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2025-2026学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. xy-1=2 B. 2x+1=5 C. x-3y=4 D. x2+2x=3
2.用配方法解方程x2-8x-5=0，变形后的结果正确的是（　　）
A. （x-4）2=21 B. （x-4）2=5 C. （x+4）2=5 D. （x+4）2=21
3.如图，正五边形ABCDE的边AE，CD的延长线相交于点F，则∠F的度数是（　　）
A. 30°
B. 36°
C. 37.5°
D. 40°
4.某校九年级10个班级向某贫困地区捐献图书的册数如表：
班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班
册数 84 65 98 84 90 76 84 90 103 86
这10个班所捐图书册数的中位数和众数分别是（　　）
A. 84册，90册 B. 84册，84册 C. 85册，84册 D. 85册，103册
5.函数y=-x2+2x-1的图象经过点（3，y1），（m,y2）.若y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A. m＞3 B. m＜-1 C. -1＜m＜3 D. m＜-1或m＞3
6.如图，⊙O经过正方形ABCD的两个顶点A，B，且与边CD相切，切点为E.记正方形ABCD的周长为a,⊙O的周长为b,则a与b的大小关系是（　　）
A. a＞b
B. a＜b
C. a=b
D. 无法确定
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.方程x2=x的解是 .
8.已知⊙O的半径为5cm,若OP=6cm,那么点P在⊙O .
9.数据6，8，1，5，-2的极差是 .
10.将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是 .
11.若x1，x2是方程ax2-2ax+c=0（a,c为常数，a≠0）的两根，则x1+x2的值为 .
12.已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，则该扇形的面积为 .（结果保留π）
13.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，连接DE，FE.若∠B=60°，∠C=70°，则∠DEF= °.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高.若BC=4，BD=2，则AD的长为 .
15.如图，在网格纸中，点A，B，C，D都是格点，AD，BC分别交网格线PQ于点E，F.若每个小方格的边长为1，则EF的长是 .
16.如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，Q是母线PB上一点，QE∥PA.用经过点Q，C，D的平面截该圆锥，得到一条抛物线（其中Q是该抛物线的顶点）.已知PA=26，OA=10，BE=5，记抛物线对应的函数表达式的二次项系数为a,则|a|= .
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程3（x+1）2-18=0.
18.(本小题6分)
解方程：2x2-5x+2=0．
19.(本小题8分)
某校九年级1班与2班利用课余时间进行了四场篮球比赛，比赛结果统计如图所示.
（1）分别计算1班、2班这四场比赛的平均得分；
（2）记1班、2班的四场比赛的得分的方差分别为，，则______（填“＞”“=”或“＜”号）；
（3）结合两幅统计图中的信息，你觉得哪个班表现更出色？说明理由.
20.(本小题8分)
某班在2026年元旦进行了新年抽奖祈福活动，活动前老师在不透明的抽奖盒中放入3个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同.搅匀后，一个同学从中摸出2个球，记录颜色后放回抽奖箱中，再次搅匀后，下一个同学继续摸.如果某同学摸到1个红球和1个白球，则可获得小马祈福挂件一个，否则需表演一个节目.
（1）求该班甲同学获得小马祈福挂件的概率；
（2）该班甲、乙2名同学都获得小马祈福挂件的概率是______.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9.D是BC延长线上一点，BD=12.作FD⊥BD，再过点C作AC的垂线，与DF交于点E，DE=4.
（1）求证：△ABC∽△CDE；
（2）BC的长为______.
22.(本小题8分)
某商品的成本价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查发现，如调整价格，单件售价每涨1元，则每星期要少卖10件.设该商品每件涨价x元，一星期的利润为y元.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
23.(本小题8分)
如图，五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AD恰为⊙O的直径，点A恰为的中点.过点A作射线AF，使∠EAF=∠ADE.
（1）AF与⊙O相切吗？为什么？
（2）若∠EAF=42°，则∠BCD=______°.
24.(本小题8分)
已知二次函数y=2（x+m）（x+m-1）（m为常数）.
（1）求证：无论m为何值，该函数的图象总与x轴有2个公共点；
（2）若该函数的图象经过点（0，2），求m的值.
25.(本小题8分)
如图，已知△ABC.用尺规在AB，AC上分别作点D，E（点D，E不与△ABC的顶点重合），使其分别满足以下要求：
（1）△ADE的周长等于△ABC的周长的一半；
（2）△ADE的面积等于△ABC的面积的一半.
友情提醒：
①保留作图痕迹，写出必要的文字说明；②每小题只需作出1组满足要求的点D和点E.
26.(本小题9分)
课本内容再探索（一）
课本中研究了二次函数y=（x+1）2+2的图象与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下：
函数图象 图象特征与函数性质 推理论证
① 函数的最大（小）值，
当x=-1时，y有最小值，最小值为2. ∵（x+1）2≥0（当且仅当x=-1时，等号成立），∴（x+1）2+2≥2.
∴当x=-1时，y有最小值，最小值为2.
函数的变化趋势
当x＜-1时，y随x的增大而减小；
当x＞-1时，y随x的增大而增大. 任取图象上两点（x1，y1），（x2，y2）.
