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2025-2026学年重庆市渝北中学九年级（上）期末数学模拟试卷（二）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.π的相反数是（　　）
A. B. - C. -π D. π
2.下列高速集团LOGO属于中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 调查某批蔬菜种子的发芽率 B. 检测重庆市某区九年级学生的期末成绩
C. 调查全国消费者对某快餐店新套餐的评价 D. 调查重庆市电视台某节目的收视率
4.上海交大科研团队利用电光梳与回音壁散斑图案结合，实现了0.8飞米分辨率的光谱测量，已知1飞米等于0.000000000000001米，则0.8飞米可用科学记数法表示为（　　）
A. 0.8×10-14米 B. 8×10-14米 C. 8×10-15米 D. 8×10-16米
5.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为点E，连接AD、OC，若∠A=25°，则∠BOC的度数是（　　）
A. 25°
B. 40°
C. 50°
D. 65°
6.用圆圈按如图所示的规律平移得到新的图形，其中第①个图案中有5个圆圈，第②个图案中有11个圆圈，第③个图案中有17个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中圆圈的个数为（　　）
A. 35 B. 41 C. 47 D. 53
7.下列函数经过点（3，5）的是（　　）
A. B. y=3x+2
C. D.
8.在春节黄金周期间，某杂货店第一天日盈利500元，第三天日盈利720元，若第一天到第三天盈利的日均增长率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的增长率是（　　）
A. 5% B. 10% C. 15% D. 20%
9.如图，在正方形ABCD中，连接BD，E为CD边上一点，连接BE，过D作BE的垂线交BE延长线于点F，垂足为点F，连接AF，过点C作CG⊥BF，垂足为点G，若EF=EG，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式A=x2+mx+2，B=x2-nx+9.下列说法：
①.当A=0时，满足条件的x的积为2；
②.当B=0时，则存在这样的实数根x1、x2能使（x1+1）（x2+1）=12；
③.当m+n=1时，则整式A2+B2-2AB+（A-B）2可取到最小值，最小值为0；
④.当方程A=0与B=0存在一组互为倒数的实数根时，符合条件的整数m与n一共有2组.
其中正确的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，共32分。
11.有四张完全一样正面分别写有汉字“坚韧”“忠勇”“开放”“争先”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后，不放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上是“忠勇”“争先”的概率是 .
12.若实数x满足x2+x-1=0，则x3-2x-3= .
13.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，P、Q分别是Rt△ABC的内心和外心，连接PQ，若，则PQ的长 .
14.在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC中点，以AD为直径画半圆，恰好交BC于点F，以点C为圆心，CF为半径画弧FD，以点F为圆心，BF为半径，画弧BE，弧AF交弧BE于点G.若AB=6，则阴影部分的面积是 .（结果保留π）
15.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为点E，⊙O的切线BF、CF交于点F，切点分别为B、C，连接AF，G为劣弧的中点，连接CG，连接BG交CD于点H，延长ED至点I使EI=AE，连接AI交⊙O于点J，若，，则AF长 ；= .
16.若一个各数位互不相同且都不为0的四位数满足千位与个位之和能被3整除，其差等于百位和十位之和，那么我们称这个数为“春函数”.例如：四位数6123，∵，6-3=1+2，∴6123是“春函数”.若b=5c,则符合条件的“春函数”是 ；若一个“春”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，若F（M）能被3整除，则满足条件的最大的“春函数”M是 .
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组的所有整数解，并把解集表示在数轴上.
18.(本小题8分)
渝北中学数学兴趣小组展开了关于等腰三角形的研究.小渝认为在任意等腰三角形顶角的外角平分线中，作同侧的底角的角平分线与之相交，则一定会产生等腰三角形，请根据他的想法与思路完成以下任务.
（1）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF平分∠CAE，用尺规作BG平分∠B交AF于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF平分∠CAE，BG平分∠B.
求证：△ABG是等腰三角形.
证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴①______，
∵∠CAE是△BAC的外角，
∴∠CAE=∠B+∠C=2∠B，
∵AF平分∠CAE，
∴，
∴∠EAF=∠B，
∴②______，
∴∠AGB=∠CBG，
∵BG平分∠B，
∴∠ABG=∠CBG，
∴③______，
∴AB=AG，
∴△ABG是等腰三角形.
19.(本小题10分)
重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80，D.60＜x＜70），下面给出了部分信息：
七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85
八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 81 81
中位数 a 82
众数 90 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，从中选择一个你最喜欢的整数代入计算.
21.(本小题10分)
某特产店推出了腊肠礼盒，腊肠是逢年过节必备的食物，所含的营养物质还有助于人体吸收有效的营养.该特产店各花1250元，1750元采购了川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒，采购川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的盒数相同，且每盒广式腊肠礼盒的进价比川式腊肠贵10元，最后以40元、60元每盒的售价分别售卖川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒.
（1）求每盒川式腊肠礼盒和广式腊肠礼盒的进价；
（2）在第一次销售完成后，腊制品厂改良了两种腊肠的配方，市场反响大，订单增加，特产店在川式腊肠礼盒第一次的基础上多购进了30盒，进价不变，售价提升了m元，在广式腊肠礼盒第一次的基础上多购进了m盒，并提高了售价的2m%，这两次销售的过程中所有腊肠礼盒全部售出，若第二次比第一次多盈利1305元，求m的值.
