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2025-2026学年江苏省南通市海安市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知.如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（　　）
A. B. C. D.
2.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现.下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生.多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，确定了“DeepSeek”“豆包”“Kimi”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（4，3）、△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，且△OCD与△OAB的相似比为1：3，则点C的坐标为（　　）
A. （-1，-1）
B.
C.
D. （-2，-1）
5.如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC=44°，则∠DAC等于（　　）
A. 22°
B. 44°
C. 23°
D. 46°
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°.在边AB，AC上取两点D，E，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，当AD′∥BC时，∠BAE′的度数为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
7.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为595m2，求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度为x m,根据题意所列方程为（　　）
A. （40-2x）（22-x）=595 B. （40-x）（22-x）=595
C. （40-x）（22-2x）=595 D. （40-2x）（22-2x）=595
8.已知点A（-4，y1），B（-2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=-（k为常数，k≠0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1
9.在平面直角坐标系中给出四个点：A（-1，1），B（1，1），C（2，2），D（3，1），经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，甲认为它们一定经过点C；乙认为b2-4ac＞0恒成立，两人的说法（　　）
A. 两人都对 B. 甲对，乙错 C. 甲错，乙对 D. 两人都错
10.我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角∠BAC=130°，伞圈D在伞柄AP上，AE=AF=DE=DF=30cm；如图2，伞完全收拢时，伞圈D滑动到D′的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度DD′可表示为（　　）
A. 60-30sin65° B. 60-30cos65° C. 60-60sin65° D. 60-60cos65°
二、填空题：本题共6小题，共22分。
11.点M（3，-2）关于原点对称的点的坐标是 .
12.抛物线y=-5x2+1向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是 .
13.如图，在矩形纸片上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥.如果圆的半径为2cm,那么圆锥的高为 cm.
14.关于x的方程x2-6x+k=0的一个根是2，则k的值是 .
15.如图，网格图中每个小正方形的边长都为1.点A，B为格点，以A点为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点C，记∠CAB=α，则= .
16.如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥AB，交双曲线另一支于点C，且，则= ，连接OB，OC，若S△BOC=4，则k= .
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解方程：
（1）3x（x-4）=2x-8；
（2）x2-6x+5=0.
18.(本小题10分)
如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，-1）.
（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）以点C为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°得到的△A2B2C；
（3）若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到△A1B1C1，请确定旋转中心D的坐标以及旋转角度.
19.(本小题10分)
小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项.这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）：
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为______；
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率；
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？
20.(本小题10分)
如图，一次函数y=-3x-6的图象与y轴交于点A，将点A向右平移1个单位后所得点B在反比例函数的图象上.
（1）求k的值；
（2）若一次函数与反比例函数图象在第二象限交于点C，连接OC，求△AOC的面积.
21.(本小题10分)
命题：对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2， ，xn.如果用x作为这条路线长度的近似值，当时，最小.
请判断该命题是真命题还是假命题.如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例.
22.(本小题10分)
如图1，在等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F.
（1）若BE=4，∠E=30°，求由、线段BE和线段DE所围成图形（阴影部分）的面积；
（2）如图2，若⊙O的半径r=5，，求线段EF的长.
23.(本小题10分)
一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动.
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动5m约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程s,时间t的关系为s=t）
24.(本小题10分)
已知二次函数y=x（x-a）+（x-a）（x-b），其中a,b为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为（0，m）.
（1）当a=1，b=2时，求m的值；
（2）当b=2a＞0时，点A（1，y1），B（2，y2）在该函数图象上，且y1＜y2，求整数m的值；
（3）若m=-2，对于该函数图象的顶点坐标（x0，y0），满足x0≥1，求y0的取值范围.
25.(本小题18分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜45°），M是射线AC上的动点，将线段BM绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BN，连接AN.
（1）如图1，点M与点C重合，求证：AB平分∠NAM；
（2）如图2，点M在AC的延长线上，连接NC，若AM=3AN，求证：AB∥NC；
（3）如图3，点M在线段AC上，过点N作ND∥AB，交直线AC于点D，用等式表示DM与AC的数量关系，并证明.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】（-3，2）
12.【答案】y=-5x2-3
13.【答案】
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】
3

17.【答案】x1=4， x1=1，x2=5
18.【答案】见解答 见解答 点D的坐标为（1，4），旋转角度为90°
19.【答案】 建议小明在第一题使用“求助”
20.【答案】k=-6
21.【答案】该命题是真命题，理由如下：
设，
展开得，，
合并同类项得，，
∵n＞0，
∴y关于x的函数，当时，取到最小值，
∴当时，最小，
∴该命题是真命题．
22.【答案】
23.【答案】解：（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即5÷4=1.25（m/s），
故小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s；

（2）小球滚动到5m时约用了xs,
依题意，得：x =5，
整理得：x2-8x+8=0，
解得：x=4±2，
∵x＜4，
∴x=4-2≈1.2．
故小球滚动5m用了1.2秒．
24.【答案】m=2 整数m的值为1，2，3，4 y0≤-4
25.【答案】由旋转的性质可知，∠NBC=180°-2α，BN=BC，
∵∠ACB=90°，∠BAC=α，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=90°-α，
∴，
∴∠ABC=∠ABN，
在△ABC和△ABN中，
，
∴△ABC≌△ABN（SAS），
∴∠CAB=∠NAB，
∴AB平分∠NAM 如图，在CM上取点E，使得AC=EC，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB=180°-∠ACB=90°，
在△ACB和△ECB中，
，
∴△ACB≌△ECB（SAS），
∴∠BEA=∠BAC=α，∠ABC=∠EBC=90°-α，BA=BE，
∴∠BEM=180°-∠BEA=180°-α，∠ABE=2∠ABC=180°-2α，
由旋转的性质可得，∠MBN=180°-2α，BM=BN，
∴∠MBN=∠ABE，
∵∠ABE=∠ABN+∠NBE，∠MBN=∠EBM+∠NBE，
∴∠ABN=∠EBM，
在△ABN和△EBM中，
，
∴△ABN≌△EBM（SAS），
∴AN=EM，∠BAN=∠BEM=180°-α，
∵∠BAC=α，
∴∠CAN=∠BAN-∠BAC=180°-2α，
∵AM=3AN，AN=EM，
∴AE=AM-EM=2AN，
∵AC=EC，
∴，
∴，
∴∠ACN=∠BAC，
∴AB∥NC DM=2AC，证明如下：
如图，延长DC至点F，使得AC=FC，连接BF，AN，
∵∠ACB=90°，
∴∠FCB=180°-∠ACB=90°，
在△ACB和△FCB中，
，
∴△ACB≌△FCB（SAS），
∴∠BFA=∠BAC=α，∠ABC=∠FBC=90°-α，BA=BF，
∴∠ABF=2∠ABC=180°-2α，
由旋转的性质可得，∠MBN=180°-2α，BM=BN，
∴∠MBN=∠ABF，
∵∠ABF=∠ABM+∠MBF，∠MBN=∠ABM+∠NBA，
∴∠NBA=∠MBF，
在△ABN和△FBM中，
，
∴△ABN≌△FBM（SAS），
∴AN=FM，∠BAN=∠BFM=α，
∴∠DAN=180°-∠BAN-∠BAC=180°-2α，
∵ND∥AB，
∴∠D=∠BAC=α，
∴∠AND=180°-∠D-∠DAN=α=∠D，
∴AD=AN=FM，
∵FM=AC+CF-AM=2AC-AM，
∴DM=AD+AM=FM+AM=2AC-AM+AM=2AC
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