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2025-2026学年陕西省安康市汉阴县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则x的取值是（　　）
A. x=0 B. x≠0 C. x=3 D. x≠3
2.下列博物馆标志中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，△ABC≌△DEF，若△ABC的周长为21，AB=5，BC=9，则DF的长为（　　）
A. 7 B. 9 C. 5 D. 14
4.下列运算正确的是（　　）
A. （ab）2=ab2 B. a6÷a3=a2 C. D. （a2）3=a5
5.如图是折叠凳及其侧面示意图，在△ABC中，若AC=BC=18cm,则折叠凳的宽AB可能为（　　）
A. 56cm
B. 47cm
C. 37cm
D. 26cm
6.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，例如图中所示的蝴蝶剪纸就是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为（m,1），点E关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则m+n的值为（　　）
A. -1
B. 1
C. -3
D. 3
7.如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为射线BC上的一个动点，连接AD，DP，若△ABD的面积为9，AB=6，则线段DP的长不可能是（　　）
A. 4
B. 2
C. 5.5
D. 3
8.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A. m＞10，且m≠13 B. m≥10，且m≠13 C. m＜10，且m≠7 D. m≤10，且m≠7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：3ax2-3ay2= ______.
10.猕猴桃富含多种人体必需的微量元素.每100克猕猴桃含铁约0.0003克，将数据0.0003用科学记数法表示为 .
11.笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”.某书法社团计划购买A、B两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元.设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为 .
12.如图，AC垂直平分线段BD，若AB=3cm,CD=4cm,则四边形ABCD的周长为 cm.
13.我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了（a+b）n（n=0，1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）.请依据上述规律，写出（a+1）5展开式中第三项的系数是 .
14.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=117°，∠B=∠D=90°，点M、N分别为BC、CD上的动点，连接AM、AN、MN，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 °.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解分式方程：+=4
四、解答题：本题共11小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：.
17.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中a=-3.
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.请用尺规作图法在边BC上求作一点M，使得S△ABM=2S△ACM.（保留作图痕迹，不写作法）
19.(本小题5分)
如图，在等边△ABC中，分别以AB、AC为边向外作△ABD和△ACE，若BD=AE，AD=CE.求证：∠DAC=∠ECB.
20.(本小题5分)
如图1是2026年1月的日历牌，图2是“十字型”框架，用该框架框住日历中任意5个数字（如图1所示），设“十字型”框中的5个数字分别a、b、c、d、e.
（1）用含a的代数式表示：b=______，e=______；
（2）判断bd-ae是否为定值，若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（2，4），B（3，2），C（5，5）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1，B1，C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为点A2，B2，C2.
22.(本小题7分)
周末，几位同学想利用所学知识测量一条河某段的宽度，测量方案如下：如图，在河对岸寻找一棵树，记作点A，在保证安全的前提下，与点A相对的另一侧岸边寻找点B、C、D，使AB垂直于河岸，点C在AB的延长线上，且CB=CD，∠BCD=120°，测得∠ADC=42°，在CD的延长线上取一点E，使∠BEC=18°，此时测得DE的长就是该段河流的宽度AB.请你判断这几位同学的测量方案是否可行，并说明理由.
23.(本小题7分)
随着新能源汽车的普及，研发汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向.据测试数据显示，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用过去的充电技术提高了50%，使用新的快速充电技术续航里程300千米的充电时间比采用过去的充电技术续航里程240千米的充电时间节省1分钟，则采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少千米？
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABDC中，∠BAC=100°，连接AD，且AD平分∠BAC，∠ADB=80°，DE是△ABD的高.
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若CD⊥AC，求证：AB=2AC.
25.(本小题8分)
材料：如何将x2+（p+q）x+pq型的式子分解因式呢？我们知道（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq,所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.例如：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，∴x2+3x+2=（x+1）（x+2）.
上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到x2+3x+2=（x+1）（x+2）.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）用十字相乘法将x2+5x+6分解因式的结果为______；
（2）用十字相乘法将x2-3x-4分解因式的结果为______；
（3）若x2+px-15利用十字相乘法可分解为（x+a）（x+5）（a,p均为整数），求a和p的值.
26.(本小题12分)
【提出问题】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若△ABE的面积为2，则△ADC的面积为______；
【探究问题】
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ADE.连接BD、CE，试判断∠ABD和∠ACE的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）某中学为打造绿色校园，计划在教学楼旁的四边形空地ABDC（如图3）上铺设草坪.已知∠BDC=45°，CD=6米，为方便师生通行，计划在空地内部修建两条宽度忽略不计的步道AD和BC，两条步道交于点E，BE=4CE，AB=BC，AB⊥BC.施工前，后勤人员需精准计算草坪采购面积以节约采购成本，请求出草坪采购面积（即四边形ABDC面积）.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】3a（x+y）（x-y）
10.【答案】3×10-4
11.【答案】
12.【答案】14
13.【答案】10
14.【答案】126
15.【答案】解：方程两边都乘 （2x-3），得x-5=4（2x-3），
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x-3≠0，
∴原方程的根是x=1．
16.【答案】3．
17.【答案】，．
18.【答案】如图，点M即为所求；
由条件可知∠BAM=∠CAM=30°，
∴，
∵∠B=∠BAM，
∴BM=AM，
∴BM=2MC，
∵，，
∴S△ABM=2S△ACM．
19.【答案】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB．
∵BD=AE，AD=CE
∴△ABD≌△CAE（SSS），
∴∠DAB=∠ECA，
∴∠DAB+∠BAC=∠ECA+∠ACB，即∠DAC=∠ECB．
20.【答案】a+6;a+14 bd-ae 是定值，定值为48
21.【答案】△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，如图1即为所求； △A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，如图2即为所求；
22.【答案】这几位同学的测量方案可行，
理由：∵∠BCD=120°，∠BEC=18°，
∴∠EBC=180°-∠BCD-∠BEC=180°-120°-18°=42°，
∵∠ADC=42°，
∴∠EBC=∠ADC，
又∵CB=CD，∠BCE=∠DCA，
∴△BCE≌△DCA（ASA），
∴CE=CA，
∵CB=CD，
∴CA-CB=CE-CD，
即DE=AB，
∴此时测得DE的长就是该段河流的宽度AB，
因此这几名同学的测量方案可行．
23.【答案】解：设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为x千米，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为（1+50%）x千米，
根据题意得：=-1，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
答：采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为40千米．
24.【答案】∵AD平分∠BAC，∠BAC=100°，
∴．
∵∠ADB=80°，∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，
∴∠ABD=180°-50°-80°=50°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形 ∵ DE⊥AB，DB=DA，
∴AB=2AE．
∵CD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACD=90°．
由（1）可知，，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AC=AE，
∴AB=2AC
25.【答案】（x+2）（x+3） （x-4）（x+1） a=-3，p=2
26.【答案】4 ∠ ABD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ADE，AB=AC，AD=AE，
∴△ABC，△ADE都是等腰三角形，
∴∠DAE=180°-2∠ADE，∠BAC=180°-2∠ABC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE 草坪采购面积为90平方米
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