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2025-2026学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
2.在一次搭建模型的活动中，小明用木棒搭建四边形，以下说法正确的是（　　）
A. 若用两根长度相等的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是矩形
B. 若用两根互相垂直的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是正方形
C. 若用两根长度相等的木棒作为四边形的一组邻边，则搭建出的四边形是菱形
D. 若用两根能互相平分的木棒作为四边形的对角线，则搭建出的四边形是平行四边形
3.如图，某人从坡底A步行到坡顶B，已知坡的垂直高度BC为200米，坡角为α，则他在山坡上步行的距离AB为（　　）
A. 米 B. 200sinα米 C. 200cosα米 D. 米
4.已知二次函数y=（k+2）x2-3x+1的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A. 且k≠-2 B. C. 且k≠-2 D.
5.如图，BC为标杆AB在路灯O下的影子，已知标杆高AB为2.4米，影长BC为3米，下杆与路灯的水平距离BP为6米，则路灯的高度OP为（　　）
A. 6.48米 B. 7.2米 C. 8.1米 D. 9.6米
6.如表是随着x的不同取值，代数式ax2+bx+c的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx+c-8=0的根是（　　）
x … -3 -2 -1 4 5 6 …
ax2+bx+c … 8 0 -6 -6 0 8 …
A. x1=-1，x2=4 B. x1=-2，x2=5 C. x1=-3，x2=6 D. x1=-4，x2=7
7.已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2
8.类比学习是一种很重要的学习方法，小明在课堂上类比一次函数学习的过程，作二次函数C1：y1=a1x2+b1+c1和二次函数C2：y2=a2x2+b2x+c2的图象时，列出如下表格，已知二次函数C1的图象平移后可以得到二次函数C2的图象，则平移方式为（　　）
x … -1 0 1 2 3 …
y1 … -5 1 3 1 -5 …
y2 … 3 5 3 -3 -13 …
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
C. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
9.如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AB的中点，CE交对角线BD于点H，过点D作DF⊥CE，垂足为F，G为DF上一点，且DG=CF，则CG的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③a+b+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤3a+b＞1.其中正确的有（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知，则的值是 .
12.在一个不透明的盒子中装有5个红球和若干个蓝球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复该实验.统计结果显示，当实验次数较多时，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2左右，则据此估计盒中大约有蓝球 个.
13.小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 人.
14.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过△AOB的顶点B.若AB∥y轴，点A的坐标为（3，-2），△AOB的面积为3，则k的值等于 .
15.如图，△ABC在第二象限内，其中点B的坐标是（-2，1），以点B为位似中心，作△ABC的位似图形△A′BC′，使它与△ABC的相似比为2：1.若点C的坐标为（a,b），则其对应点C′的坐标是 .
16.如图，将等边△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA，点E、F分别在BC和CA上，且BE=CF，BF、AE相交于点G，DG交AB于点H.则下列结论正确的有 .（填写序号）
①∠AGF=60°；
②DG平分∠AGB；
③DB2=DH DG；
④若CE=2BE，则.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知：直线l,直线l外一点A，∠α.
求作：矩形ABCD，使边BC在直线l上，且∠BAC=∠α.
18.(本小题12分)
（1）计算：；
（2）解方程：x2+12x+27=0（用配方法）；
（3）解方程：3x2+5x+1=0.
19.(本小题6分)
青岛有着丰富的旅游资源，小亮决定利用一天时间到青岛旅游，查阅网上攻略后，他制定了如下计划：上午从3个自然景点（A.五四广场；B.小麦岛公园；C.崂山仰口景区）中随机选取一个，下午再从2个人文景点（D.青岛啤酒博物馆；E.青岛海底世界）中随机选取一个去参观.
（1）小亮上午从自然景点中选中“小麦岛公园”参观的概率是______；
（2）用树状图或表格求小亮这一天恰好选“五四广场”和“青岛海底世界”参观的概率.
