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2025-2026学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 四边形内角和是360° B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 车辆随机到达路口，遇到绿灯
2.下面图形不能通过旋转变换得到的是（　　）
A. B.
C. D.
3.已知圆的半径为7cm,同一平面内一点到圆心的距离是9cm,则这点在（　　）
A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定
4.抛物线y=2x2是由某个抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（　　）
A. y=2（x-2）2+5 B. y=2（x-3）2+2 C. y=2（x+3）2-2 D. y=（x-3）2-2
5.瓷板画是我国非物质文化遗产最早可追溯到秦汉时期.如图是其实物及平面设计图.已知A，C为⊙O上的两点，连接AC，AC∥l（桌面），⊙O的半径OA=26cm,AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB=CD=3cm,AC=20cm,过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，则圆心到桌面l的距离OE的长为（　　）
A. 31cm B. 29cm C. 27cm D. 25cm
6.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；
③菜园ABCD面积可以达到220m2.
其中，正确结论的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.设x1，x2是方程x2-4x+2=0的两个根，则x1+x2= .
8.若二次函数y=3x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，关于x的一元二次方程3x2+bx+c=0的一个解x1=3，则另一个解x2= .
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE，若∠C=125°，则∠BAE= °.
10.某AI学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该AI学习平板销量的月增长率为 .
11.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= ．
12.在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C是线段AB的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，C为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
已知关于x的方程（m-2）x2-3x+2=0.
（1）当m=3时，求原方程的解.
（2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值.
14.(本小题6分)
已知y与x-4成反比例函数关系，且当x=-4时，y=，求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）求当y=18时，x的值.
15.(本小题6分)
如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C.
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB=6，CD=5，求AD的长.
16.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作的中点E；
（2）在图2中，作的中点P.
17.(本小题6分)
随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作.小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解.
（1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：DeepSeek、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“DeepSeek”的概率为______；
（2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵AI、Wink、即梦AI，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵AI”与“即梦AI”这两款软件的概率（四款软件：悠船、可灵AI、Wink、即梦AI，依次记为Y，K，W，J）.
18.(本小题8分)
如图，一次函数分别与反比例函数，交于点A和点B，已知点A的横坐标为-3，点B的纵坐标为6.
（1）求反比例函数y2的解析式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积.
19.(本小题8分)
赣州某家特色菜馆，希望在新年期间获得好的收益.经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份.新年期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元.设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），每天的销售利润为y元.
（1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？
（2）新年期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
20.(本小题8分)
【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点P（x,y）绕原点分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°，点P的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表.
旋转的角度 90° 180° 270° 360°
对应点的坐标 ______ （-x,-y） ______ （x,y）
（1）完成表格剩余部分；
【迁移应用】（2）新定义：现将点P（x,y）绕原点顺时针旋转，当x＞y时，旋转角度为90°，当x≤y时，旋转角度为270°，得到的对应点P′称作点P的变换点.
①求A（2，4）的变换点坐标______；
②直线y=x-5上所有点的变换点组成一个新图形记为W，请求出W的解析式.
21.(本小题9分)
如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，BC与⊙O相交于点D，连接AD，OC，半径OC∥AB，∠OCA=∠ADC.
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若，求CD的长.
22.(本小题9分)
在四边形ABCD中，点E为AB的中点，分别连接CE，DE.
（1）如图1，若∠A=∠B，∠ADE=∠BEC.
（i）求证：AE2=AD BC；
（ii）若DE平分∠ADC，求证：∠AED=∠DCE；
（2）如图2，若∠DAB+∠B=90°，∠DEC=90°，AD=3，BC=1，求CD的长.
23.(本小题12分)
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为BC边上一动点，过点D作DE⊥BC，交AC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为C′，若CD的长为x,△EDC′与△ABC重叠部分的面积为y（点D与点C或点B重合时，不妨设y=0），y与x之间的函数关系如图2所示.
（1）填空：BC的长为______，AB的长为______；
当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为______.
（2）当2≤x≤4时，y与x之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，y取得最大值，求抛物线的解析式；
（3）点D在BC边上移动过程中，若存在x1，x2（x1＜x2）对应的y值相等，且，求此时△EDC′与△ABC重叠部分的面积y的值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】4
8.【答案】-1
9.【答案】35
10.【答案】20%
11.【答案】3
12.【答案】（2，0）或（，0）
13.【答案】解：（1）当m=3时，得方程为：
x2-3x+2=0，
∴（x-1）（x-2）=0，
解得x1=1，x2=2；
（2）根据题意得m-2≠0且Δ=（-3）2-4（m-2）×2=0，
解得m=，
即m的值为．
14.【答案】（1） （2）
15.【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴=，
∴AD AC=AB2，
∵AB=6，CD=5，
∴AD（AD+5）=36，
解得AD=4或AD=-9（不符合题意，舍去），
∴AD的长为4．
16.【答案】如图1中，点E即为所求； 如图2中，点P即为所求
17.【答案】
18.【答案】解：（1）当x=-3时，，
∴A（-3，2），
把它代入得：，
解得b=4，
∴，
当y=6时，，
解得x=3，
∴B（3，6），
∴k=3×6=18，
∴；
（2）设AB与y轴交于点C，
当x=0时，，
则OC=4，
∵A（-3，2），B（3，6），
∴S△OAB=S△OCA+S△OCB
=
=．
19.【答案】当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元 每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元
20.【答案】如图所示，设点P（x，y）的坐标在第一象限，
顺时针旋转90°得到点A的坐标为（y，-x）；顺时针旋转180°得到点B的坐标为（-x，-y）；顺时针旋转270°得到点C的坐标为（-y，x）；顺时针旋转360°得到点D的坐标为（x，y）；故完成表格如下：
旋转的角度 90° 180° 270° 360°
对应点的坐标 （y，-x） （-x，-y） （-y，x） （x，y）
故答案为：（y，-x），（-y，x） ①（-4，2）；②y=-x-5
21.【答案】连接OA，则OA=OC，
∵∠OCA=∠ADC=∠AOC，
∴∠OAC=∠OCA=∠AOC，
∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°，
∴∠AOC+∠AOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=90°，
∵OC∥AB，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴直线AB是⊙O的切线 CD的长是
22.【答案】（1）证明：（i）∠A=∠B，∠ADE=∠BEC，
∴△AED∽△BCE，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴，即AE2=AD BC；
（ii）∵∠AED+∠DEC+∠CEB=180°，∠AED+∠ADE+∠A=180°，
∴∠A+∠ADE=∠DEC+∠CEB，
∵∠ADE=∠BEC，
∴∠A=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，
∴∠AED=∠DCE；
（2）解：如图，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接DF，
∴∠FAE=∠B，
∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF=BC，EF=EC，
∵∠DAB+∠B=90°，
∴∠DAB+∠BAF=90°，
∴∠DAF=90°．
∵∠DEC=90°，
∴DF=DC，
在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2
∵AD=3，BC=1，
∴AF=1，
∴CD=DF=．
23.【答案】4;3;y=x2
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