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2025-2026学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A. 2x+1=0 B. x2-1=0 C. 2x+y=1 D.
2.如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1：2，则P（-2，1）的对应点Q的坐标是（　　）
A. （-2，4）
B. （4，-2）
C. （-4，2）
D. （2，-4）
3.圆周率π是无限不循环小数.目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是9的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则OA：OB：BC的值可以是（　　）
A. 1：1：2 B. 1：2：3 C. 2：3：4 D. 3：4：5
5.如图，已知DE∥BC，，若，则BE的长为（　　）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
6.如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示.若AC长为a米，则窗角C到窗框AB的距离CD的大小为（　　）
A. 米 B. 米 C. acos23°米 D. asin23°米
7.已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为（　　）
A. 米 B. 5米 C. 6米 D. 7米
10.已知A（m-2，y1），B（m,y2），C（m+1，y3）三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A. 当m＜-1时，0＜y3＜y2＜y1 B. 当-1＜m＜0时，y3＜0＜y1＜y2
C. 当0＜m＜2时，y3＜y2＜0＜y1 D. 当m＞2时，y3＜y2＜y1＜0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如果两个相似多边形的面积比是1：4，那么这两个相似多边形的相似比是 .
12.在一个不透明的口袋里装有n个除颜色外都完全相同的小球，其中红球有6个，每次将袋子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出n的值为 .
13.写一个二次函数，要求：开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点.符合条件的二次函数解析式为： ；
14.一辆汽车.新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为x.如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于x的方程是 .（列出方程即可，无需求解）
15.如图，点A在反比例函数y1=的图象上，点B在反比例函数y2=的图象上，且AB∥x轴，若△AOB的面积为7，则k的值为______．
16.定义：cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.则下列四个结论：
①如果x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，则；
②如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程ax2-2x+c=0无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根.
其中正确的有 .（填正确的序号）
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
四、解答题：本题共8小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
计算：sin30°+3tan60°-cos245°．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD，AC=4，AD=2，BD=6，求证：△ACD∽△ABC.
20.(本小题9分)
三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C.已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色.从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率.
21.(本小题9分)
如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）是x（弹簧秤与中点O的距离）（单位：cm）的反比例函数，当x=15时，y=16.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值.
22.(本小题9分)
阅读材料：已知实数m、n满足（m2+2n2-1）（m2+2n2+1）=63，试求m2+2n2的值.
解：设m2+2n2=t,则原方程变为（t-1）（t+1）=63，整理得t2-1=63，即t2=64.
∴t=±8，∴m2+2n2=±8.
∵m2+2n2≥0，∴m2+2n2=8.
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
（1）已知x、y满足（2x2+y2+3）（2x2+y2-3）=27，求6x2+3y2的值；
（2）已知a、b满足（a2-b2）（a2-b2+2）=3，求（a+b）（a-b）的值.
23.(本小题9分)
某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值.
24.(本小题9分)
综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动.
【动手操作】
如图1，将平行四边形纸片ABCD沿过顶点A的直线折叠，使得点D落在BC边上的点G处，折痕交CD于点E，再沿着过点G的直线折叠，使得点B落在AG边上的点H处，折痕交AB于点F.将纸片展平，画出对应点G，H及折痕AE，FG，连接FH，AG，EG.
【初步探究】
（1）确定FG和AE的位置关系及线段AF和DE的数量关系；
求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现FG∥AE，证明过程如下：
由折叠的性质，可知，.
又由平行四边形的性质，可知DA∥BC，
∴∠DAG=∠BGA.
∴①，
∴FG∥EA.
奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找AF和DE的数量关系时，方法不一：
先测量AF和DE的长度，猜想其关系为②.
方法一：证明△AHF≌△GCE，得到AF=GE，再由GE=DE可证.
方法二：过点G作AB的平行线交AE于点N，构造平行四边形AFGN，然后证GN=GE可得结论.
补充上述过程中横线上的内容：①______；②______.
【类比探究】
（2）如图2，将平行四边形纸片ABCD特殊化为矩形纸片ABCD，重复上述操作.请判断FG和AE的位置关系及AF和DE的数量关系是否发生变化，并说明理由；
【拓展运用】
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=4，按上述操作折叠并展开后，过点G作GM∥CD交AE于点M，连接HM.当∠HMG=90°时，求DE的长.
25.(本小题14分)
定义：已知二次函数y=ax2+bx+c,则称二次函数y=a（x-t）2+b（x-t）+c是二次函数y=ax2+bx+c的伴随二次函数，t是伴随值.
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数y=x2+x+2的伴随二次函数的是（______）
A.y=（x-1）2+x+3B.y=（x+1）2+x+1
C.y=（x-2）2+xD.y=（x+2）2+x+2
深入探究
（2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是.
①伴随值为______；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当m≤x≤m+2时，记二次函数y1与y2的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】1：2
12.【答案】24
13.【答案】y=-x2+1（答案不唯一）
14.【答案】20（1-x）2=14.45
15.【答案】20
16.【答案】①②③
17.【答案】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）设正方形DECF的边长为x，则有DF=CF=x，BF=3-x，
∵正方形DECF，
∴DF∥AC，
∴，
即，
解得x=，
∴正方形DECF的边长为．
18.【答案】解：原式=+3×-（）2
=+3-
=3．
19.【答案】见解析．
20.【答案】．
21.【答案】解：（1）由题意设，把x=15，y=16代入，
得k=15×16=240，
∴y关于x的函数解析式为．
（2）由（1）可知，y关于x的函数解析式为，k=240＞0，x是弹簧秤与中点O的距离是50cm,如图所示，
∵x＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴把xmax=50代入，得ymin=4.8，
∴弹簧秤的示数y的最小值为4.8N．
22.【答案】解：（1）设2x2+y2=t,
则原方程可变为（t+3）（t-3）=27，
解得t=±6，
∵2x2+y2≥0，
∴2x2+y2=6，
∴6x2+3y2=18；
（2）设a2-b2=t,
则原方程可变为t（t+2）=3，
即t2+2t-3=0，
解得t1=-3，t2=1，
∴a2-b2=-3或1，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2=-3或1．
23.【答案】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．
∴．
解得：．
∴y=-2x+80；
（2）设日销售利润为w元．
w=（x-10）（-2x+80）
=-2x2+100x-800
=-2（x2-50x+625）-800+1250
=-2（x-25）2+450．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）w=（x-10-m）（-2x+80）
=-2x2+（100+2m）x-800-80m.
∵最大利润为392元，
∴=392．
整理得：m2-60m+116=0．
（m-2）（m-58）=0．
解得：m1=2，m2=58．
当m=58时，x=-=54，
∴每盒糖果的利润=54-10-58=-14（元）．
∴舍去．
答：m=2．
24.【答案】∠EAG=∠FGA;AF=DE 不发生变化，理由如下：
①由折叠的性质，可知，．
∵四边形ABCD为矩形，
∴DA∥BC，
∴∠DAG=∠BGA．
∴∠EAG=∠FGA，
∴FG∥EA．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，
②由折叠的性质，可知∠FHG=∠AGE=90°，∠HFG=∠BFG，∠AED=∠AEG，AG=AD，HG=BG，DE=GE，
又∵∠EAG=∠FGA，
∴∠HFG=∠AEG=∠BFG=∠AED，
∴∠AFH=∠GEC，
∵CG=BC-BG=AD-BG，AH=AG-HG=AD-BG，
∴CG=AH，
∴△AHF≌△GCE（ASA），
∴AF=GE，
∴AF=DE DE的长为
25.【答案】C；
①2；②；③（1，-4）或（3，-4）
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