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2025-2026学年广东省珠海市金湾区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事.如图，自行车支架一般都会采用△ABC的设计.这种设计方法应用的几何原理是（　　）
A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性
C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短
2.交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.戴口罩是预防呼吸传染疾病的重要防控手段之一，不仅可以降低飞沫量和喷射速度，还可以阻挡含病毒的飞沫和防止佩戴者吸入，其中N95型口草可以对空气动力学物理直径为0.000000075m±0.020μm的颗粒进行有效过滤，数字0.000000075用科学记数记表示（　　）
A. 7.5×10-7 B. 7.5×108 C. 7.5×107 D. 7.5×10-8
4.下列计算正确的是（　　）
A. a5 a2=a10 B. x8÷x2=x6 C. （2ab）3=6a3b3 D. 2a+3a=5
5.若使分式有意义，x的取值是（　　）
A. x=0 B. x=1 C. x≠0 D. x≠1
6.甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地.设甲的速度为3x km/h,乙的速度为4x km/h,下列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
7.已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　）
A. 3 B. ±3 C. 6 D. ±6
8.△ABC中，ED垂直平分AC，AE=3cm,如果△ABD的周长是14cm,那么△ABC的周长是（　　）
A. 18cm
B. 20cm
C. 22cm
D. 24cm
9.如图，点B，F，E，D共线，∠B=∠D，BE=DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（　　）
A. AF∥CE
B. ∠A=∠C
C. AF=CE
D. AB=CD
10.如图，直线a,b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.3-2= ．
12.三角形的三边长分别为2，7，a,则a的取值范围是 .
13.分解因式：x2+5x= ______ ．
14.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=5：3，则△ABD与△ACD的面积之比为 .
15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，点F为BC的中点，点M为线段DE上一动点，若△BFM周长的最小值为10cm,则△ABC的面积是 cm2.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成以下各题：
解分式方程：
第一步：x=2x+1
第二步：x-2x=1
第三步：-x=1
第四步：x=-1
第五步：检验：当x=-1时，x+1=0
∴此分式方程无解
（1）以上解分式方程的步骤中，是否出现错误______（填“是或否”）；
（2）如果有错误，请写出正确的解答过程.
17.(本小题7分)
如图，已知：∠DAB=∠CAB，∠DBA=∠CBA.求证：AD=AC.
18.(本小题7分)
如图，已知A，B，C是同一平面直角坐标系中的三个点.
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积.
19.(本小题9分)
（1）如图，尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h,求作这个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）在（1）的条件下，△ABC为等腰三角形，底边为AB，底边上的高为CO，若∠A=70°，求∠BCO的度数.
20.(本小题9分)
第十五届全运会竞走项目在珠海金湾举办，某体育用品商店计划购进甲、乙两种竞走商品（甲为竞走主题纪念徽章，乙为竞走专用运动护腕）.已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用2400元购进甲商品的数量与用1800元购进乙商品的数量相同.
（1）求每件甲商品与每件乙商品的进价分别是多少元？
（2）商店计划用不超过3800元的资金购进甲、乙两种商品共50件，则至多购进甲商品多少件？
21.(本小题9分)
综合与实践
对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算确定，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心位置.以下是具体公式和步骤：
根据以下素材，探索完成任务.
素材1 在使用分割法前，需掌握以下基本图形的重心位置. 图形重心说明矩形几何中心对角线的交点三角形三条中线交点（，）顶点坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）圆几何中心圆心
素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：
1.建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等.
2.分割图形：先将平面组合图形分割成几个简单平面图形，再确定每个简单图形的面积Si.
3.确定简单图形重心坐标：在已建立的坐标系中求出每个简单图形的重心坐标（xi，yi）.说明：i=1，2，3，4…
4.代入公式计算：把Si、xi、yi代入重心坐标公式：，，计算出组合图形重心坐标（，）.
任务：建立合适坐标系，并求“L”形角钢横截面的重心坐标；
方法：求“L”形角钢横截面的重心坐标，可先把“L”形分割成两个矩形，其中AD=OB=EF=12cm,OE=80cm,AO=120cm,分别求两个矩形重心坐标，再利用公式求“L”形角钢横截面重心坐标即可.
步骤如下：
（1）先求图1矩形AOBD的重心坐标，则重心C的坐标为______；
（2）再求图2矩形BEFG的重心坐标，则矩形BEFG重心坐标为______；
（3）最后利用公式求“L”形角钢横截面的重心坐标（请写出解答过程，结果保留一位小数）.
22.(本小题13分)
综合与应用
【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法.如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：p（a+b+c）=pa+pb+pc.
【类比应用】
（1）任务一：观察图2，完成填空：①若x=3，p=q=1，则S图2=______.
②（x+p）（x+q）=______+（______）x+______.
【综合应用】
（2）任务二：①由图3，可以得到等式：______.
②若实数a,b,c满足：a+b+c=6，ab+bc+ac=11；求a2+b2+c2的值.
③若实数a,b,c满足：8a×4b×2c=128，9a2+4b2+c2=17；求6ab+3ac+2bc的值.
23.(本小题14分)
【探究感悟】
（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC.
【迁移应用】
（2）如图2，若△ABD是等边三角形，AB=AM，AC平分∠DAM，∠BAM＜60°.
①求∠C的度数；
②试判断AN、BC、BM之间的数量关系，并证明.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】5＜a＜9
13.【答案】x（x+5）
14.【答案】5：3
15.【答案】21
16.【答案】是
17.【答案】在△ADB与△ACB中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴AD=AC．
18.【答案】
19.【答案】如图，△ABC即为所求； 20°
20.【答案】每件甲商品的进价是80元，每件乙商品的进价是60元 至多购进甲商品40件
21.【答案】（6，60） （46，6） “L”形角钢横截面的重心坐标为（20.5，40.5）
22.【答案】16;x2;p+q;pq ①（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；②14；③16
23.【答案】证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC ①60°；②3BC+BM=2AN；证明：如图，连接DC，过D作DE⊥CM，交延长线于点E，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∵AB=AM，
∴AD=AM，
∵AC平分∠DAM，
∴AC⊥DM，DN=MN，
∴AC垂直平分DM，
∴CD=CM，∠ACM=∠ACD=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠ECD，即CD平分∠ECA，
∴DE=DN，
又∵AD=BD，
∴Rt△ADN≌Rt△BDE（HL），
∴AN=BE，
∵CD=CD，
∴Rt△CDE≌Rt△CDN（HL），
∴CE=CN，
在Rt△CMN中，∠MCN=60°，则∠CMN=30°，
∴CN=CM，
∵CE=CN，DN=MN，
∴CE=，
∵CE=BE-BC=AN-BC，
又∵CM=BC+BM，
∴AN-BC=（BC+BM），
整理得2AN-2BC=BC+BM，
∴3BC+BM=2AN
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