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2025-2026学年湖南省永州市新田县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A. ax2+bx+c=0 B. x2+3x=0 C. x2+3x=x2-1 D.
2.反比例函数的图象经过点（2，-3），则此函数的图象也经过点（　　）
A. （-3，2） B. （-2，4） C. （-4，-2） D. （-2，-3）
3.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，=15，，.则麦苗又高又整齐的是（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.已知m是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式m2-3m的值等于（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（　　）
A. B. C. D.
6.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（　　）
A. （x+4）2=17 B. （x-4）2=17 C. （x+4）2=15 D. （x-4）2=15
7.如图，反比例函数的图象过点A，则△AOB的面积是（　　）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8.若（tanA-3）2+|2cosB-|=0，则△ABC（　　）
A. 是直角三角形 B. 是等边三角形
C. 是含有60°的任意三角形 D. 是顶角为钝角的等腰三角形
9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，且BC=6，S四边形BCED=8S△ADE，则DE的长等于（　　）
A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3
10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②S△AOD=4S△OCF；③AC：BD=：7；④FB2=OF DF．其中正确的是（　　）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一元二次方程x2-4x=0的解是______．
12.在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则y1 y2（填“＞”“=”或“＜”）．
13.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OB：OE=1：2，则△ABC与△DEF的面积之比是 .
14.已知：如图，BC∥DE，AD=3，AE=4，AB=9，则AC= .
15.已知x1，x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1 x2=1，则ba的值是 ____．
16.如图，已知矩形ABCD，长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
（1）解一元二次方程：x2-2x-3=0；
（2）计算：.
18.(本小题8分)
我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]=3×5-2×1=13.
（1）求[-4，3]*[2，-6]的值；
（2）已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1，m]=0有两个实数根，求m的取值范围.
19.(本小题8分)
永州队在2025年湘超联赛中勇夺冠军，展现出了顽强拼搏的精神和出色的团队配合，为永州赢得了荣誉与骄傲.为普及永州本土足球文化，新田县某中学对全校学生关于湘超联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解，并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生人数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数是______；
（4）该校共有学生900人，请你估计该校对湘超联赛“比较了解”的学生人数.
20.(本小题9分)
如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD的长．
21.(本小题9分)
五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m处（AC=18m）的一个斜坡CD上进行测量．如图，已知斜坡CD的坡度为i=1：，斜坡CD长12m，在点D处竖直放置测角仪DE，测得宝塔顶部B的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5m，点A、B、C、D、E在同一平面内．
（1）求点D距地面的高度；
（2）求宝塔AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
22.(本小题9分)
新田脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉饱满多汁，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的矿物质，深受消费者的喜爱.某合作社从2023年到2025年每年种植脐橙100亩，2023年脐橙的平均亩产量为2000千克，2024年到2025年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2025年脐橙的平均亩产量达到2880千克.
（1）若2024年和2025年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2026年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2025年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2026年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
23.(本小题10分)
如图，已知反比例函数和一次函数y2=mx+n的图象相交于点A（-3，3），两点，O为坐标原点，连接OA，OB.
（1）求与y2=mx+n的解析式；
（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积.
24.(本小题12分)
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H.
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，，DE=3，∠AED=60°，以点D为坐标原点，AD所在的直线为x轴.过点D作AD的垂线为y轴建立平面直角坐标系，菱形的顶点C在反比例函数的图象上，求：
①求菱形的边AD的长.
②直接写出顶点C的坐标及反比例函数的解析式.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x1=0，x2=4
12.【答案】＞
13.【答案】1：4
14.【答案】12
15.【答案】
16.【答案】2或
17.【答案】x1=-1，x2=3
18.【答案】解：（1）[-4，3]*[2，-6]=-4×2-3×（-6）=10；
（2）根据题意得x（mx+1）-m（2x-1）=0，
整理得mx2+（1-2m）x+m=0，
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1，m]=0有两个实数根，
∴Δ=（1-2m）2-4m m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
19.【答案】50 57.6° 学生人数为432人
20.【答案】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B，
∴∠DPC=∠PAB，
∴△ABP∽△PCD；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB=AC=3，
∴，
∴CD===，
∴AD=3-=，
∵等边三角形△ACB的边长为3，PC=2，AP2=AD AC，
∴AB=3，BP=1，
∴AP=，
∴CD=．
21.【答案】解：（1）如图：
∵斜坡CD的坡度为i=1：，
∴在Rt△DCF中，tan∠DCF===，
∴∠DCF=30°，
∴DF=DC=6（m），
∴点D距地面的高度为6m；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∴EG=AF，
∵∠DFC=90°，∠DCF=30°，
∴CF=DF=6（m），
∵AC=18m，
∴AF=AC+CF=（18+6）m，
∴EG=（18+6）m，
在Rt△EBG中，∠BEC=37°，
∴BG=EG tan37°=（18+6）×0.75≈21.29（m），
∴BA=BG+ED+DF=21.29+1.5+6≈28.8（m），
∴宝塔AB的高度为28.8m．
22.【答案】20% 20亩
23.【答案】， -3＜x＜0或
24.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠EDG+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠EDG，
∵∠ADE=∠DCF，∠DAE=∠CDF，
∴△ADE∽△DCF ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，AD∥BC，
在Rt△ADE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=CF，
∵DE=CH，
∴CF=CH，
∵∠DCF=90°即CD⊥FH，
∵DF=DH，
∴∠DFC=∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=∠H ①；②，
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