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2025-2026学年江苏省无锡市宜兴市升溪中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A. 3x-1=0 B. x+2y=3 C. x2+2x-1=0 D. x4-1=0
2.一组数据51，52，52，53，54的众数是（　　）
A. 51 B. 52 C. 53 D. 54
3.已知，则=（　　）
A. B. C. D.
4.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的一个根为-1，则m的值为（　　）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 2
5.已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，且△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　）
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
6.抛物线y=3x2向上平移2个单位长度后的函数表达式为（　　）
A. y=3x2-2 B. y=3x2+2 C. y=3（x-2）2 D. y=3（x+2）2
7.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点E是AB延长线上一点，若∠CBE=65°，则∠ADC的度数为（　　）
A. 115°
B. 130°
C. 50°
D. 65°
8.圆锥的母线长为6cm,底面半径为5cm,则圆锥的侧面积是（　　）
A. 15πcm2 B. 30πcm2 C. 45πcm2 D. 60πcm2
9.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x（表格中x从左到右增大）与函数值y的对应值如下表：
x 0 x1 x2 1 3 x3
y 1 y1 y2 0 1 y3
下列判断正确的是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
10.如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心A的坐标为（0，2），点B为x轴上一个动点，过点B作⊙A的切线，切点为C，CD⊥AB于点D.下列结论：①CD的最大值为1；②BC的最小值为；③∠ABC的最大值为30°；④若点B（1，0），则△BCD的面积为.则其中正确的结论有（　　）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.方程x2-4x=0的两根为x1，x2，则x1+x2= .
12.二次函数y=（x-1）2+1图象的顶点坐标是 .
13.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ACB=45°，则∠AOB= .
14.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，且AD：AB=1：4，DE=2cm,则BC= cm.
15.写出一个二次函数的表达式，使其图象经过原点和（4，0）： .
16.一条上山直道的坡度为1：2，沿这条直道上山，每前进10m所上升的高度为 m.
17.如图，将一个球放在空心的透明圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20cm,底面直径BC=16cm,球的最高点到地面的距离为36cm,则球的半径为 cm.（玻璃瓶厚度忽略不计）
18.如图，在正方形ABCD中，AD=4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE=BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点.
（1）若AE=1，则EF的长= ；
（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
（1）求锐角α：；
（2）计算：sin30°+tan45° cos60°.
20.(本小题8分)
解方程：
（1）（x-1）2=9；
（2）x2+x-1=0.
21.(本小题10分)
如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C.
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB=2，AD=4，求线段CD的长.
22.(本小题10分)
在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计：
平均分 中位数 方差
8 9 a 0.107
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计：
平均分 中位数 方差
b 8.8 c
（1）a= ______，b= ______；c= ______；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由.
23.(本小题10分)
某电影院在春节档将推出：A：动画片《哪吒2》、B：爱国剧《志愿军2》、C：动画片《10》三部影片.小明、小华和小恺三人相约随机选择其中一部观看.
（1）求小明和小华都选择动画片观看的概率；（请用画树状图或列表等方法给出分析过程）
（2）小明、小华和小恺三人选择观看的影片均不同的概率为______.
24.(本小题10分)
如图1，点C为圆内一点，AB为该圆的一条弦.
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作直线l与AB平行，分别交该圆于点D、E（点D在点E的左侧）；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若AB与DE位于圆心异侧，且AB=2，DE=4，若该圆的半径为3，则该圆位于AB和DE之间的图形的面积为______.（如需画草图，请使用试题中的图2）
25.(本小题10分)
“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点.如图，某人站在距离摩天轮60米的点A处（即AB=60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点.（人的身高忽略不计）
（1）求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长；
（2）求摩天轮圆轮直径CD的长.
26.(本小题10分)
如图①，在 ABCD中，AB=5，BC=10，sin，P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O.
（1）如图②，若圆心O在边AB上，则此时BP的长为______；
（2）当⊙O与 ABCD的某一边所在的直线相切时，求此时BP的长；
（3）随着点P的运动，⊙O与 ABCD的边的公共点的个数有哪些变化？直接写出对应的BP的长或取值范围.
27.(本小题10分)
为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地.为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为8m），另外三面用棚栏围成.已知栅栏的总长度为18m,设矩形场地中垂直于墙的一边长为x m（如图）.
（1）若矩形种植场地的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？
28.(本小题10分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C，若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y=x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m,点Q的横坐标为n,且0＜n＜m＜3，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.
①求该二次函数的表达式；
②若∠APQ=2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】4
12.【答案】（1，1）
13.【答案】90°
14.【答案】8
15.【答案】y=x2-16（答案不唯一）
16.【答案】2
17.【答案】10
18.【答案】

19.【答案】解：（1）原式整理得：cosα=，
∵α为锐角，
∴α=45°；
（2）原式=+1×
=+
=1．
20.【答案】解：（1）∵（x-1）2=9，
∴x-1=±3，
则x1=4，x2=-2；
（2）∵a=1，b=1，c=-1，
∴Δ=12-4×1×（-1）=5＞0，
则x=，
∴x1=，x2=．
21.【答案】∵∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB（两角对应相等的两个三角形相似） CD=6
22.【答案】（1）8.8，8.8，0.005；
（2）去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据的平均分进行统计更合理，
理由：这样可以减少极端值对数据的影响．
23.【答案】；
．
24.【答案】π+4
25.【答案】解：由题意得：∠BAC=30°，∠BAD=60°，
（1）在Rt△ABC中，tan∠BAC=，
∴CB=tan∠BAC×AB=tan30°×AB=×60=20（米），
答：摩天轮的最低处到地面的距离CB的长为20米；
（2）在Rt△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=tan∠BAD×AB=tan60°×AB=×60=60（米），
∴CD=BD-CB=60-20=40（米），
答：摩天轮圆轮直径CD的长为40米．
26.【答案】3 6或 当0＜BP≤6时，⊙O与 ABCD有3个交点；当6＜BP＜16时，⊙O与 ABCD有4个交点；当BP=16时，⊙O与 ABCD有3个交点；当BP＞16时，⊙O与 ABCD有2个交点
27.【答案】解：（1）由题意得：x（18-2x）=36，
整理得：x2-9x+18=0，
解得x1=3，x2=6，
∵18-2x≤8，
∴x≥5．
∴x=6．
（2）设矩形种植场地的面积为ym2，
由题意得：y=x（18-2x）=-2x2+18x=-2（x-）2+，
∵-2＜0，5≤x＜9，
∴当x=5时，y最大，最大值为40．
答：当x为5米时，矩形种植场地的面积最大，最大值是40m2．
28.【答案】该二次函数的表达式为y=x2-2x-3 若∠APQ=2∠PAO，则2OM+ON是定值，定值为4
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