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2025-2026学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A. y=x2-3 B. y=3x C. y=2x+1 D.
2.已知⊙O的半径为4.若点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A. 3 B. C. 4 D. 5
3.“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（　　）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件
4.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（　　）
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若点A（1，1）的对应点为A′（3，3），当BC=1时，则线段B'C'的长度是（　　）
A.
B. 2
C. 3
D. 4
6.下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（　　）
A. cos46° B. tan46° C. sin46° D. sin88°
7.抛物线y=ax2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点（0，2026），则a的值是（　　）
A. -2023 B. 2023 C. 2026 D. 2029
8.如图，将直角三角板的30°角顶点A放在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于点E，D，若AD=4，，则的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，菱形ABCD∽菱形EAFC，且相似比为2，则下列说法错误的是（　　）
A. B，E，F，D四点共线
B. E为△ABC的重心
C.
D. AE⊥BC
10.如图1，在△ABC中，∠C=90°，点I为内心动点D以1cm/s的速度从点C出发，沿折线C→B→A→C运动.线段ID的长y（单位：cm）与点D的运动时间x（单位：s）的关系如图2所示.其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是（　　）
A. 图象最低点的纵坐标为3或5 B. 图象上纵坐标为5的点有3个
C. 图象最高点的横坐标为25 D. △ABC的面积为120cm2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如果2x=5y,那么= .
12.某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是 .（精确到0.01）
投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000
命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440
命中率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72
13.如果一个正多边形的一个内角为140°，那么这个正多边形的边数为 .
14.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以点O为圆心，分别以OA，OC为半径，圆心角∠O=80°形成的扇面，若OA=2m,OC=1m,则图2中阴影部分的面积为 m2（结果保留π）.
15.已知二次函数y=x2-2ax+1，当0≤x≤2时，函数的最大值为1，则a的取值范围为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
（1）计算：2cos245°-tan30° sin60°.
（2）已知a、b满足，且a+2b=28，求a的值.
17.(本小题8分)
如图是由16个小正方形组成的4×4的方格纸，其中点A，B，C都在格点上.
（1）在图1中作出线段AB绕着点C逆时针旋转90°后的线段DE；
（2）在图2中作一个△CMN，使△CMN与△ABC相似（非全等），要求点M，N是格点.
18.(本小题8分)
宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取：
项目序号 项目① 项目② 项目③ 项目④ 项目⑤ 项目⑥
项目名称 50米跑 立定跳远 跳绳（60秒） 掷实心球（2千克） 篮球运球投篮 男生引体向上
女生仰卧起坐（60秒）
抽签时，使用电动摇号机从项目编号①-⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目.
（1）若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率；
（2）在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，同时抽到“项目①和项目②”的概率.请画树状图或列表求解.
19.(本小题8分)
某校数学兴趣小组为测量湖中间两座灯塔A和B之间的距离，在沿湖笔直公路l上取点C，D进行测量.为方便计算，点C，D分别位于灯塔A，B的正南方向.现测得灯塔A位于点D北偏西50°方向，灯塔B位于点C北偏东39°方向.已知CD=240m.（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8）
（1）分别求点C距离灯塔A的距离和点D距离灯塔B的距离；
（2）求A，B两座灯塔间的距离.
20.(本小题8分)
“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”小明提出一种想法：如图，设点P为⊙O上一点，先作射线PO交⊙O于点Q，再以⊙O上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以AP长为半径画圆弧，交射线PQ于点B，交射线BA于点C，连结PC.
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若，PA=15，求⊙O的半径.
21.(本小题10分)
如图1是某款正在研发的无人机的一个操作按钮，当输入不同的a,b,c数值时，无人机会沿着y=ax2+bx+c对应的图象飞行.
（1）输入a,b,c的值，使得无人机飞行的轨迹是一条以（0，20）为起点，过点（10，40）的射线，你输入的值是：a=______，b=______，c=______.
（2）某次无人机按钮输入一组数，，c=20.
①求无人机飞行的最大高度；
②如图2是一个建筑物，它的主视图可以看成由3个矩形拼成的图形，其中AB=CD=5，BC=10，AE=DF=27，BG=CH=30，建筑物一侧AE距离飞行起点的水平距离为10m,若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F、G、H的水平距离不少于4m,竖直距离不少于5m,按钮设置的这条曲线符合条件吗？请通过计算作出判断并说明理由.
22.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD=AD，连结DO并延长交⊙O于点E，交弦BC于点F.
（1）若，，求⊙O的半径；
（2）求证：CF=CD；
（3）若OF=FE=2，求BF的长.
23.(本小题12分)
【阅读理解】若抛物线y=ax2+bx+c的顶点落在直线y=x上，称这样的抛物线为平衡抛物线.如y=x2-4x+6的顶点为（2，2）落在直线y=x上，是平衡抛物线.
【提出问题】
若抛物线y1=，y2=-都是平衡抛物线，抛物线y1的对称轴为直线x=-3.抛物线y2的对称轴为直线x=n.点A（m,p）在抛物线y1上，点B（2n-m,q）在抛物线y2上，点C与点B关于直线x=n对称.设d=|p-q|.
【解决问题】
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）若n=1.
①判断线段AC的中点M是否一定落在直线y=x上？请你作出判断并说明理由；
②当-4≤m≤4时，求d的取值范围；
【拓展思考】
（3）在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】0.72
13.【答案】9
14.【答案】
15.【答案】a≥1
16.【答案】 a=12
17.【答案】 （答案不唯一）
18.【答案】
19.【答案】点C距离灯塔A的距离约为200米，点D距离灯塔B的距离约为300米 A，B两座灯塔间的距离为260米
20.【答案】由作图知，AB=AP=AC，
∴∠ABP=∠APB，∠APC=∠ACP，
∴∠ABP+∠ACP=∠APB+∠APC=∠BPC=×180°=90°，
∴BP⊥PC，
∵OP是⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线 ⊙O的半径为9
21.【答案】0;2;20 ①无人机飞行的最大高度为36m；②按钮设置的这条曲线不符合条件
22.【答案】5 证明：连接CE，如图，
∵AB=CD=AD，∵DE为直径，
∴∠DAE=90°，
∴==，
∴=，
∴∠B=∠BCD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
∴∠CFD=∠ADE，
∵DE为直径，
∴∠DCE=90°，
∵∠AED=∠CED，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠CFD，
∴CF=CD
23.【答案】y=-x2+x-；
①线段AC的中点M一定落在直线y=x上，理由如下：
∵n=1，
∴2b2=1，
解得b2=，
∵抛物线y2是平衡抛物线，
∴c2+=1，
∴c2=，
∴抛物线y2的解析式y=x2+x+，
∵点C与点B关于直线x=n对称，
∴C（m，q），
∴p=-m2+m-，q=m2+m+，
∴p+q=2m，
∵AC的中点为（m，），即（m，m），
∴线段AC的中点M一定落在直线y=x上；
②0≤d≤；
n≥9或n≤-7
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