠CBF.
21.【答案】50 50.4 B;A;D
22.【答案】“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元 ①W=-a+480；②该体验中心购进“晨光”型汽车30辆，“清风”型汽车50辆时，W最大，W最大为450万元
23.【答案】反比例函数的表达式为y=-，B（1，-8） C（-1，8） =2
24.【答案】y=-x2+2x+3 ，的最小值 11或
25.【答案】∵三角形ACE和三角形BCF是等边三角形，
∴AC=EC，CF=CB，∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠BCF+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠ACF=∠ECB，
在△ACF和△ECB中，
，
∴△ACF≌△ECB（SAS），
∴AF=EB ;或
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