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2026年河南省安阳市安阳县北郭乡第一初级中学等校一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-的相反数是（　　）
A. - B. C. - D.
2.据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（）
A. B. C. D.
3.汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
5.光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7.中国古代数学有着辉煌的成就,《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容, 恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是( )
A. B. C. D.
8.一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向,距离灯塔45海里的A处,它沿北偏东方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处,此时与灯塔P的距离约为( )(参考数据:,,)
A. 27海里 B. 50海里 C. 75海里 D. 15海里
9.《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”(也称勾股圆方图)，在如图所示的“赵爽弦图”中，中间小正方形的边长为1，分别以B，D为圆心，长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的x的值 .
12.不等式组的解集为 ．
13.已知二次函数y=a（x-1）2+2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值： .
14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点.若点的坐标是，则点的坐标是 .
15.定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算与化简
(1) 计算：；
(2) 先化简，再求值：，其中．
17.(本小题10分)
截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．
a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160）
b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：
25 28 28 30 37 37 38 39 39
(1) 2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 （亿元）；
(2) 2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名；
(3) 小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：
①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差 （填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．
18.(本小题8分)
如图，中，．
(1) 尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
19.(本小题10分)
请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴．小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1) 小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2) 如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3) 如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则 (用含k的代数式表示)．
20.(本小题8分)
如图，，，，是上的四个点，，交于点，，．
(1) 求的长；
(2) 若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程．
21.(本小题8分)
为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（ ），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．
(1) 从 ， ， 中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 随 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
(2) 查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
22.(本小题11分)
综合与实践
深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究：
把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为．
(1) 求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）．
(2) 如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值．
(3) 如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具 个．
23.(本小题12分)
几何综合
(1) 【方法尝试】如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：；
(2) 【类比迁移】
如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，．
请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
当点，，在同一直线上时，求线段的长；
(3) 【拓展延伸】如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】5（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】1（答案不唯一）
14.【答案】（-2，-1）
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
，
当时，原式．

17.【答案】【小题1】
37.5
【小题2】
六
【小题3】
解：①从折线统计图中可直观看出自治区的中央财政拨款金额的离散程度比自治区的要大，
即自治区的方差比自治区的方差大，
故答案为：；
②从近几年的中央财政拨款金额的变化来看，自治区拨款金额连年增加，说明中央加强对自治区扶贫力度，脱贫任务比较艰巨，
而自治区的拨款金额变化先增后降，说明自治区脱贫效果明显，已逐渐脱贫．

18.【答案】【小题1】
解：如图，线段即为所求；
【小题2】
证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．

19.【答案】【小题1】
解：正确．证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
【小题2】
证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
【小题3】
k

20.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
选择条件：，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选择条件：是的直径，如图，
由圆周角定理得，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择条件：，如图，
∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
要使，则需是的直径，题意没有说明，
故选择条件：不能证明．

21.【答案】【小题1】
解：由图象可知，场景A中 随 变化的函数关系为 ，
将 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ；
场景B中 随 变化的函数关系为 ，
将 ，代入 ，得 ，解得 ，
∴ ；
【小题2】
解：场景A中当 时， ；
场景B中，将 代入 ，得 ，解得 ，
∵ ，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．

22.【答案】【小题1】
解：∵曲线最高点点坐标为
∴设，
∵图象过原点，
∴，
解得：，
∴；
【小题2】
∵曲线由曲线平移得到，的长度为6，
∴曲线的解析式为：，
设，
由题意，可知：，关于对称轴对称，
∴，
∴矩形花园周长为：
，
∴当时，矩形花园的周长最大，为20；
【小题3】
26

23.【答案】【小题1】
证明：如图，延长交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：，，理由：
如图，延长分别交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，；
如图，当点落在线段上时，设，
∵，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴；
如图，当点在线段上时，
设，则，，
∵，
∴，
整理得，，
∴，（舍去），
∴，
∴综上所述，线段的长为或；
【小题3】
解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，即最大值为，
∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，
∴．

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