22.(本小题8分)
如图，△ABC和△CDE是等腰直角三角形，，C、A、E三点共线，动点P从点B出发，以每秒个单位的速度沿B→A→C运动，作PM∥BC交CD于点M，动点Q从点C出发，以每秒1个单位沿C→E运动，连接AM、DQ，设运动时间为x秒，记S△ACM为y1，为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23.(本小题8分)
某山区为应对突发情况，设立救援指挥部.已知指挥部A，补给点B，山脚在同一条直线上，标记点C在指挥部A的东北方向，补给点B的北偏西60°方向，瞭望塔D在标记点C的北偏东75°方向米处，且距补给点B的距离与标记点C距补给点B的距离相等.瞭望塔D距山脚E米.（参考数据：，，）
（1）求指挥部A与山脚E的距离（结果保留整数）；
（2）某次救援行动中，有求救者在山脚E求救，巡逻队员发现后通知救援队并让求救者向补给点B撤离，同时救援队员从瞭望塔D出发，并以求救者1.5倍的速度赶往补给点B，当救援队员与求救者相距100米时可建立联系.求救援队员行驶多少米后能与求救者联系.（结果保留小数点后一位）.
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），C（6，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为lBC下方抛物线一动点，直线BC上有点E、F满足点E在点F的左侧且，当S△CBD最大时，求此时点D的坐标与AF+EF+DE的最小值；
（3）将抛物线沿直线AB方向平移个单位得到新抛物线y′，在新抛物线y′找一点P使∠ABC+∠CAP=135°，求符合条件的所有P的坐标，并写出至少一个求解P的坐标的过程.
25.(本小题8分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠ABC，D为BC边上一点，F为平面内一点，连接CF，G为BC中点.
（1）如图1，点E在点B左侧且满足∠CBE=120°，∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若DF⊥BC，BE=6，CE=14，求DF的长；
（2）如图2，F在△ABC内且在点D右侧，满足∠DAF=45°，过B作BJ⊥AJ交AD延长线于点J，连接FG，CF是∠ACB的角平分线，取CF中点H，连接HG并延长交BJ于点I，若∠AFC+2∠GBJ=180°，判断DJ、IJ、AF的数量关系并证明；
（3）如图3，在（1）的条件下，∠DAF=45°且F为AC垂直平分线上一点，在射线GF上有一点F'，将△CF′G沿F′C翻折得到△CF′G′，过C作CP⊥G′P交G′F′的延长线于点P，连接AP、BP，当最小时，延长BP交AC于点N.延长AF交BC于点M，当DM最短时，求S△CMN.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】-4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】9513
8521

17.【答案】不等式组的解集为 0≤x≤3，整数解为 0，1，2，3，．
18.【答案】如图，BG即为∠B的平分线； ∠ B=∠C;AF∥BC;AGB=∠ABG
19.【答案】86;90;30 年级的成绩更好，理由如下：
根据数据可得七八年级的平均数和众数都相同，但是七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级的成绩更好 七、八年级共有350人得到A等级
20.【答案】；．
21.【答案】每盒川式腊肠礼盒的进价为25元，每盒广式腊肠礼盒的进价为35元 m=5
22.【答案】， 按照描点、连线的步骤画出函数图象如下：
；函数y1的性质：当0≤x≤4时，y随x的增大而增大；当4＜x≤8时，y随x的增大而减小；函数y2的性质：y随x的增大而减小 2＜x＜7.5
23.【答案】指挥部A与山脚E的距离约为1219米 救援队员行驶约486.4米后能与求救者联系
24.【答案】 或或或
25.【答案】 ，理由如下：
连接AG，BF，延长FG交BJ延长线于点K，连接JG，
由（1）知△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
又∵点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，BG=GC，
∴∠BAG=∠CAG=45°，
∵∠AFC+2∠GBJ=180°，
设∠GBJ=α，则∠AFC=180°-2α，
又∵∠BJA=90°，
∴∠BAJ=90°-（∠ABC+∠GBJ）=45°-α，
∴∠DAG=∠BAG-∠BAJ=α，
∵∠DAF=45°，
∴∠GAF=∠DAF-∠DAG=45°-α，
∴∠FAC=∠CAG-∠GAF=α，
在△AFC中，∠FAC+∠FCA=180°-∠AFC=2α，
∴∠FAC=∠FCA=α，
∴AF=FC，即△AFC为等腰三角形，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴，
在△BGK和△CGF中，
，
∴△BGK≌△CGF（ASA），
∴FC=BK，FC∥BK，
∵H为FC的中点，G为BC的中点，
∴HG∥BF，，
∴四边形BFHI是平行四边形，
∴BI=FH，
∴FH=HC=BI=IK，
即点I为BK的中点，
∵∠BJA=∠BGA=90°，
由圆周角定理可知，点B，J，G，A四点共圆，
∴∠ABG=∠AJG=45°，∠BAJ=∠BGJ=α=22.5°，
∴∠KJG=∠DJK-∠DJG=45°，
∵AG=GC，AF=FC，
∴GF是AC的垂直平分线，
∴∠AGF=∠CGF=45°，
∴∠CGF=∠BGK=45°，
∴∠KGJ=∠BGK-∠BGJ=22.5°，
∴∠KGJ=∠DGJ，JK=JK，
∴△DGJ≌△KGJ（ASA），
∴DJ=JK，
∴，
即
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