当x1＜x2＜-1时，③…
当-1＜x1＜x2时，同理可得当x＞-1时，y随x的增大而增大.
图象的对称性
图象关于②对称. ④
（1）在①处画出该函数的图象，并填写②处的空格；
（2）③处的论证思路如下，将其补充完整；
（3）写出④处的论证图象对称性的过程.
27.(本小题11分)
课本内容再探索（二）
（1）将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”.
①改变后得到的命题是______命题；（填“真”或“假”）
②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明.
如图（1），在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，=.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
（2）将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考.
已知△ABC和△A′B′C′均为锐角三角形，AB＞AC，A′B′＞A′C′，AD，A′D′是高，且=.在满足下列情形时，证明△ABC∽△A′B′C′.
①如图（2），AE，A′E′是中线，且=；
②如图（3），CF，C′F′是中线，且=.
（说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成.）
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】x1=0，x2=1
8.【答案】外
9.【答案】10
10.【答案】y=-（x-3）2-2．
11.【答案】2
12.【答案】300π
13.【答案】65
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】x1=-1+，x2=-1-．
18.【答案】解： 2 x2-5x+2=0，
（x-2)(2x-1）=0，
则x-2=0或2x-1=0，
解得x1=2，x2=．
19.【答案】1班的平均得分为27分，2班的平均得分为27分 ＜ 结合两幅统计图中的信息，我觉得1班表现更出色．理由如下：
1班、2班这四场比赛的平均得分相同，但是1班的四场比赛的得分的方差小于2班的四场比赛的得分的方差，因此1班的得分比较稳定，而且1班的犯规次数比2班少，因此1班表现更出色．（答案不唯一）
20.【答案】
21.【答案】∵D是BC延长线上一点，FD⊥BD，CE⊥AC交DF于点E，
∴∠D=∠ACE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠D，
∵∠ACB+∠DCE=90°，∠CED+∠DCE=90°，
∴∠ACB=∠CED，
∴△ABC∽△CDE 6
22.【答案】y=-10x2+100x+6000 当x为5时，y有最大值，最大值是6250
23.【答案】AF与⊙O相切，
理由：∵AD是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
∵∠EAF=∠ADE，
∴∠OAF=∠EAF+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，
∴AF与⊙O相切 132
24.【答案】证明：当y=0时，2（x+m）（x+m-1）=0，
x+m=0或x+m-1=0，
解得x1=-m，x2=1-m，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-m，0），（1-m，0），
即无论m为何值，该函数的图象总与x轴有2个公共点 或
25.【答案】
26.【答案】图象如下：
直线x=-1 解：∵y=（x+1）2+2图象是任意两点（x1，y1），（x2，y2），
∴，，
∴，
∵x1＜x2＜-1，
∴x2-x1＞0，x1+x2＜-2，
∴y2-y1＜0，即y2＜y1，
∴当x1＜x2＜-1时，y随x的增大而减小 证明：任取一个点的横坐标x=-1+t，对应点的坐标为P（-1+t，y），
∴y=[（-1+t）+1]2+2=t2+2，
而x=-1-t时，y=[（-1-t）+1]2+2=（-t）2+2=t2+2，
∴点（-1+t，y）和（-1-t，y）关于直线对称，
∴y=（x+1）2+2的图象关于直线x=-1对称
27.【答案】①假；
②在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
设，则AC=kA′C′AB=kA′B′，
由勾股定理得：，
∴，
∴△ABC∽△A′B′C′；
①∵△ABC和△A′B′C′均为锐角三角形，AB＞AC，A′B′＞A′C′，AD，A′D′是高，
∴∠ADE=∠A′D′E′=90°，
∵，，
∴，
∴由 ②知，△ADE∽△A′D′E′，
∴设，
∴ED=kE′D′，
∵AE，A′E′是中线，
∴BC=2BE、B′C′=2B′E′，
∴，
∵，，
∴，
∴BE=kB′E′，
∵BD=BE+ED=kB′E′+kE′D′=kB′D′，
∴，∠ADE=∠A′D′E′=90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴∠B=∠B′，，
∴，
∴△ABC∽△A′B′C′；
②∵△ABC和△A′B′C′均为锐角三角形，AB＞AC，A′B′＞A′C′，AD，A′D′是高，
∴∠ADE=∠A′D′E′=90°，
如图3，CF，C′F′是中线，取BD的中点M，取B′D′的中点M′，连FM，F′M′，
∴F为AB的中点，F′为A′B′的中点，
∴MF是△ABD的中位线，M′F′是△A′B′D′的中位线，
∴，，
∴∠FMC=90°=∠FMB，∠F′M′C′=90°=∠F′M′B′，
∵，，
∴，
∴由 ②知，△FMC∽△F′M′C′，
∴设，
∴，
∴CF=kC′F′、CM=kCM′、BC=kB′C′，
∵BM=BC-CM=kB′C′-kCM′=kB′M′，
∴，
∴△FMB∽△F′M′B′，
∴∠B=∠B′，，
∴，
∴△ABC∽△A′B′C′
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