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2025-2026学年山东省滨州市惠民县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个物体的零件如图所示放置，其俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
2.点A（-3，5）关于原点的对称点的坐标为（　　）
A. （3，5） B. （-3，-5） C. （3，-5） D. （5，-3）
3.用配方法解一元二次方程x2+4x-3=1时，下列变形正确的是（　　）
A. （x+2）2=8 B. （x+2）2=4 C. （x+2）2=1 D. （x+2）2=2
4.下列说法正确的是（　　）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是4，是必然事件
B. 所有的等边三角形都相似
C. 三点确定一个圆
D. 方程ax2+2x+1=0是一元二次方程
5.下列关于反比例函数y=-的描述中，正确的是（　　）
A. 图象在第一、三象限
B. 点（-1，-1）在反比例函数y=-的图象上
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 若点A（2，y1），B（-2，y2）都在反比例函数y=-的图象上，则y1＜y2
6.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F.若DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=（　　）
A. 4：9
B. 4：25
C. 2：9
D. 9：25
7.如图，边长为4的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆的面积为（　　）
A. 8π
B. 12π
C. 4π
D. 8π
8.已知⊙O的半径r为4，点P到圆心O的距离d恰好是方程x2-6x+8=0的解，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O的外部 B. 点P在⊙O上或点P在⊙O的外部
C. 点P在⊙O上或点P在⊙O的内部 D. 点P在⊙O的内部
9.我们规定：若∠α是锐角，则tanα=.已知sin2β=，且2β为锐角，根据这个规定求tanβ的结果是（　　）
A. 3-2 B. C. 3+2 D. 3
10.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其对称轴为直线x=1，函数的最大值为m,且与x轴的一个交点的横坐标在3和4之间，则下列结论正确的是（　　）
A. 4a-2b+c＞0 B. 2a+b=1
C. b2-4ac+4am=0 D. 一元二次方程ax2+bx+c=m+1有实数根
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.设a,b是关于x的一元二次方程x2+2025x-2026=0的两个根，则a+b-ab的值是 .
12.若二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是______．
13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，连接BB′，CC′，使C′C∥AB.若∠CAB=65°，则旋转角的度数是 .
14.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为______m（结果保留根号）
15.如图，在△ABC中，CA=CB，CD⊥AB于点D，CD=6，AD=8，点M是⊙C上一动点，连接AM，取AM的中点E，连接DE.若⊙C的半径为4，则DE长的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
（1）计算：-2sin45°tan60°；
（2）解方程：x2+6x-4=0.
17.(本小题8分)
某校艺术社团为参加全县非遗作品会展，决定从A.传统木版年画、B.泥塑、C.剪纸、D.传统麦秆画中选择一种制作.下面是几种手工的图片.
（1）该社团从这四种手工艺品中随机选择一种，恰好选中“C.剪纸”的概率是______；
（2）为更好地宣传非物质文化遗产，该社团准备分甲、乙两个小组，从这四种手工艺品中选择两种不同的手工艺品制作.甲小组先从上面四种手工艺品中任选一种，乙小组再从剩下的三种手工艺品中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两组恰好选中“A.传统木版年画”和“D.传统麦秆画”的概率.
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中点C旋转到点C2所经过的路径长（结果保留根号和π）.
19.(本小题10分)
在矩形AOBC中，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0），F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，作直线EF.
（1）若CF=2，求反比例函数解新式；
（2）在（1）的条件下求出△EOF的面积；
（3）在点F的运动过程中，试说明是定值.
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，连接BF，过点D作DE⊥AC于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若AB=10，∠BAC=60°，求阴影部分的面积.
21.(本小题10分)
“马年”春节来临之际，某网络经销商购进了一批以“马”为主题的文化衫进行销售，文化衫进价为40元/件.当售价为50元/件时，销售量为500件.在销售过程中发现：售价每上涨1元/件，销售量就减少10件.设售价上涨x元/件，销售量为y件.
（1）求出y与x的函数解析式.
（2）按这样的销售措施，该商店销售这种文化衫每天获利能否达到10000元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由.
（3）要想获得总利润最大，每件文化衫售价应为多少元？并求出最大利润.
22.(本小题10分)
【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，通过观察他发现，请你帮他证明一下.这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：______；
【应用】如图2，在△ABC中，已知AD是BC边的中线，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交AB，AC于点E，F.如图2，当EF∥BC时，求证：=1；
【提升】如图3，AD是边BC的中线，G是△ABC的重心，当EF和BC不平行，且点E，F分别在线段AB，AC上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
23.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，ab≠0）的图象经过（1，0）.
（1）若二次函数图象经过A（-1，4），B（0，-1），求该二次函数解析式；
（2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a=c；
（3）若二次函数图象的对称轴为直线，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】1
12.【答案】m≤1且m≠0
13.【答案】50°
14.【答案】（5+5）
15.【答案】7
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求； △ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，如图2即为所求；
19.【答案】（1）解：∵四边形AOBC是矩形，A点坐标为（0，3），B点坐标为（4，0），
∴AC=OB=4，BC=OA=3，
∵CF=2，
∴F的坐标为（4，1），
将F的坐标为（4，1）代入y=中得1=，
解得k=4，
∴反比例函数解析式为y=，
（2）解：将y=3代入y=得3=，
解得x=，
∴点E坐标为（，4），
∴AE=，CE=AC-AE=，
∵BF=1，
∴CF=2，
∵S△EOF=S矩形AOBC-S△CEF-S△AOE-S△BOF
=OA OB-×CF CE-×OA AE-×OB BF
=3×4-×2×-×3×-×4×1
=，
∴△EOF的面积为cm2；
（3）解：设点F坐标为（4，），则点E坐标为（，3），
∴AE=，BF=，
∴CE=AC-AE=，CF=BC-BF=，
∴==，
∴是定值．
20.【答案】如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，连接DO，则OD=OB，
∴∠C=∠ABC=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线 ∵ AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°．
又∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∵OD⊥DE，
∴OD⊥BF，
∴
21.【答案】y=500-10x 该商店销售这种文化衫每天获利不能达到10000元，理由：
每件文化衫的利润为（50+x-40）元，
∴（500-10x）（50+x-40）=10000，
整理，得x2-40x+500=0，
∵a=1，b=-40，c=500，
∴b2-4ac=（-40）2-4×1×500=-400＜0，
∴方程没有实数根，
∴该商店销售这种文化衫每天获利不能达到10000元 每件文化衫售价为70元时，利润最大为9000元
22.【答案】三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
23.【答案】y=3x2-2x-1；
∵顶点落在x轴上，
∴b2-4ac=0，
∵a+b+c=0，且b≠0，
∴（-a-c）2-4ac=（a-c）2=0．
∴a=c．
当c=-0.5时，a2+b2+c2有最小值1.5
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