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2026年河南商丘市睢县尚屯镇第三初级中学等校九年级第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各实数中，为无理数的是（）
A. B. 0 C. D.
2.星空作幕、前海湾畔灯火璀璨，第十五届全国运动会在粤港澳三地的同心期盼中圆满落幕．据官方统计，截至2025年11月16日，十五运会市场开发收入达亿元，涵盖赞助、捐赠、门票、特许经营等方面．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）
A. B. C. D.
4.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ）
A. B. C. D.
5.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6.如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（ ）
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
7.下列方程没有实数根的是（）
A. B. C. D.
8.宁陵金顶谢花酥梨是商丘的特产，已有700年栽培历史．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的梨树进行种植，则应选的品种是（）
甲 乙 丙 丁
20 20 19 18
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
10.如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若代数式有意义，写出一个满足条件的实数的值 ．
12.如果点P（）在第四象限，则ｍ的取值范围是 ．
13.永城市有四项非物质文化遗产被成功申报为省级非物质文化遗产项目，分别是“永城大铙”、“柳琴戏”、“清音”和“芒山石雕”．为更好的宣传永城的历史文化，文化部门准备在文化节推出其中两项进行今年的宣传重点，为公平推介，主办方用四张相同的卡片分别写上这四项非物质文化遗产的名称，正面向下，随机抽取两张卡片，则抽到的卡片书写着“清音”和“芒山石雕”的概率为 ．
14.如图，等腰直角三角形中，，点为的中点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分周长为 ．
15.如图，矩形中，点，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算与化简
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
河南是农业大省，小麦在河南广泛种植．为了解不同品种的小麦的生长状况，某中学生物实践小组利用学校生物实验园中两块等面积的土地种植“郑麦379”和“郑麦1860”两个品种的小麦，两块麦田各撒入1000枚小麦种子，且均发芽成长．4月份，同学们在两块麦田中各随机选取10株小麦测量高度记录小麦长势，并对它们进行整理、描述和分析（高度用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．
下面给出了部分信息：
“郑麦379”的高度（单位：）：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
“郑麦1860”在D组中的高度（单位：）：92，92，97，99，99，99．
品种 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比
郑麦379 90 a 94
郑麦1860 90 92 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空： ， ， ；
(2) 请估计两块麦田中在A组的小麦的株数；
(3) 根据以上数据，你认为哪种小麦的长势更好？请说明理由（写出一条理由即可）
18.(本小题10分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点P是线段上一个动点，
①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）；
②当时，求点Q的坐标．
19.(本小题5分)
焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动．
课题 测量焦裕禄纪念碑的高度
示意图
测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上；步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上．
测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内．
请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB．
20.(本小题10分)
初春时节，草莓飘香，某果品店购进一批质量相等的奶油草莓和普通草莓，其中购买奶油草莓用了400元，购买普通草莓用了240元，已知每千克奶油草莓的进价比每千克普通草莓贵8元．
(1) 求每千克奶油草莓与普通草莓的进价；
(2) 第一次进货售完后，果品店准备再次购买两种草莓100千克，已知两种草莓每千克的进价不变，且再次购买的费用不超过1500元，若奶油草莓的销售单价为25元，普通草莓的销售单价为15元，则该果品店应如何进货，可使第二批的两种草莓售完后获得利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题10分)
周末，小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为直径），他发现，自己的位置A、小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A、小红的位置C和地面点E在同一直线上．连接，，，请回答下列问题：
(1) 求证：；
(2) 若摩天轮的直径高度，，，求小红和小亮的距离的长．
22.(本小题10分)
某班“迎五四青年节”活动将举行掷篮球比赛，小明不知道比赛规则，只知道将篮球掷出的距离．为取得好成绩，小明在课余时间进行了练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，球的运动路线近似为抛物线的一部分（把篮球看做一个点）．为了研究这个过程，小明建立了如图所示的平面直角坐标系，其中，以水平地面为轴，点距离轴且距离水平地面（轴），点距离轴，抛物线经过轴于点，抛物线的解析式为．
(1) ①求抛物线的解析式；②求抛物线的顶点坐标；
(2) 比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以处为中心放做一个高为，直径为的圆筐，其截面为矩形，若抛物线恒过，两点．
①求与之间满足的关系式；
②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围．
23.(本小题10分)
如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M．
(1) 试判断与的数量关系，并证明；
(2) 当时，如图2，连接，射线交于点N．
①请判断与的数量关系，并证明；
②若的两直角边的比为，请直接写出的值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】(答案不唯一)
12.【答案】m＞4
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
93
99
10
【小题2】
解：（株），
两块麦田中在A组的小麦的株数约有200株；
【小题3】
解：“郑麦379”的长势更好．
∵“郑麦379”的中位数高于“郑麦1860”，
∴“郑麦379”的长势较好的小麦较多．（答案不唯一，合理即可）

18.【答案】【小题1】
解：依题意得：点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小题2】
解：①如图所示，即为所求；
②对于，当时，，
∴点B的坐标为，
∵点P在线段上，
∴设点P的坐标为，其中，
∵轴，
∴点Q的纵坐标为，
∵点Q在反比例函数的图象上，
∴点Q的坐标为，
∵，
∴，
整理得：，解得：，（不合题意，舍去），
当时，，，
∴点Q的坐标为．

19.【答案】解：∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，，
解得．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：焦裕禄纪念碑的高度AB为19米．

20.【答案】【小题1】
解：设每千克普通草莓为元，则每千克奶油草莓是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
（元），
答：每千克奶油草莓为20元，每千克普通草莓为12元；
【小题2】
设可再购买千克奶油草莓，则购买千克普通草莓，
根据题意，得，
解得；
每千克奶油草莓的利润为：（元），
每千克普通草莓的利润为：（元），
设总利润为元，
根据题意，得，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当时，有最大值，，
此时，，
答：该果品店购买37.5千克奶油草莓，62.5千克普通草莓，获得利润最大，最大利润是375元．

21.【答案】【小题1】
证明：∵水平地面与相切于点M，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：∵，，，
∴，
∵水平地面与相切于点M，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：①由抛物线，过点，，
得，
∴
∴；
②∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
【小题2】
解：①∵点的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，整理得：；
②∵，圆筐的截面为矩形，
∴，，
当抛物线经过点时，，解得：；
当抛物线经过点时，，解得：；
综上可得：，

23.【答案】【小题1】
解：，证明如下：
如图1，连接，
∵在中，，将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小题2】
解：①，证明如下：
如图2，延长，交于点，
由（1）已证：，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
②由题意，设的两直角边长分别为，
则，
由旋转的性质得：，
如图3，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
（Ⅰ）当时，则，
∴，
∴在中，，
由（2）①已证：，
∴，
∴；
（Ⅱ）当时，则，
∴，
∴在中，，
由（2）①已证：，
∴，
∴；
综上，的值为或．

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