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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的倒数是（　　）
A. 2026 B. C. D. -2026
2.下列博物馆LOGO中是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌
B. 调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意
C. 调查某市中学生课外阅读情况
D. 调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况
4.在分式中，x的取值范围是（　　）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠2 D. x≠9
5.如图，小鸟①与小鸟②位似，点O是它们的位似中心，其中AA1：OA=1：2，则小鸟①与小鸟②的面积的比为（　　）
A. 1：2
B. 2：3
C. 1：4
D. 4：9
6.骄骄按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有6颗爱心，第②个图有10颗爱心，第③个图有15颗爱心， ，则第⑧个图中爱心的颗数是（　　）
A. 55 B. 45 C. 36 D. 28
7.如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点O为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.
B.
C. π
D.
8.在一幅长40cm、宽30cm的年画四周外围都镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画，如果要求年画的面积占整个挂画面积的60%，则金色纸边的宽度是（　　）
A. 3cm B. 5cm C. 10cm D. 25cm
9.如图，在正方形ABCD中，连接BD，E，F为BD上两点，连接AE，AF，延长AE至点G，使得EG=AE，连接BG、CG，若∠EAF=45°，，则的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式M，其中n,an为正整数，an-1，an-2， ，a0均为自然数，下列说法中正确的有（　　）
①若an+an-1+an-2+ +a1+a0=n,则an an-1 an-2 a0=0；
②当n=1时，若不等式M≤n有且只有1个正整数解，则满足条件的整式M唯一；
③若an≤n,an+an-1+an-2+ +a1+a0≤2+n,则满足条件的三次三项式共有30个.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在四张完全相同且不透明的纸片正面分别写上2026年春晚吉祥物的名字“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，刚好抽到“骥骥”的概率是 .
12.若n为正整数，且满足，则n= .
13.如图，小驰用四根木条钉成一个 ABCD木框，推动AB得到 A'BCD'.现测得∠ABA'=18°，∠A'=140°，则∠ABC的度数为 .
14.若实数x,y满足，|x-3|+y=0，则xy的值为 .
15.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，并延长CD交⊙O于点E，过C作CG⊥AB交⊙O于点G，垂足为点H，连接GE，并延长GE交⊙O的切线AK于点K，若BH=2，GH=3，则⊙O的半径r= ，EK= .
16.若一个四位数（c≠0，0≤d≤5），满足a+b=5（c-d），且M加上4得到的四位数满足千位与百位数字之和等于个位与十位数字之差的5倍，称M为“有品数”，则a+b= ；将“有品数”M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，记，存在整数k满足0≤k≤9，使为整数，且M各数位上的数字满足也为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：，并写出所有整数解.
解：解不等式①得______，
解不等式②得______，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为______，
所以，原不等式组的整数解为______.
18.(本小题8分)
学行四边形后，小骐对另一类四边形进行了研究：在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，小骐发现∠B=∠C.请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空：
（1）小骐过点A作AE⊥BC（如图）.请你利用尺规作图，过点D作DF⊥BC，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：∠B=∠C.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴______①=∠DFC=90°，
∴AE∥DF（同位角相等，两直线平行）.
∵______②，
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
∴______③.
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB=180°-∠AEF=90°，
在Rt△AEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）.
∴∠B=∠C.
19.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题10分)
泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查.该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98.
“拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94.
“星星人”和“拉布布”得分统计表
IP 平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，c=______；
（2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）；
（3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有75%的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？
21.(本小题10分)
列方程（组）解下列问题：
旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范.某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣.已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟.
（1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟；
（2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟.
22.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，连接BD，点E为BC中点，连接DE.动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿着B→A→D运动.同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点D出发，沿D→E运动.当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动.连接PE，PD，PQ，设点P的运动时间为x秒（0＜x＜10），△PBD的面积为y1，△PED的面积为S1，△PQD的面积为S2，.
