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2025-2026学年山东省淄博市淄川区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　）
A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直
2.分式的值为0，则x的值是（　　）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 0或1
3.下列各个统计量中，不能反映一组数据集中趋势的量是（　　）
A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
4.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形
5.我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（　　）
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
6.若，ab=1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
7.某班七个合作学习小组人数如下：4，5，5，x,6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（　　）
A. 5，5 B. 6，5 C. 6，5和6 D. 6，5和7
8.已知下列各组多项式：①ax-bx和by-ay；②3-9y和6y2-2y；③x2-y2和x-y；④a+b和a2-2ab+b2.上述各组中有相同公因式的有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
9.分式中字母x,y的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④
10.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，则下列结论不正确的是（　　）
A. AF=CD
B. ∠BAC=60°
C. △AEF≌△CDF
D. AE⊥CE
11.如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　）
A.
B.
C.
D.
12.如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠BPC=3：4：5，PB=3，则以PA，PB，PC为边的三角形的面积为（　　）
A.
B.
C. 3
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.在 ABCD中，若∠B+∠D=3（∠A+∠C），则∠A= °.
14.分解因式：a-a3= ______．
15.如图， ABCD中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若S△ADE=3，S△EBC=5，则S△BDC= .
16.小明家和小刚家到学校的路程都是3km.小明骑车走的是平路，速度是2v/km.小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v/km,在下坡路的骑车速度是3v/km.如果他们同时出发，那么先到学校的是 .
17.某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩有1分，2分，3分，4分，共4个等级，现将测试结果绘制成条形统计图和扇形统计图，根据图中信息，这些学生的平均分为 分.
18.如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=6，BD=8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 .
19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=15°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角α的度数为______时，△ADF是等腰三角形．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，点P是边BC上的一个动点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接CQ，则CQ长的最小值为 .
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题16分)
因式分解：
（1）a2（x-y）+b2（y-x）；
（2）（a2-1）2-16（a2-1）+64.
化简：
（1）；
（2）.
22.(本小题7分)
如图所示，三角形ABC和三角形A1B1C1关于某一点成中心对称，其中边BC的对应边是B1C1.请在图中画出中心对称点，并补全三角形A1B1C1.
23.(本小题7分)
张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路.为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二.根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 ______ 18 ______ 2.4 5
路线二 15.6 ______ 11 18.04 ______
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由.
24.(本小题20分)
（1）如图1，AB∥CD，AC与BD相交于点O，EF过点O，且分别交AB，CD于点E，F，且OE=OF.判断四边形ABCD的形状，并加以证明.
（2）如图2，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点.
①求证：四边形DEFG为平行四边形；
②若DG⊥BH，BD=3，EF=2，求BH的长.
25.(本小题10分)
为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的.
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
26.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，AB⊥AC，AB=1，，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.
（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；
（2）如图②，当α=45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；
（3）如图③，当α=90°时，求△BOF的面积.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】A
13.【答案】45
14.【答案】a（1+a）（1-a）
15.【答案】8
16.【答案】小明
17.【答案】2.95
18.【答案】5
19.【答案】40°或50°
20.【答案】2
21.【答案】（x-y）（a-b）（a+b） （a+）2（a-）2．
化简： - -
22.【答案】
23.【答案】解：（1）18；18；15；11；
（2）路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．
24.【答案】四边形ABCD的形状为平行四边形，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OA=OC．
同理：△BEO≌△DFO（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形 ①∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∵点G、F分别为BH、CH的中点，
∴GF是△BCH的中位线，
∴GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF，且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；②2
25.【答案】解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x-35）元，
根据题意得：=×，
解得x=125，
经检验，x=125是方程的解，也符合题意，
∴x-35=125-35=90，
∴航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元；
（2）设购买航空模型m个，学校花费W元，则购买航海模型（120-m）个，
∵航空模型数量不少于航海模型数量的，
∴m≥（120-m），
解得m≥40，
根据题意得：W=125×0.8m+90（120-m）=10m+10800，
∵10＞0，
∴当m=40时，W取最小值，最小值为10×40+10800=11200，
此时120-m=120-40=80，
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少．
26.【答案】AF=CE；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠FAO=∠ECO，
∴在△AFO与△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴AF=EC BF=DF；理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AC===2；∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO=AC=1，
∴AB=AO，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∵α=45°，∠AOF=45°，
∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=45°+45°=90°，
∴EF⊥BD，
∵BO=DO，
∴BF=DF
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