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2025-2026学年山东省聊城市文轩教育集团九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A. 2x2-y-1=0 B. 2x=1 C. x2+x（x+7）=0 D.
2.如图，小丽从点A出发，沿坡角为20°的斜坡向上走了150米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　）
A. 米 B. 米 C. 150 tan20°米 D. 150 sin20°米
3.今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为1.2亿元.若把增长率记作x.则可列方程为（　　）
A. 0.5（1+x）=1.2 B. 0.5（1-x）=1.2
C. 0.5（1+x）2=1.2 D. 0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2=1.2
4.在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y=ax+b与的大致图象是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=60°，∠ACD=38°，则∠DAC的度数为（　　）
A. 44°
B. 34°
C. 30°
D. 22°
6.如图，正比例函数y1=k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A. x＜-1或x＞1
B. -1＜x＜0或0＜x＜1
C. -1＜x＜0或x＞1
D. x＜-1或0＜x＜1
7.如图，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 5πcm2
B.
C.
D. 15πcm2
8.如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（　　）
A. （4，2）
B. （4，6）
C. （6，3）
D. （6，2）
9.如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点.若E是AB的中点，S△BEF=1，则k的值为（　　）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）.有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确的有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a是一元二次方程x2+2x-2=0的一个实数根，求2a2+4a+2026的值为 .
12.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是 .
13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO=24°，则∠ACB= °.
14.若关于x的一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有实根，则k的取值范围是 .
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y=x2.将x轴绕原点O逆时针旋转45°，交抛物线于点A1，将直线OA1绕点A1顺时针旋转45°，交抛物线于点A2，将直线A1A2绕点A2逆时针旋转45°，交抛物线于点A3，将直线A2A3绕点A3顺时针旋转45°，交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2025的坐标为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题9分)
解方程：
（1）4（x-1）2-1=8；
（2）x（x-2）=x-2.
18.(本小题9分)
“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的20万人增加到2025年的33.8万人.求该市这两年参加健身运动人数的年均增长率.
19.(本小题9分)
如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在西北方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A，C之间的距离为100米，则A与B之间的距离是多少米（结果保留根号形式）.
20.(本小题9分)
如图，直线y1=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y2=的图象交于点C（-2，m），D，连接OD，OC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，y1＞y2.
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC=30°，且AC=8，求⊙O的半径.
22.(本小题9分)
民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图（1），“空中飞人“是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评.如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分.下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全.建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点A的坐标为（0，8），OC=11.4m,CE=2.1m,，∠FEC=135°，AB=1m.
（1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H（0，6）时，点F的坐标为______，抛物线的解析式为______；
（2）在（1）的条件下，若点N的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为y=ax2-8ax+c,若抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出a的取值范围.
23.(本小题12分)
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案.某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，折叠△ABC，使AC边落在AB边上，折痕为AD，则BD，CD与∠BAC的两边AB，AC存在着某种关系.
如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为______ .
（2）猜想验证
项目组猜想：当△ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立.为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形.请选择任意一种方案证明.
（3）拓展应用
如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为BC延长线上一点，AE=DE.求证：.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】2030
12.【答案】
13.【答案】66
14.【答案】k≤2且k≠1
15.【答案】（1013，10132）
16.【答案】1
17.【答案】， x1=2，x2=1
18.【答案】30%．
19.【答案】A、B之间的距离为（50+50）米．
20.【答案】解：（1）∵C（-2，m）在y1=-x+2上，
∴m=-（-2）+2=4，
∴C（-2，4），
∵C（-2，4）在上，
∴k=（-2）×4=-8，
∴；
（2）过D作DN⊥OB于N，过C作CM⊥OB于M，
设D（a,b），
∴b=-a+2，，
∴，
∴a2-2a-8=0，
∴a1=-2，a2=4，
∴b1=4，b2=-2，
∴C（-2，4），D（4，-2），
∴CM=4，DN=2，
∵y1=-x+2，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OB=2，
∵S△COD=S△COB+S△BOD，
∴，
∴．
答：△COD的面积为6．
（3）由图象可得，
当x＜-2或0＜x＜4时，y1＞y2．
21.【答案】证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥OC．
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

22.【答案】（10，3.5），y=-x2+x+6；
保护网MN（线段MN）的长度至少为9米；
a的取值范围是-≤a≤-．
23.【答案】= 解：项目1组方案：如图2，过点D作DE∥AC于点E，

则∠EDA=∠2，
由折叠的性质可知∠1=∠2，
∴∠EDA=∠1，
∴AE=DE，
∵DE∥AC，
∴，△BDE∽△BCA，
∴=，
∵AE=DE，
∴=；项目2组方案：过C作CE∥AD，交BA延长线于点E，

则∠1=∠E，∠2=∠ACE，
由折叠的性质可知∠1=∠2，
∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵AD∥CE，
∴；项目3组方案：如图4，过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

则BE∥CF，
∴，
由折叠的性质可知∠1=∠2，
∵∠E=∠AFC=90°，
∴△ABE∽△ACF，
∴，
∴ 证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DE=AE，
∴∠DAE=∠ADE，
∵∠DAE=∠2+∠CAE，∠ADE=∠1+∠B，
∴∠CAE=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAB∽△ECA，
∴，
∵AE=DE，
∴，
由（2）知，
∴
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