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2025-2026学年河南省信阳市息县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A. （3，2） B. （-3，2） C. （-3，-2） D. （-2，-3）
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 投掷一枚硬币，正面朝上 B. 经过有交通信号灯的路口，遇见绿灯
C. 任意画一个四边形，内角和是360° D. 过平面内任意三个点画一个圆
4.如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠ADC=49°，则∠CAB的度数为（　　）
A. 49°
B. 51°
C. 39°
D. 41°
5.已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A. 图象必经过点 B. 图象在第一、第三象限
C. 在每个象限内y随x的增大而减小 D. 若x＞2，则y的取值范围为
6.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O直径，∠C=55°，则∠APB等于（　　）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7.如图，将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到A'B'，那么A（3，-7）的对应点A'的坐标是（　　）
A. （3，7）
B. （7，3）
C. （3，-7）
D. （7，-3）
8.如图，在 ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，，则△EFC的周长为（　　）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
9.信阳市位于豫鄂皖的三省交界，历史文化厚重，旅游资源丰富.据统计，2025年元旦假期，某景区共接待游客约10万人次，旅游总收入200万元.经调研发现，若景区内人均消费增加5元，则游客人数会减少0.5万人次.在预期接待10万人次的基础上，如果要使2026年元旦假期旅游总收入达到240万元，设人均消费增加x元，则可列方程为（　　）
A. （10-0.1x）（20+x）=240 B. （10-0.1x）（20+x）=200
C. （10+0.1x）（20+x）=240 D. （10-0.1x）（20-x）=240
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论：①；②a-b+c＜0；③am2+bm≥a+b（m为任意实数）；④8a+c＜0；⑤若P（x1，n），N（x2，n）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≥2.其中正确的结论的个数有（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若一元二次方程x2-（m+2）x+3m=0的两个实数根分别是6，n,则m+n= .
12.若函数是反比例函数，则k的值为 .
13.某学校让学生参与午间歌曲曲目的推荐和选拔，备选歌曲为A，B，C，D四首歌曲，学生只能选择一首歌曲.则两位同学选择同一首歌曲的概率是 .
14.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．

15.如图，△ABC是等边三角形，AB=6，点D在边AB上，且BD=，E是边AC的中点，将线段BD绕点B顺时针旋转，点D的对应点为F，连接AF，EF，当△AEF为直角三角形时，AF=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程：
（1）x2+6x-9=0；
（2）5x（x-3）=（x-3）（x+1）.
17.(本小题9分)
如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）.
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）求出线段AB扫过的面积.
18.(本小题9分)
如图，小安在一次高尔夫球赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大数值高度12m时，球移动的水平距离为9m.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点相距8.
（1）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（2）判断小安这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.
19.(本小题9分)
如图直线y1=-x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．
20.(本小题9分)
如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE=EF.

（1）求证：∠C=90°；
（2）当BC=3，AC=4时，求⊙O半径的长.
21.(本小题9分)
神舟二十号于2025年4月24日在酒泉卫星发射中心成功升空.某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.已知其进价点为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款模型每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：y=-2x+180.为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件.
（1）若每个模型售价为60元时，此时每天的销售利润是多少元；
（2）每件模型的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
22.(本小题10分)
中国文字博物馆，国家一级博物馆，是中国首座以文字为主题的博物馆.如图，在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量馆徽CD的高度，为了测量方便，在后面斜放了一个背景板DM，DM与地面DN的夹角为（∠MDN=30°），站立在水平地面上身高1.7米的小明AB在地面上的影长BP为1.2米，此刻馆徽CD在背景板上的影长DQ为5米，求馆徽CD的高度（取1.7，结果保留1位小数）.
23.(本小题10分)
在数学研究中，我们通常的步骤是尝试发现——类比探究—拓广延伸.在学习旋转时，某学习小组就使用这个方法来进行探讨.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE.
【尝试发现】
（1）如图①，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为______；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系，并证明；
【拓广延伸】
（3）若AC=BC=1，CD=2，连接CE，请直接写出线段CE的长度.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】12
12.【答案】-3
13.【答案】
14.【答案】4π-4
15.【答案】或
16.【答案】
17.【答案】△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，如图即为所求；
18.【答案】 小安这一杆不能把高尔夫球从点O直接打进球洞A点
19.【答案】解：（1）把A（1，m）代入y1=-x+4，可得m=-1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=-x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=×1+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y=0，则x=-3，即C（-3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：2两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=，
∴OP=3-=，或OP=4-=，
∴P（-，0）或（，0）．
20.【答案】（1）证明：连接OE，
∵DE=EF，
∴=，
∴∠OBE=∠DBE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°；
（2）解：在△ABC，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
设⊙O的半径为r，则AO=5-r,
∵OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OEBC
∴△AEO∽△ACB，
∴=，
即=，
∴r=．
即⊙O半径的长为 .
21.【答案】600元 每件模型的销售价格定为75元时，才能使每天获得的利润最大，最大是750元
22.【答案】馆徽CD的高度约为8.5米．
23.【答案】BE=CD 存在BE=CD；理由如下：
过点E作EM⊥BC交BC于点M，如图：
由旋转得AD=DE，∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠EDM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠DME=90°，∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD=EM，AC=DM，
∵AC=BC，
∴DM=BC，
∴BM=BC-CM=DM-CM=CD，
∴BM=EM，
∵EM⊥CB，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=BM=CD 或
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