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
“渝超”足球联赛2025-2026赛季正如火如荼进行中.如图，A，B，C，D在同一平面内，在某次进攻回合中，球员乙在B处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于A处、C处、D处接球.已知A位于B的北偏东60°方向且位于C的北偏东30°方向40米处，B位于C的北偏西75°方向上，D位于C的正东方向且位于A的南偏东30°方向上.（参考数据：，，，）
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）当丙在C处接到乙传球后立即沿C→D方向跑动，同时甲从A处沿A→D方向朝球员丁跑动.在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开C处多少米（结果保留小数点后一位）？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC，其中OA=2OB=2OC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段AC下方抛物线上的一动点，连接PB交线段AC于点E，过点B作直线BD∥AC交抛物线于点D，点F是x轴上的动点，连接PF.当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中当取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx-2沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y'，将点D向右平移一个单位长度得到点D′，点K为抛物线y′上的一动点并在抛物线y′的对称轴右侧，过点K作直线 KQ∥AC交抛物线y′于点Q，连接PA，若∠QD'K+∠QKD'=45°-∠PAC，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，在CB延长线上取一点D，在AB上取一点E，连接DE.
（1）如图1，若AB=AC=DE，过A作AH⊥DC于H，在AH上取点G，使得AG=BE，连接CG，若，求∠ACG的度数；
（2）如图2，过点D作DF⊥AC于点F，在CB上取一点G，连接FG，将线段BG绕点B顺时针旋转得到线段BH，连接DH并延长，在DH延长线上取点M，连接CM，使得∠M=120°，若DE=AC，∠A=∠DEB，∠GBH=2∠FDH，求证：；
（3）如图3，若∠BAC=120°，AB=AC=8，E恰为AB中点，将BE绕点B逆时针旋转α至BE'，连接AE'，CE'，CE'与AB交于点M，点P，Q分别是边CM，BC上的动点，且PM=2CQ，当|2CE'-AE'|取得最大值时，请直接写出的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】58°
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】10
1811

17.【答案】x≤0 x＞-3 -3＜x≤0 -2，-1，0
18.【答案】图形如图所示：
∠ AEC;AD∥BC;AE=DF
19.【答案】；-0.25．
20.【答案】94;94;40 消费者更喜欢“拉布布” 300人
21.【答案】制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟 升级后制作一对“一字扣”需20分钟
22.【答案】，
函数图象见解析，
y1的性质：当0＜x≤4时，y1随x增大而增大；当4＜x≤10时，y1随x增大而减小（不唯一合理即可） 1.8≤x≤9.5
23.【答案】米 球员丙离开C处5.9米
24.【答案】 P（-2，-2），
25.【答案】50° 如图，过点C作DE的平行线，交AB的延长线于点N，过点C作DM的垂线，交DM的延长线于点I，连接BF、BI，
∵CN∥ED，
∴∠N=∠DEB，∠NCB=∠EDB，
∵∠A=∠DEB，
∴∠A=∠N，
∴AC=CN，
∵DE=AC，
∴DE=CN，
在△DBE和△CBN中，
，
∴△DBE≌△CBN（ASA），
∴DB=CB，即点B为CD 中点，
∵DF⊥AC，CI⊥DI，
∴△CDF，△CDI都是以CD为斜边的直角三角形，
∴，
∴∠BDF=∠BFD，
∵∠FBC是△BFD的外角，
∴∠FBC=∠BDF+∠BFD=2∠BDF，
同理，∠IBC=2∠BDH，
∵∠GBH=2∠FDH=2（∠BDF+∠BDH）=2∠BDF+2∠BDH，
∴∠GBH=∠FBC+∠IBC，
又∵∠GBH=∠IBH+∠IBC，
∴∠FBC=∠IBH，
∵∠CMD=120°，
又∵∠CMD是△CMI 的外角，
∴∠CMD=∠MCI+∠CIM，
∴∠MCI=∠CMD-∠CIM=120°-90°=30°，
在直角△MCI 中，∠MCI=30°，∠CIM=90°，
∴，
由旋转的性质可得，BG=BH，
在△BFG和△BIH中，
，
∴△BFG≌△BIH（SAS），
∴，即
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