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2025-2026学年陕西省西安市高新三中七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.关于x的一元二次方程x2-4x-1=0用配方法可变形为（　　）
A. （x+2）2=3 B. （x+2）2=5 C. （x-2）2=5 D. （x-2）2=3
3.下列说法不正确的是（　　）
A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角相等
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形
4.如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO=4，OF=2，FD=4，CE=3，则BE的值为（　　）
A. 3
B. 4
C. 4.5
D. 6
5.如图，△ABC的顶点都在5×7的正方形网格格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A.
B.
C.
D. 2
6.如图，双曲线y=与直线y=-x交于A，B两点，且A（-2，m），则点B的坐标是（　　）
A. （1，-2）
B. （2，-1）
C.
D.
7.如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图2，某桨轮船的轮子（可看作圆）被水面截得的弦AB长为6m,轮子的吃水深度CD（半径OC⊥AB于点D）为1.5m,则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A. 6m B. 6.5m C. 7m D. 7.5m
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2.下列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）若点A（-3，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2.其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知∠A为锐角，若，则cosA= .
10.如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC的中点，菱形ABCD周长为24cm,则OE的长为 .
11.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC=30°，则AC的长为 .
12.将抛物线y=x2+1先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在y轴正半轴上，菱形OABC的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 .
14.如图，在正方形ABCD中，，AC为对角线，M、N分别AC，CD上的动点，且，连接BM，BN，则的最小值为 .
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：.
16.(本小题5分)
解方程：2x（x-1）=x-1.
17.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（-2，-3），（2，-1）.
（1）画出将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到的△OA1B1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴下方画出△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并写出点A2，B2的坐标.
18.(本小题6分)
如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
19.(本小题6分)
已知抛物线y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），（0，3）.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）当-1≤x≤2时，函数的最大值为m,最小值为n,求m-n.
20.(本小题6分)
陕西拥有很多中小学研学实践爱国主义教育基地，小辉计划假期和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片：A.陕西历史博物馆（西安）；B.杨家岭革命旧址（延安）；C.薛家寨革命旧址（铜川）；D.西安半坡博物馆（西安），这些卡片除正面图案不同外，其余都相同.现将这四张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上.
（1）若小辉随机抽取一张卡片，抽到“B.杨家岭革命旧址”的概率是______；
（2）若小辉从中随机抽取一张卡片，放回洗匀，然后他妹妹从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率.
21.(本小题6分)
2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力，某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到72件.
（1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
（2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元？
22.(本小题6分)
西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣.李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度.如图，CD是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为14°；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合.张明的身高EF=1.5米，GF=1.2米，FD=6.4米，BG=2.4米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，请求出城墙的高度AB.（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
23.(本小题7分)
如图，△ABD中，∠A=90°，AB=6cm，AD=12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为t s．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB交DB延长线于点E.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，求BD的长.
25.(本小题8分)
在一次消防实战演练中，一栋高楼内距地面32米的A处和38米的B处出现火情.消防员在C点处喷水灭火，水流从C点射出恰好能到达A处，且水流的最大高度为40米，水流最高点到高楼的水平距离为8米.以高楼底部为原点建立平面直角坐标系，水流高度y（米）与出水点到高楼的水平距离x（米）满足二次函数关系.
（1）求第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）A处火源熄灭后，消防员前进一定的距离到D点进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线形状完全相同，若使水流刚好到达B处，消防员应至少前进多少米？
26.(本小题10分)
【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，则BC与AB的数量关系为______.
【问题探究】
（2）如图②，已知∠ABC=30°，请用尺规作图法，在直线AB上求作一点D，使得∠ADC=90°，BC=2CD.
【问题解决】
（3）如图③，为庆祝被誉为“中国最美公路”的独库公路通车，路政工作人员将公路与市区干道交汇处的不规则空地ABC用鲜花进行布置，不同品种的鲜花之间需要用隐形花档PD，DE，PE进行区分，经测量AB=20米，BC=10米，∠ABC=60°，弧形公路AC的圆心角为60°，在大方美观的基础上，为控制成本，试计算说明至少需要多少米的隐形花档才能完成布置.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】3cm
11.【答案】5
12.【答案】y=（x-6）2-7
13.【答案】-12
14.【答案】
15.【答案】2．
16.【答案】．
17.【答案】；
A2（-4，-6），B2（4，-2）；
18.【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点；
（2）若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
19.【答案】y=-x2+2x+3；
4．
20.【答案】；
．
21.【答案】（1）20% （2）7元
22.【答案】解：过点C作CH⊥AB于H，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH=CD，CH=BD=BG+GF+FD=2.4+1.2+6.4=10（米），
在Rt△ACH中，∠ACH=14°，tan∠ACH=，
∴AH=CH ，tan14°≈10×0.25=2.5（米），
∵EF⊥BD，
∴EF∥CD，
∴△EGF∽△CGD，
∴=，
∴==，
∴CD=9.5，
∴BH=9.5（米），
∴AB=AH+BH=12米．
答：城墙的高度AB约为12米．
23.【答案】解：（1）由题意得DN=2t（cm），AN=（12-2t）cm，AM=t cm，
∴△AMN的面积=AN AM=×（12-2t）×t=6t-t2，
∵∠A=90°，AB=6cm，AD=12cm
∴△ABD的面积为AB AD=×6×12=36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t-t2=，
∴t2-6t+8=0，
解得t1=4，t2=2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN=2t（cm），AN=（12-2t）cm，AM=t cm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t=3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t=，
答：当t=3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
24.【答案】∵CO平分∠ACD，
∴（角平分线的定义），
∵，
∴∠ABD=∠ACD=2∠ACO（同弧所对的圆周角相等），
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO（等边对等角），
∴∠COB=∠ACO+∠CAO=2∠ACO，
∴∠ABD=∠COB，
∴CO∥DE，
∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∵CO∥DE，
∴∠OCE=180°-∠CED=90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线
25.【答案】； 消防员应至少前进4米．
26.【答案】BC=AB 在∠ABC的外部取一点P，以C为圆心，CP长为半径画圆，交直线AB于M、N两点，再分别以M、N为圆心，大于MN长在直线AB的不同于C的另一侧画弧，两弧交于点Q，作直线CQ交AB于点D，则∠ADC=90°，
∵∠ABC=30°，
∴BC=2CD．
作图如下：
为控制成本，至少需要（10-30）米的隐形花档才能完成布置
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