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2025-2026学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，由四个相同的小正方体组成的几何图形的俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.如图，已知△ABC∽△DEF；AB：DE=2：1，若DF=2，则AC的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.二次函数y=2（x-1）2+3的顶点坐标是（　　）
A. （1，3） B. （-1，3） C. （1，-3） D. （-1，-3）
4.某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么tan∠BAC的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠C=30°，AB=4，则⊙O的半径是（　　）
A.
B. 3
C. 4
D.
7.下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　　）
A. 菱形的对角线一定相等 B. 矩形的对角线一定互相垂直
C. 菱形的四个角一定相等 D. 正方形的对角线一定互相垂直平分且相等
8.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的10000辆增加到三月份的14400辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 10000（1+2x）=14400
B. 10000（1+x）2=14400
C. 10000×2（1+x）=14400
D. 10000+10000（1+x）+10000（1+x）2=14400
9.如图，E（-4，2），F（-1，-1），以点O为位似中心作△EOF的位似图形△E′OF′，使它与△EOF的相似比为1：2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（　　）
A. （-2，-1）
B. （2，-1）
C. （-2，-1）或（2，-1）
D. （2，-1）或（-2，1）
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），顶点为M（-1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-3）之间（不含端点）则下列结论：①abc＜0；②当-3≤x≤1时，y≤0；③将该抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为y=a（x+3）2-4a+2；④|ax2+bx+c|=1-m有两个实数根；其中正确的结论是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若，则的值为 .
12.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实根，则m的值为 .
13.如图是长为4米、宽为2米的长方形花台，工人在以B、C为圆心，宽为半径所作的2个扇形区域（阴影部分）种花，剩下部分种草.甲、乙两人在花台旁边打羽毛球，羽毛球被抛进花台后，落到花丛中的概率为 （结果保留π）.
14.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（-3，y1），（-2，3），（l,y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＜”连接）.
15.如图，把正方形ABCD的对角线AC绕着顶点A旋转到AE，以AE为一边作正方形AEFG，过E，C作直线EC，过G作GH⊥EC，垂足为H，连接FH，则的值是 .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
解方程：
（1）（x+5）2=25；
（2）x2-6x+8=0.
18.(本小题7分)
如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证：DE=DF．
19.(本小题8分)
如图1是我市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，采用的是智能化按键式开启投放门的投放方式，让市民的垃圾投放变得更智能更环保，图2是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板AB长45cm,挡板底部距地面高度BD为120cm,A，B，D三点共线，挡板开启后，张角∠CAD的最大值为57°.
（1）求投放门前端C到AD的最大距离；
（2）求投放门前端C到地面DE的最大距离.（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
20.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠D=90°，BC平分∠ABD.
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若，AB=4，求BD的长.
21.(本小题9分)
周末是学生平衡休息、兴趣与自主学习的时间，能帮助学生成长为更具适应力的个体.某校随机抽取了部分九年级学生进行问卷调查，了解学生“喜爱的周末活动方式”，问卷设置了4种选项：A.兴趣技能拓展；B.户外运动；C.阅读学习；D.志愿服务实践.现收集、整理，分析数据后，绘制了如下不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题：
（1）参与此次调查的学生总人数为______人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中C选项所对应的圆心角的度数为______；
（3）为丰富学生周末活动，学校开放篮球，排球，羽毛球和足球场地，若小泽和小航参加不同的运动，求两人恰好参加篮球和羽毛球运动的概率.
22.(本小题10分)
综合与实践
主题 “知耕园”生态农场田地设计
情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程.
任务一 要求：设计的每一条小路宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边.同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中AB=CD=IJ=EF=KL=HG.
问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？
你的判断是______；（填“相等”或“不相等”）
②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米.
任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃.如图，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆EF的矩形花圃ABCD.
问题二 （2）若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边AB的长.
23.(本小题10分)
如图，一次函数y=x+m（m＞0）的图象与反比例函数的图象交于点A，B（点A位于第三象限），且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D.
（1）当m=1时，
①求点C，D的坐标；
②求线段BC的长；
（2）若，求m的值.
24.(本小题12分)
已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
【问题引入】
如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF=AE，连接AF，CE，求AF+CE的最小值.
【问题解决】
（1）小明同学提出了以下思路：如图2，延长DA至点G，使得AG=AB，连接EG，当G，E，C三点共线时，AF+CE最小.
①AF与EG的数量关系是______；
②AF+CE的最小值为______.
【能力运用】
（2）小涵同学发现，若将题目中的“BF=AE”改为“BF=2AE”，我们就可以求出AF+CE的最小值，如图3，请求出AF+CE的最小值，并说明理由.
【挑战自我】
（3）小晴同学又发现，当点E，F在矩形ABCD的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出2AE+AF的最小值，如图4，点E，F在对角线BD上，BF=2DE，请直接写出2AE+AF的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】y2＜y3＜y1
15.【答案】
16.【答案】1．
17.【答案】x1=-10，x2=0 x1=2，x2=4
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC=AD=DC，∠A=∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF
∴AD-AE=DC-CF，即DE=DF．
19.【答案】投放门前端C到AD的最大距离CF约为37.8cm 投放门前端C距地面DE的最大距离约为140.7cm
20.【答案】（1）证明：如图，连接OC．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC=∠OCB．
∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠BCD=90°．
∴∠OCB+∠BCD=90°，
即∠OCD=90°．
∵OC是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，AB=4，
∴∠ACB=90°，OA=OB=AB=×4=2，
∵，
∴BC==2．
∴BC=OB=OC．
∴△OBC为等边三角形．
∴∠OCB=60°．
由（1）可知∠OCD=90°，
∴∠BCD=30°．
∴在Rt△BCD中，．
21.【答案】300； 72°
22.【答案】①相等；②1；
30米
23.【答案】①D（0，1），C（-1，0）；②BC=4 m=4
24.【答案】解：（1）∵B的坐标为（1，0），
∴OB=1．
∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，
∴C（0，-3）．
∵将B（1，0），C（0，-3）代入抛物线的解析式得：，解得：a=，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．
（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．
∵x=-==-，B（1，0），
∴A（-4，0）．
∴AB=5．
∴S△ABC=AB OC=×5×3=7.5．
设AC的解析式为y=kx+b．
∵将A（-4，0）、C（0，-3）代入得：，解得：k=-，b=-3，
∴直线AC的解析式为y=-x-3．
设D（a，a2+a-3），则E（a，-a-3）．
∵DE=-a-3-（a2+a-3）=-（a+2）2+3，
∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3．
∴△ADC的最大面积=DE AO=×3×4=6．
∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．
（3）存在．
①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，-3），令x2+x-3=-3，
∴x1=0，x2=-3．
∴P1（-3，-3）．
②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．
∵C（0，-3），
∴P2，P3的纵坐标均为3．
令y=3得：x2+x-3=3，解得；x1=，x2=．
∴P2（，3），P3（，3）．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）．
25.【答案】AF=EG;3 AF+CE取得最小值为6 2 AE+AF的最小值为6
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