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2025-2026学年湖北省荆州市沙市区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C. 任意画一个三角形其内角和是180° D. 早上的太阳从西方升起
3.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上“的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计”钉尖向上“的概率是（　　）
A. 0.618 B. 0.620 C. 4500 D. 1000
4.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB=88°，则∠ACB为（　　）
A. 11°
B. 22°
C. 33°
D. 44°
5.二次函数y=x2+5的图象不经过的象限为（　　）
A. 第三象限、第四象限 B. 第二象限、第四象限
C. 第一象限、第二象限 D. 第一象限、第四象限
6.若点（-4，y1）、（-2，y2）、（3，y3）都在反比例函数的图象上，则有（　　）
A. y3＞y2＞y1 B. y3＞y1＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y2＞y3
7.如图，从一块长10m、宽8m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为24m2，求长方形框的宽度.设长方形框的宽度为x m,则可列方程为（　　）
A. （10-2x）（8-2x）=24 B. （10+2x）（8-2x）=24
C. （10-2x）（8+2x）=24 D. （10+2x）（8+2x）=24
8.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A'CB'，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 90°
9.如图，半径为5和的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD=8，则AB的大小为（　　）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10.如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　）
A. 1 m
B. 2 m
C. 3 m
D. 6 m
11.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O经过点C.以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在△ABC内部交于点P，画射线BP分别交弦AC、劣弧于点D，E，连接OD.下列结论正确的是（　　）
A. OD=CD
B.
C. 点D为弦AC的中点
D. 点E为劣弧的中点
12.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，若am2+bm+c=p（p≠0），下列判断正确的是（　　）
A. 若a＞0，则p（m-x1）（m-x2）≥0 B. 若a＞0，则p（m-x1）（m-x2）＞0
C. 若a＜0，则p（m-x1）（m-x2）≥0 D. 若a＜0，则p（m-x1）（m-x2）＞0
13.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从点B出发沿BD方向以的速度运动至点D，点N同时从点B出发沿B→C→D方向以2cm/s的速度运动至点D.设运动的时间为xs,△BMN的面积为ycm2.已知y与x之间的函数图象如图2所示，则a的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
14.在平面直角坐标系中，点A（3，-4）关于原点的对称点的坐标为 .
15.从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是 .
16.为积极响应国家“双减政策”，某学校2024年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2024年第四季度和2025年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为480分钟.设每季度平均每周作业时长的下降率为x,则可列方程为 .
17.点（-1，3），（-1，-3），（1，-3），中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象上，这个点是 .
18.如图，在 ABCD中，∠B=50°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为 .（计算结果保留π）
19.如图，已知A（5，0），B（4，4），以OA、AB为边作 OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为 ．
20.已知m,n是方程的两个根.记，，…，St=（t为正整数）.若，则t的值为 .
21.如图1，球员射中球门的难易程度与他所处的位置C对球门AB的张角（∠C）有关.当球员在C，D处射门时，则有张角∠C=∠D.如图2，若∠BOC=45°，米，A是OB的中点，球员在射线OC上的P点射门时的最大张角为45°，则OP的长度为 .
三、解答题：本题共7小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题6分)
解下列方程：
（1）x2+10x+25=0；
（2）x2-2x-1=0.
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标.
24.(本小题7分)
为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图.如图所示，根据物理知识“在开关S1闭合的情况下，再闭合S2，S3，S4中的任意一个开关，小灯泡就会发光.”李老师提出了如下的数学问题.
（1）在开关S2闭合的情况下，随机闭合S1，S3，S4中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为______；
（2）当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率.
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接CB，以DC为边在DC的左侧作∠CDF，交BA的延长线于点F，且∠FDC=2∠B.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CD=10，BH=5AH，求⊙O的半径.
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0），如果m=2n,则称双曲线y=（n＞0）是双曲线y=（m＞0）的“半双曲线”.（1）写出y=的“半双曲线”是______；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是y=在第一象限内图象上任意一点，过点A作与y轴平行的直线交y=的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积.
27.(本小题9分)
设抛物线y=-x2+bx+4（b为常数）经过点（-1，0）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A（0，t）（其中t＜4）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C右侧），若AB=2AC，求t的值；
（3）若点（m-1，y1），（m,y2）在抛物线上，且始终满足y1＜y2，求m的取值范围.
28.(本小题12分)
（1）如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；
（3）如图3，若△ABC是等边三角形，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若DE⊥CE，且AD=10，，求△ABC的边长.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】D
12.【答案】A
13.【答案】C
14.【答案】（-3，4）
15.【答案】
16.【答案】600（1-x）2=480
17.【答案】（-1，-3）
18.【答案】π
19.【答案】y=-
20.【答案】10
21.【答案】9米
22.【答案】x1=x2=-5；
，
23.【答案】图见解析 图见解析，C2（1，-3）
24.【答案】
25.【答案】如图1，AB⊥CD，AB是⊙O直径，连接OD，
∴，
∴∠COA=∠DOA=2∠B，
∵∠FDH=2∠B，
∴∠FDH=∠DOA，
∵CD⊥AB，
∴∠DHO=90°，
∴∠AOD+∠HDO=90°，
∴∠FDH+∠HDO=90°，即∠FDO=90°，
∴OD⊥FD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线
26.【答案】 △AOB的面积为2
27.【答案】y=-x2+3x+4 t=-14 m＜2
28.【答案】：BD=CE，
理由如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠BEC=60°，
∴∠AEB=∠BEC，
∴EB平分∠AEC
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