20.(本小题6分)
小明班的数学课外活动小组进行校外研学活动，他们准备测量某建筑物AB的高度.如图，先将无人机升至距离地面垂直高度为25米的点C处，测得建筑物最高点A的仰角为21°，再将无人机上升15米到达点C的正上方点D处，此时测得建筑物最低点B的俯角为42°，已知点A，B，C，D在同一平面内，求建筑物AB的高度（结果精确到0.1米）.
（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，m）.
（1）分别求出m和k的值；
（2）将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C、D两点，与x轴，y轴分别相交于点F、E，若S△ABC=12，求直线CD的函数表达式.
22.(本小题8分)
某学校实验室配备了一款小钢珠弹射装置，小钢珠弹出后的运动路线可近似看作抛物线的一部分.如图建立平面直角坐标系：以试验台为x轴，弹射口A在y轴上，OA=15cm,小钢珠运动的最高点为C，其距离弹射口的水平距离OD为30cm,竖直高度CD为24cm.
（1）求小钢珠距离试验台的竖直高度y（cm）与距离弹射口的水平距离x（cm）之间的函数关系式；
（2）为了实验安全，在实验台上点D的右侧竖直放置一个高度为20cm的挡板MN（厚度不计），要求小钢珠能弹到挡板上后落回到实验台，求挡板与弹射口的水平距离ON应在什么范围内？
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，过点B作BF∥AC，交CE延长线于点F，连接DF.
（1）求证：四边形BCDF是平行四边形；
（2）连接AF，当△ABC满足不同条件时，四边形AFBD可能是矩形或菱形.请从以下两个结论中选择一个，先填写△ABC应满足的条件，再进行证明.
结论①：当△ABC满足______时，四边形AFBD是矩形；
结论②：当△ABC满足______时，四边形AFBD是菱形.
（注：如果选择结论①、结论②分别都进行解答，则按第一个解答计分）
24.(本小题10分)
为宣传海洋文化，某文创店计划在一段时间内销售贝壳饰品和栈桥明信片两种文创商品，其中每件贝壳饰品的利润y（元）与第x天（x为整数，且x≥1）之间满足一次函数关系，部分销售数据如表所示：
第x天 … 2 3 4 5 …
贝壳饰品每件的利润y（元） … 7 7.5 8 8.5 …
已知：贝壳饰品第x天销售量p满足：p=-2x+80；栈桥明信片每套的利润固定为8元，且第x天销售量q满足：q=-x+50.
（1）求每件贝壳饰品的利润y（元）与第x天之间的函数关系式；
（2）若销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套，且每天需支出其他费用500元，求销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为多少元？
25.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=16cm,AD=6cm,点E为CD中点，EF⊥AB于点F，连接AE.点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点E出发沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BC于点M，交EF于点H.连接Q，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）.
解答下列问题：
（1）当PQ∥BC时，求t的值；
（2）设四边形APMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当QM平分∠PQE时，求t的值；
（4）若G为BC上一点，连接PD、EG、PG，当四边形PDEG周长最小时，则t=______s.（直接写出答案）
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】20
13.【答案】9
14.【答案】-12
15.【答案】（2a+2，2b-1）
16.【答案】①②③
17.【答案】
18.【答案】 x=-3或x=-9 x1=，x2=
19.【答案】
20.【答案】建筑物AB的高度约为41.9米．
21.【答案】m=2，k=-6 直线CD为y=-x+4
22.【答案】抛物线解析式为y=-（x-30）2+24 挡板与弹射口的水平距离ON的范围为50cm＜ON＜30+20cm
23.【答案】∵BF∥AC，
∴∠BFC=∠DCF，∠FBE=∠CDE，
∵E为BD的中点，
∴BE=DE，
∴△BFE≌△DCE（AAS），
∴BF=CD，
∵BF∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形 结论①：当△ABC满足AB=BC时，四边形AFBD是矩形，
∵BD为△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵BF=CD，
∴BF=AD，
∵BF∥AD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形；故答案为：AB=BC；结论②：当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形AFBD是菱形，
∵四边形BCDF是平行四边形，
∴DF∥BC，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB⊥DF，
∴四边形AFBD是菱形，
故答案为：∠ABC=90°
24.【答案】 总利润至少为255元
25.【答案】 6
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