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2025-2026学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是二次函数的是（　　）
A. y=3x+1 B. y=3x C. y=3x2 D.
2.下列各组图形一定相似的是（　　）
A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形
3.已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项，若a=8cm,b=2cm,则线段c长（　　）
A. 4cm B. 8cm C. 2cm D. 16cm
4.下列说法正确的是（　　）
A. 从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件
B. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查
C. 要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图
D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件
5.函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
6.如图，AF、CG为△ABC的中线且交于点O，过点O作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，若AC=9，则CE长为（　　）
A. 3
B. 6
C. 4
D. 5
7.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　）
A. 1
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.用配方法解方程x2+6x+3=0，方程可化为（x+3）2=m,则m= .
10.在△ABC中，AB=5，∠C=60°，那么AC+2BC的最大值为 .
11.如图，点E是 ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=6.连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN.若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为 .
12.如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=BC=DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P=40°，则弧CD的度数为______．
13.荆州市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%、面试按40%计算总成绩.如果小张笔试成绩为80分，面试成绩为90分，那么小张的总成绩为 分.
14.盐城，一个让人打开心扉的地方，2024年盐城的空气质量指数优良率持续保持在全国前列.下列数据是2024年某一周盐城的空气质量指数：53，41，27，28，32，28，40，则这组数据的中位数是 .
15.东台鱼汤面是“中华名小吃”.如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm,碗深OA=9.8cm,则当满碗汤面的竖直高度下降4.8cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）.
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知，AB=20.则∠ABD= .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.解方程：x2-2x-2=0．
四、解答题：本题共10小题，共93分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点A，B，C，D在⊙O上，∠ABC=53°，求∠CDB的度数.
19.(本小题9分)
如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．
20.(本小题9分)
如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．
21.(本小题9分)
小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项.这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）：
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为______；
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率；
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？
22.(本小题9分)
已知二次函数y=x2-2x-3.
（1）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2-2x-3的图象；
（3）结合函数图象，直接写出当-4≤y≤0时，x的取值范围.
23.(本小题9分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上的一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标.
24.(本小题9分)
如图1，抛物线y1=ax2-3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2=-x+b交点为A和C，且OA=OD.
（1）求抛物线的解析式和b值；
（2）在直线y2=-x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3=-x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围.
25.(本小题9分)
定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a,b），点Q（c,d），若c=kb,d=-ka,其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级垂变点”.例如，点（6，-4）是点（2，3）的“2级垂变点”.
（1）函数的图象上是否存在点（1，2）的“k级垂变点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t,-2t+1）与其“k级垂变点”B分别在直线l1，l2上，直线l2分别与x轴和y轴交于点C、点D；
①若直线l1，l2与y轴围成的图形面积是5，求k的值；
②若关于x的二次函数的图象经过点C和点D，该二次函数的图象与x轴的另一个交点是点E，当该二次函数的顶点落在直线l1上并且满足OC=2OE时，求k的值.
26.(本小题9分)
一场暴风雨后，小明家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更换.小明同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形.该图形为轴对称图形，曲线ADB是抛物线的一部分，点O、C和最高点D在同一条直线上.已知AB=120cm,OC=30cm,DC=78cm,点E、F在抛物线上，且关于OD对称，∠BCO=∠BCF.
（1）根据上述信息，请以点O为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求曲线ADB所在抛物线的关系式；
（2）根据窗框设计图和相关数据，小明同学利用勾股定理计算出了窗棱BC的长，在计算窗棱CF的长时犯了难，请你帮助小明完成计算；
（3）窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中ECFD形状的玻璃，工人师傅需要在矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案：
【方案一】在矩形PQMN中切割掉阴影部分（如图2），其中边PN，QM分别在过点C，D作的水平线上，边PQ，NM分别在过点E，F作的铅垂线上；
【方案二】在矩形WRST中切割掉阴影部分（如图3），其中边RS与CF重合，边WT、ST与抛物线有且仅有一个公共点（即边WT、ST刚好贴在抛物线的边缘），边WR经过点E.
本着节约的原则，请你帮小明计算哪种切割方案更节省材料.
