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2025-2026学年山东省日照市东港区新营中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有理数中，最小的数是（　　）
A. 0 B. -（+1） C. 2 D. -（-1）
2.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.则图乙模型的左视图是（　　）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（　　）
A. （a-b）2=a2-b2 B. a3 a2=a6
C. （ab3）2=ab6 D. （-a-b）（-a+b）=a2-b2
4.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：16，其中AD=8，则OA的长为（　　）
A.
B. 2
C.
D.
5.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）

A. 15m B. 20m C. 20m D. 10m
6.下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A. （a+3）（a-3）=a2-9 B.
C. x2-6x+9=（x-3）2 D. x2+4x+10=（x+2）2+6
7.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD交于点P，则tan∠APC的值是（　　）
A. B. 1 C. 2 D.
8.直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α，则sinα的值为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（　　）
A. -48
B. 48
C. -36
D. -18
10.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性.从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1=2，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an.若，则n的值为（　　）
A. 2024 B. 2025 C. 4049 D. 4050
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为 .
13.如图，电流表中，把指针旋转中心计为O点，针尖为A点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点B，连接AB.若tan∠OAB=，AB=6，则指针OA的长度是 .
14.四个完全一样的矩形如图所示摆放着，夹角为15°，，则CD= .
15.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，在AB的下方有一点D，作DE⊥AB于点E，连接DA，DC，DB，若AB=CD=10，，则线段DE的长度最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
（1）计算：.
（2）先化简：，再从-2，-1，1，2中选择合适的值代入求值.
17.(本小题9分)
已知：在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；
（2）以点B为位似中心，在指定网格的范围中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；
（3）根据图形，△A1B1C1与△A2BC2是关于某一点Q为位似中心的位似图形，点Q的坐标为______，位似比的值为______.
18.(本小题9分)
“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了.
例如：分解因式（a-2b）2+2（a-2b）+1.
解：将a-2b看成一个整体，令a-2b=x,则原式=x2+2x+1=______，将x还原得，原式=（a-2b+1）2.
请根据上述材料回答下列问题：
（1）请补全横线上的步骤：______；
（2）因式分解：（x2+2x+3）（x2+2x-1）+4.
19.(本小题9分)
如图，一次函数y=ax+b与反比例函数的图象相交于A（1，m）、B（4，n）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD，其中tan∠AOC=4.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标.
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠A=，求CD的长．
21.(本小题9分)
“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高.从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题.
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE=1m,并将原来的滑梯CF改为EG.（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD=1.8m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD=42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD=32°.
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）
22.(本小题9分)
一长方体容器（如图1），长、宽均为2，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2、图3所示，E是CD的中点.
【探究】：倾斜后（如图3），
（1）四边形ABCD的面积是______（提示：倾斜前后容器中的水的体积不变）；
（2）请直接写出AD和BC有何数量关系：______.
【拓展】：
（1）如图2，若长方体容器高为8，倾斜容器使得水恰好倒出容器，直接写出cosα=______；
（2）如图3，若A距地面高度为1，试求水面的高度（即C距地面的高度）为多少？（提示：梯形中位线等于上底与下底和的一半）.
【延伸】：
若倾斜后水面最高，此时水面高度是多少？
23.(本小题12分)
定义：两个相似（但不全等）三角形共边且位于一个锐角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形.由这两个叠似三角形组成的四边形称之为叠四边形，例如：如图1，对角线AC平分∠BAD，△ACB∽△ADC，则称△ACB和△ADC为叠似三角形，四边形ABCD为叠四边形.
（1）[初步理解]：如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，，求证：△ACB和△ADC为叠似三角形；
（2）[尝试应用]：如图2，△ACB和△ADC为叠似三角形，若CD∥AB，AD=4，AC=6，求叠四边形ABCD的周长；
（3）[拓展提高]：如图3，在△ABC中，，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是叠四边形，请求出这个叠四边形两条对角线的长（求出两对即可）.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x≤2026
12.【答案】2.215×107
13.【答案】5
14.【答案】2
15.【答案】
16.【答案】-4 ；x=1，原式的值为
17.【答案】（2，-2） （1，0） （3，-4）;
18.【答案】（x+1）2 （2）（x+1）4
19.【答案】一次函数的解析式为y=-x+5，反比例函数的解析式为 点P的坐标为或（-5，0）
20.【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O经过B，D两点，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD⊥AC．又OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵BC=6，tan∠BAC=，
∴AC=8，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即，
解得：R=，
∴OD=，
在Rt△ABC中，OD⊥AC，
∴tan∠A=，
∴AD=5，
∴CD=3．
21.【答案】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，
则四边形CDHE为矩形，
∴EH=CD=1.8m,DH=CE=1m,
在Rt△CDF中，∠CFD=42°，CD=1.8m,
则DF=≈=2（m），
∴HF=DF-DH=2-1=1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH=32°，EH=1.8m,
则HG=≈=2.88（m），
∴FG=HG-HF=1.88（m），
答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．
22.【答案】10；
AD+BC=10；
【拓展】 ；
水面的高度为；
【延伸】倾斜后水面最高时水面高度是
23.【答案】在△ADC中，∠DAC+∠D+∠DCA=180°，
∴，
∵，
∴，
∴∠D=∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴△ACB∽△ADC，
∴△ACB和△ADC为叠似三角形 叠四边形ABCD的周长为23 “叠似四边形”ADBC的对角线，或“叠似四边形”ADCB的对角线，
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