27.(本小题12分)
为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，某校开展了诗词知识竞赛活动，竞赛结束后从八年级和九年级参赛学生的成绩（满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
八年级 a 95
九年级 92.5 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的a=______，b=______，______（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生诗词知识掌握较好？请说明理由；
（3）该校八年级300名学生和九年级200名学生参加了本次诗词知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】6
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】30°
13.【答案】84
14.【答案】32
15.【答案】20
16.【答案】15°
17.【答案】解：移项得x2-2x=2，
配方得x2-2x+1=2+1，
即（x-1）2=3，
开方得x-1=±．
解得x1=1+，x2=1-．
18.【答案】37°．
19.【答案】解：（1）证明：连接OM，过O作ON⊥CD于N；
∵⊙O与BC相切，
∴OM⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴OM=ON，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°，
∴AC=，∠MOC=∠MCO=45°，
∴MC=OM=OA，
∴OC=；
又∵AC=OA+OC，
∴OA+OA=，
∴OA=2-，
即⊙O的半径为2-.
20.【答案】（1）证明：连接OC，
∵PA是半⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴CD=AD，
∴OP是AC的垂直平分线，
∴PC=PA，
∵OC=OA，OP=OP，
∴△OCP≌△OAP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB=6，
∴OA=OB=3，
∵∠ADO=90°，∠CAB=30°，
∴OD=OA=，
∴AC=2AD=，
∴S△AOC=AC OD=，
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=2∠CAB=60°，
∴∠AOC=180°-60°=120°，
∴S扇形AOC=，
∴S=S扇形AOC-S△AOC=．
21.【答案】 建议小明在第一题使用“求助”
22.【答案】解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3）；
（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），
如图，
（3）当y=-4时，x=1，
当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴当-4≤y≤0时，x的取值范围为-1≤x≤3．
23.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x2-2x-3；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）当x=0时，y=x2-2x-3=-3，
当x=3时，y=0，
而x=1时，y有最小值-4，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为-4≤y＜0；
（3）设P（t,t2-2t-3），
∵S△PAB=10，
∴×（3+1）×|t2-2t-3|=10，
即t2-2t-3=5或t2-2t-3=-5，
解方程t2-2t-3=5，
解得t1=-2，t2=4，
此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
方程t2-2t-3=-5没有实数解，
综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．
24.【答案】解：（1）∵D（0，4），
∴OD=4，
∵OA=OD，点A在x的负半轴上，
∴A（-4，0），
把A（-4，0），D（0，4）分别代入y1=ax2-3x+c,得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y1=-x2-3x+4，
把A（-4，0）代入y2=-x+b,得4+b=0，
解得：b=-4；
（2）存在．
在y1=-x2-3x+4中，令y1=0，得-x2-3x+4=0，
解得：x1=-4，x2=1，
∴B（1，0），
如图1，设直线y2=-x-4与y轴交于点G，
则G（0，-4），
∴OG=4，
∵A（-4，0），
∴OA=4，
∴OA=OG，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
当∠APB=90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵∠BAP=45°，∠APB=90°，
∴∠ABP=45°=∠BAP，
∴PA=PB，即△ABP是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=BH，即H是AB的中点，
∴H（-，0），
∴点P的横坐标为-，
当x=-时，y2=-（-）-4=-，
∴P1（-，-）；
当∠ABP=90°时，则∠APB=∠BAP=45°，
∴BP=AB=5，
∴P2（1，-5）；
综上所述，在直线y2=-x-4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（-，-）或（1，-5）；
（3）∵y1=-x2-3x+4=-（x+）2+，
∴抛物线y1=-x2-3x+4的顶点为（-，），沿x轴翻折后的解析式为y=（x+）2-，
把A（-4，0）代入y3=-x+n,得4+n=0，
解得：n=-4，
联立抛物线y=（x+）2-与直线y3得：（x+）2-=-x+n,
整理得：x2+4x-（n+4）=0，
当Δ=16+4（n+4）=0时，n=-8，
∴当直线y3=-x+n与该新图象恰好有四个公共点时，-8＜n＜-4．
25.【答案】存在； ①k=8或k=-12；②k=-16或
26.【答案】 50 cm 方案二更省材料
27.【答案】93.2;96.5;＜ 八年级学生成绩较好，因为把年级学生成绩的平均数较高，方差较小 360
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